3.1.2函数的表示法讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的表示法及其解析式求解方法，系统构建从解析法、表格法、图像法到换元法、待定系数法、配凑法、构造方程组法等核心方法的知识脉络，前后衔接紧密，层层递进，为学生搭建清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与模型观念三大核心素养。例如通过例题“已知f(x+1)=x²+2x，求f(x)”引导学生用换元法实现变量替换，强化符号意识与运算能力，体现数学思维的严谨性。课中教师可借助分段函数求值题型直观演示分类讨论思想，课后学生可通过变式训练查漏补缺，巩固函数建模与表达能力，真正实现学以致用。

❊3.1.2 函数的表示法 思维导图 题型精析 一．函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 表格法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图像法 用图象表示两个变量之间的对应关系. 二．求函数解析式的方法 方法 应用条件 等效替代法 已知条件是f(A)求f(B) 换元法 已知条件是f(A)求f(B) 配凑法 若f(A)=B，B是A的倍数或有平方关系 待定系数法 已知函数类型 构造方程组法 相反数型、倒数型 题型一 已知f(A)求f(B)的解析式 【方法点睛】若已知f(A)的解析式，求f(B)的解析式，可利用换元法求解，或等效替代法，即直接令x+a=x+b，可得x=x+b-a，在带入已知函数即可. 【方法理解】在学习函数过程中，等效替代法贯穿整个函数.例如已知f(A)求f(B)的定义域，则根据等效替代法，A的范围等于B的范围.同理，求解析式也是同样的道理，包括三角函数，也是常用到该方法. （1）已知函数，则 .例1 （2）已知函数，则函数的解析式为： . 【答案】（1）（2） 【详解】（1）令，所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. （2）在中，用代替， 得， 故答案为： 若函数满足，则的解析式为 .例2 【答案】（且） 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设，则， 由题意可知且，所以且， 将代入，得， 所以的解析式为（且）． 故答案为：（且）. 已知，则的解析式是 .变1 【答案】 【分析】根据题意，结合换元法，即可求解函数的解析式. 【详解】设，可得，则， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 若函数，则（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 已知函数，则的解析式为（ ）例3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用换元法求函数解析式，注意定义域. 【详解】令，则， 所以， 综上，. 故选：B 已知，则（ ）例4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 已知，求的解析式．变3 【答案】 【分析】先利用换元法求得函数的解析式，进而求得的解析式，注意定义域. 【详解】令，则，， 因为，则， 所以， 其中，并令，解得， 所以． 已知函数，则的解析式为 .变4 【答案】 【分析】依题换元，求出新元的范围和函数关于新元的表达式，再将新元改成即得. 【详解】令,因，故，且可得 故 所以. 故答案为：. 已知，则 .变5 【答案】 题型二 构造方程组法求解析式 已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 . 例1 【答案】 【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解. 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 已知，求的解析式. 例2 【答案】定义域为. 【详解】由已知①，， 用替换，即得：②， 由①+3②，得，， 所以函数定义域为. 已知，求的解析式．变1 【答案】 【详解】. 已知，求的解析式．变2 【答案】， 【分析】用代换，构造新方程，与原方程联立，即可解得的解析式； 【详解】由题意可知， 令，所以，其中， 代入可得，， 即，， 联立方程组，可得， 所以， 题型三 待定系数法求解析式 已知是一次函数且，求的解析式．例1 【答案】 【分析】由函数为一次函数可设，再结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】因为是一次函数， 可设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以的解析式是． 求下列函数的解析式：例2 （1）已知函数是一次函数，满足，求； （2）已知是二次函数，且，，，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式； （2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以或. （2）设， 根据题意得，解得 所以． 已知是一次函数，且，求的解析式.变1 【答案】或 【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； 【详解】设，则. ，解得，或， 或. 已知二次函数满足，且.求的解析式.变2 【答案】 【分析】设，利用建立恒等式求解即可. 【详解】设二次函数， 因为，所以， 由，得， 得， 所以，得， 故. 题型四 求函数值 已知，则（ ）例1 A．31 B．17 C．15 D．7 【答案】A 【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值. 【详解】令，则， 得． 故选：A． 已知函数，则（　　）例2 A． B． C． D． 【答案】D 已知函数，则（ ）变1 A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合问题，自变量取合适的值，可得答案. 【详解】取，有. 故选：D. 已知，则= .变2 【答案】2 【分析】要求的值，需要先找到时的值，然后将其代入已知等式中求解. 【详解】令，则，得. 把代入中， 此时，那么. 故答案为：2. 若函数满足，则（ ）变3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法分别令，构造方程组，即可解得. 【详解】依题意可得 题型五 求分段函数的函数值 已知，则 .例1 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可. 【详解】因为， 所以, 故答案为：2 设函数，则 ， 若，则 .例2 【答案】 或 【分析】依次判断代入计算即得函数值；分段解方程得值. 【详解】依题意，，， 所以； 当时，，即，解得，则， 当时，，解得，则， 所以或. 故答案为：；或 已知函数则＝ .变1 【答案】10 【分析】利用分段函数求值即可. 【详解】由已知得． 故答案为： . 设函数，则（ ）变2 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 故. 故选：B. 已知函数则（ ）例3 A．0 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式代入计算可得结果. 【详解】易知，， ， 即可得.     故选：A 设，则的值为（ ）变3 A．9 B．11 C．28 D．14 【答案】B 【分析】由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论. 【详解】因为，， 所以， 又，故，， 所以. 故选：B 已知函数则（ ）变4 A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】由题得， 故. 故选：B 课后强化 1.已知，则的解析式是 . 【答案】 【分析】利用换元法即可得到答案. 【详解】令，则，所以． 所以． 故答案为：. 2.已知，则 . 【答案】 【分析】利用换元法求出函数解析式即可得结果. 【详解】令，可得， 所以由可得， 因此可得. 故答案为： 3.已知，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简得，由，得，即可得的解析式. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以的解析式为：. 故选：B. 4.已知函数，则的解析式为 . 【答案】 【分析】依题换元，求出新元的范围和函数关于新元的表达式，再将新元改成即得. 【详解】令,因，故，且可得 故 所以. 故答案为：. 5.求下列函数的解析式： （1）已知函数满足：； （2）已知一次函数是上的增函数且满足：； （3）已知函数满足：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用配凑法求解； (2)利用待定系数法求解； (3)利用方程组法求解. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 因为是上的增函数，所以； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 6.（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，根据已知条件列方程组来求得，从而求得. （2）用代替列方程组，由此求得. 【详解】（1）设， 则， 所以，解得，所以； （2）用代替 可得，可得， 故. 7.（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以，所以． （2）因为是二次函数，所以设.由，得． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （3）用替换中的x，得， 由，解得. 8.（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）设的表达式为，由已知可得，解之即可； （2）利用换元法可求解析式； （3）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵，∴． 整理得． 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得 ∴所求函数的表达式为． （2）令，则．∴， ∴所求函数的表达式为． （3）在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为． 9.已知，则的值为（ ） A．33 B．5 C．11 D．22 【答案】A 【分析】令，求出并代入计算得解. 【详解】由，解得，所以. 故选：A 10.已知，则 . 【答案】5 【分析】先求出当时的值，然后将值代入到中，得到的值. 【详解】令，得到. 将代入中，即. 故答案为：5. 11.函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 12.已知函数，则（ ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案. 【详解】由于， 所以. 故选：C 13.已知，则（ ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用分段函数求函数值即可得答案. 【详解】由，又， 因此可得. 故选：C. 14.已知函数，，则 . 【答案】 【分析】利用分段函数求值即可得解. 【详解】由题意得： 则有， 故答案为：. 15.函数，则 . 【答案】1 【分析】根据题意，推得，即可求得的值. 【详解】由题意，函数， 所以. 故答案为：. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ❊3.1.2 函数的表示法 思维导图 题型精析 一．函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 表格法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图像法 用图象表示两个变量之间的对应关系. 二．求函数解析式的方法 方法 应用条件 等效替代法 已知条件是f(A)求f(B) 换元法 已知条件是f(A)求f(B) 配凑法 若f(A)=B，B是A的倍数或有平方关系 待定系数法 已知函数类型 构造方程组法 相反数型、倒数型 题型一 已知f(A)求f(B)的解析式 【方法点睛】若已知f(A)的解析式，求f(B)的解析式，可利用换元法求解，或等效替代法，即直接令x+a=x+b，可得x=x+b-a，在带入已知函数即可. 【方法理解】在学习函数过程中，等效替代法贯穿整个函数.例如已知f(A)求f(B)的定义域，则根据等效替代法，A的范围等于B的范围.同理，求解析式也是同样的道理，包括三角函数，也是常用到该方法. （1）已知函数，则 .例1 （2）已知函数，则函数的解析式为： . 若函数满足，则的解析式为 .例2 已知，则的解析式是 .变1 若函数，则（ ）变2 A． B． C． D． 已知函数，则的解析式为（ ）例3 A． B． C． D． 已知，则（ ）例4 A． B． C． D． 已知，求的解析式．变3 已知函数，则的解析式为 .变4 已知，则 .变5 题型二 构造方程组法求解析式 已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 . 例1 已知，求的解析式. 例2 已知，求的解析式．变1 已知，求的解析式．变2 题型三 待定系数法求解析式 已知是一次函数且，求的解析式．例1 求下列函数的解析式：例2 （1）已知函数是一次函数，满足，求； （2）已知是二次函数，且，，，求． 已知是一次函数，且，求的解析式.变1 已知二次函数满足，且.求的解析式.变2 题型四 求函数值 已知，则（ ）例1 A．31 B．17 C．15 D．7 已知函数，则（　　）例2 A． B． C． D． 已知函数，则（ ）变1 A． B． C．2 D．3 已知，则= .变2 若函数满足，则（ ）变3 A． B． C． D． 题型五 求分段函数的函数值 已知，则 .例1 设函数，则 ， 若，则 .例2 已知函数则＝ .变1 设函数，则（ ）变2 A．2 B．3 C．4 D．5 已知函数则（ ）例3 A．0 B．5 C． D． 设，则的值为（ ）变3 A．9 B．11 C．28 D．14 已知函数则（ ）变4 A． B．1 C．2 D． 课后强化 1.已知，则的解析式是 . 2.已知，则 . 3.已知，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 4.已知函数，则的解析式为 . 5.求下列函数的解析式： （1）已知函数满足：； （2）已知一次函数是上的增函数且满足：； （3）已知函数满足：. 6.（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式． 7.（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 8.（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 9.已知，则的值为（ ） A．33 B．5 C．11 D．22 10.已知，则 . 11.函数，则（ ） A． B． C． D． 12.已知函数，则（ ） A．33 B．34 C．35 D．36 13.已知，则（ ） A． B．2 C．1 D．0 14.已知函数，，则 . 15.函数，则 . 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $