第21章 一元二次方程 单元测试卷2025--2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册《第21章 一元二次方程》单元测试卷 一、选择题（4分×10＝40分） 1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（4分）关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B． C．3 D．以上都不对 3．（4分）用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 4．（4分）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　） A． B．5 C． D．7 5．（4分）设a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（　　） A．﹣18 B．21 C．﹣20 D．18 6．（4分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 7．（4分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（　　） A．200（1+a%）2＝148 B．200（1﹣a%）2＝148 C．200（1﹣2a%）＝148 D．200（1﹣a2%）＝148 8．（4分）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 9．（4分）从正方形的铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（　　） A．96cm2 B．64cm2 C．54cm2 D．52cm2 10．（4分）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（4分×6＝24分） 11．（4分）方程的根是 ． 12．（4分）一元二次方程根的判别式的值为 ． 13．（4分）若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则　 　 ． 14．（4分）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有144人患了红眼病，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为　 　 人． 15．（4分）如图，在中，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以的速度运动． 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 三、解答题 16．（8分）解下列方程： (1) ； (2)． 17．（8分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值． 18．（8分）某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． (1)若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度； (2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元． 19(12分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 人教版九年级上册《第21章 一元二次方程》单元测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D B B A B C 一、选择题（4分×10＝40分） 1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【解答】解：A．含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B．是一元二次方程，故符合题意； C．的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D．是多项式，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且化简后未知数的最高次数都是2的方程叫做一元二次方程． 2．（4分）方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，再根据三角形三边的关系判断等腰三角形的底为2，腰为4，然后计算这个等腰三角形的周长． 【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4， ∵当2为腰，4为底时，2+2＝4，不符合三角形三边的关系， ∴等腰三角形的底为2，腰为4， ∴这个等腰三角形的周长＝2+4+4＝10． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系． 3．（4分）用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【分析】将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式即可． 【解答】解：， 移项得 ： ， 配方得 ： ， 即． 故选：B． 【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4．（4分）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　） A． B．5 C． D．7 【分析】设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7﹣x），根据三角形的面积为x建立方程就可以求出两直角边，由勾股定理就可以求出斜边． 【解答】解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7﹣x），由题意，得 x（7﹣x）＝6， 解得：x1＝3．，x2＝4， 由勾股定理，得 斜边为：5． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用．列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据面积公式建立方程求出直角边是关键． 5．（4分）设a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（　　） A．﹣18 B．21 C．﹣20 D．18 【分析】根据根与系数的关系看得a+b＝﹣20，由a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根看得a2+2a＝20，进而可以得解． 【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根， ∴a2+2a＝20， a+b＝﹣2， ∴a2+3a+b ＝a2+2a+a+b ＝20﹣2＝18 则a2+3a+b的值为18． 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系的公式． 6．（4分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据单循环赛总场数的计算公式，结合总比赛场数，建立方程求解． 【解答】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队需与其他个队比赛一场，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为， 根据题意，总场数为场， 故方程为． 故选：B． 【点评】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系． 7．（4分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（　　） A．200（1+a%）2＝148 B．200（1﹣a%）2＝148 C．200（1﹣2a%）＝148 D．200（1﹣a2%）＝148 【分析】主要考查增长率问题，本题可用降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价率），首先用x表示两次降价后的售价，然后由题意可列出方程． 【解答】解：依题意得两次降价后的售价为200（1﹣a%）2， ∴200（1﹣a%）2＝148． 故选：B． 【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 8．（4分）观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【分析】根据表中数据可直接得出答案． 【解答】解：， 移项得 ： ， 配方得 ： ， 即． 故选：A． 【点评】本题考查估算一元二次方程近似解． 9．（4分）从正方形的铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（　　） A．96cm2 B．64cm2 C．54cm2 D．52cm2 【分析】可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x﹣2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解． 【解答】解：设正方形的边长是xcm，根据题意得x（x﹣2）＝48， 解得x1＝﹣6（舍去），x2＝8， 那么原正方形铁片的面积是8×8＝64cm2． 故选：B． 【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．解题过程中要注意根据实际意义进行值的取舍． 10．（4分）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 【分析】设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【解答】解:设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去 ， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二、填空题（4分×6＝24分） 11．（4分方程的根是 ． 【分析】将方程整理为，因式分解求解即可． 【解答】解：方程为， 整理可得， 整理可得， 解得 故答案为： ． 【点评】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解的方法求解是解决本题的关键． 12．（4分）一元二次方程根的判别式的值为 25． 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式，即可求出结论． 【解答】解：∵，，， ∴． 故答案为：25． 【点评】本题考查了根的判别式. 13．（4分）若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则　　 ． 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4， 所以． 故答案为． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 14．（4分）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有144人患了红眼病，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为　11　 人． 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，由两轮后传染的人数为144人为等量关系建立方程求出其解即可． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，由题意，得 x+1+x（x+1）＝144， 解得：x1＝﹣13（舍去），x2＝11． 故答案为：11． 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据两轮后传染的人数为144人为等量关系建立方程是关键． 15．（4分）如图，在中，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以的速度运动． 或秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 【分析】分三种情况讨论，分别用含时间t的式子表示出相关线段长度，再根据四边形面积与三角形面积的关系列出方程求解． 【解答】解①当P在线段上，Q在线段上时， ， ， ， 得（舍去）； ②当P在线段上，Q在线段延长线上时， ， ，得； ③当P在线段的延长线上，点Q在线段延长线上时， ， ， 解得，都不符合题意，舍去， 综上：或． 故答案为：或． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据不同情况表示出四边形的面积，进而列出方程求解． 三、解答题 16．（8分）解下列方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）2x2﹣3x+1＝0． 【分析】（1）运用因式分解法进行解方程，即可作答； （2）运用配方法进行解方程，即可作答； 【解答】解：∵ ∴， 则或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴ 【点评本题主要考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17．（8分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值． 【分析】若方程有两个不相等的实数根，则应有Δ＝b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x＝﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根． 【解答】证明：（1）∵a＝2，b＝k，c＝﹣1 ∴Δ＝k2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8， ∵无论k取何值，k2≥0， ∴k2+8＞0，即Δ＞0， ∴方程2x2+kx﹣1＝0有两个不相等的实数根． 解：（2）把x＝﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1＝0 ∴k＝1 ∴原方程化为2x2+x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2，即另一个根为． 【点评】本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型． 18．（8分）某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． (1)若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度； (2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元． 【分析】（1）根据该工艺品长，宽，除丝绸花边外白色部分的面积为，进行列式计算，即可作答． （2）根据该工艺品的成本是40元/件，以单价100元/件销售，每天可售出200件，还需支付各种费用2000元．将销售单价降低1元，每天可多售出20件，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）解：设丝绸花边的宽度为， 根据题意，得． 整理，得， 解得，（舍去）． 答：丝绸花边的宽度为． （2）解：设每件工艺品降价y元出售， 由题意得：． 解得：． 答：当单价降低元或50元时能达到利润10000元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未期19（12分）：22740阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 【分析】[理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． [类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案． [拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【解答】解：[理解应用] 变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； [类比迁移]第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 故答案为：； [拓展应用]∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴， 解得，， 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为1； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 5248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $