3.1.2 第1课时 函数的表示法-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

3.1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 学习目标 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点. 2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域，提升直观想象的核心素养. 3.掌握利用图象的变换法作图，提升逻辑推理的核心素养. 4.会求函数的解析式，提升数学运算的核心素养. 任务一　函数的表示法 (阅读教材P67－68，完成探究问题) 问题.结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的表示方法有哪几种？ 提示：函数的表示方法有解析法、列表法和图象法. (链教材P67例4)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出数量x(x＞0，x∈N，单位：台)与收款数y(单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解：列表法： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 图象法： 解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}. 1.函数的三种表示法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的取值个数较少. 2.用三种表示法表示函数时的注意点 (1)解析法必须注明函数的定义域. (2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系. (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 对点练1.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2)＋2)的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.0 C.1 D.2 答案：B 解析：根据题意，由函数y＝g(x)的图象，可得g(2)＝1，则f(g(2)＋2)＝f(3)＝0.故选B. 学生用书⬇第64页 任务二　函数的图象 画出下列函数的图象，并指出其值域： (1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)； (2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0). 解：(1)函数的图象如图所示. 由图可知，函数的值域为［－，2］. (2)函数的图象如图所示. 由图可知，函数的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞). 描点法作函数图象的三个关注点 1.画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图. 2.图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. 3.要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心圈. [注意]　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等. 对点练2.画出下列函数的图象，并指出其值域： (1)y＝1－x(x∈Z且｜x｜≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3). 解：(1)因为x∈Z且｜x｜≤2， 所以x∈{－2，－1，0，1，2}， 所以函数图象为一条直线上的孤立点，如图所示. 由图可知函数的值域为{3，2，1，0，－1}. (2)由题意得，y＝2(x－1)2－5， 当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5. 函数的图象如图所示. 由图可知函数的值域为[－5，3). 任务三　求函数的解析式 角度1　用待定系数法求解析式 (1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)的解析式； (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式. 解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6， 于是有 所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6. (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题意得 所以f(x)＝x2＋1. 用待定系数法求函数解析式的步骤 第一步：设出所求函数含有待定系数的解析式； 第二步：把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，得到待定系数的值； 第四步：将所得待定系数的值带回所设的解析式. 角度2　用换元法(配凑法)求函数解析式 (1)已知f(＋1)＝x＋2，求函数f(x)的解析式； (2)已知f(x＋1)＝x2－2x，求函数f(x)的解析式. 解：(1)法一(换元法)：令＋1＝t，t≥1， 则x＝(t－1)2， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)＝x2－1(x≥1). 法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因为＋1≥1， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). (2)法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R， 所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3， 即f(x)＝x2－4x＋3. 法二(配凑法)：因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. 学生用书⬇第65页 换元法、配凑法求函数解析式 　　已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，有两种方法： 1.换元法：即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域. 2.配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可. 角度3　用方程组法求函数解析式 (1)已知函数f(x)满足f(x)＋2f()＝x，求f(x)的解析式； (2)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)的解析式. 解：(1)在已知等式中，将x换成， 得f()＋2f(x)＝，与已知方程联立， 得消去f()， 得f(x)＝－＋. (2)在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx， 于是得 消去f(－x)，得f(x)＝. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x，a≠±1. 方程组法求函数解析式 　　方程组法(消元法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构建一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x). 对点练3.(1)已知函数f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝＋，求f(x)的解析式. 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 因为f(0)＝1，所以c＝1. 又因为f(x＋1)－f(x)＝2x， 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 整理，得2ax＋(a＋b)＝2x. 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， 所以 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1. (2)法一(换元法)：令t＝＝＋1，则t≠1，x＝. 由f＝＋，得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1). 法二(配凑法)：因为f＝＋＝－＝－＋1， 所以f(x)＝x2－x＋1. 又因为＝＋1≠1， 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1). 任务再现 (1)函数的表示法.(2)函数的图象及其应用.(3)求函数的解析式 方法提炼 观察法、待定系数法、换元法、方程组法 易错警示 求函数解析式时易忽视定义域 1.一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍.设它的高为y cm，则y关于x的函数解析式为(　　) A.y＝50x(x＞0) B.y＝100x(x＞0) C.y＝(x＞0) D.y＝(x＞0) 答案：C 解析：依题意，得100＝·y，即y＝.又x＞0，所以y＝(x＞0).故选C. 2.已知f(x)是一次函数，且f(－2)＝－1，f(0)＋f(2)＝10，则(　　) A.f(x)＝3x＋5 B.f(x)＝3x＋2 C.f(x)＝2x＋3 D.f(x)＝2x－3 答案：C 解析：设f(x)＝kx＋b，k≠0，由f(－2)＝－1，f(0)＋f(2)＝10，得所以f(x)＝2x＋3.故选C. 3.若f(g(x))＝6x＋1，且g(x)＝2x＋1，则f(x)＝(　　) A.3 B.3x C.3x－2 D.3x－3 答案：C 解析：因为f(g(x))＝6x＋1，g(x)＝2x＋1，所以f(2x＋1)＝6x＋1，令2x＋1＝t，即2x＝t－1，t∈R，则f(t)＝3(t－1)＋1，即f(t)＝3t－2，所以f(x)＝3x－2.故选C. 4.(双空题)已知函数f(x)的图象是如图所示的曲线段OAB，其中O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)，则f＝　　　　，函数g(x)＝f(x)－的图象与x轴交点的个数为　　　　. 答案：2　2 解析：由题图得f(3)＝1，所以f＝f(1)＝2.令g(x)＝f(x)－＝0，所以f(x)＝.观察函数f(x)的图象可以得到f(x)＝有两个解，所以g(x)＝f(x)－的图象与x轴交点的个数为2. 课时分层评价18　函数的表示法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A.y＝2x B.y＝2x(x∈R) C.y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D.y＝2x(x∈{1，2，3，4}) 答案：D 解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}.故选D. 2.函数f(x)＝｜x－1｜的图象是(　　) 答案：B 解析：将y＝｜x｜的图象向右平移一个单位，选项B适合.故选B. 3.已知某等腰三角形的周长是4，底边长是x，腰长是y，则y关于x的函数可表示为(　　) A.y＝4－2x(0＜x＜2) B.y＝(0＜x＜2) C.y＝4－2x(1＜x＜2) D.y＝(0＜x＜4) 答案：B 解析：由题意得2y＋x＝4，所以y＝，又2y＞x，所以4－x＞x，所以x＜2，又x＞0，所以y＝(0＜x＜2).故选B. 4.已知函数f(x)满足f(x－)＝x2＋，则(　　) A.f(x)＝x2＋2 B.f(x)＝x2 C.f(x)＝x2＋2(x≠0) D.f(x)＝x2－2(x≠0) 答案：A 解析：因为f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，所以f(x)＝x2＋2，故选A. 5.(多选)下列关于函数图象的结论正确的是(　　) A.函数f(x)＝－与f(x)＝－(x＞0)的图象相同 B.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线 C.函数y＝2x＋1(x≥0)的图象是一条射线 D.函数y＝x2(x≥0)的图象是一条曲线 答案：CD 解析：对于A，两函数的定义域不同，图象不同，故A错；对于B，函数y＝2x(x∈N)的图象是由离散的点组成的，故B错；对于C，函数y＝2x＋1(x≥0)的图象是一条射线，故C对；对于D，函数y＝x2，x≥0的图象是抛物线的一部分，故D对.故选CD. 6.(多选)已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是(　　) A.f(－3)＝4 B.f(x)＝ C.f(x)＝x2 D.f(3)＝9 答案：AB 解析：f(2x＋1)＝x2，令t＝2x＋1，则x＝，所以f(t)＝＝，则f(x)＝，故B正确，C错误；f(－3)＝＝4，故A正确；f(3)＝＝1，故D错误.故选AB. 7.已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，则f(f(1))＝　　　　. 答案：7 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝10x2－7x＋5，化简可得5ax2＋(3b－2a)x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以所以f(x)＝2x2－x＋1，所以f(1)＝2－1＋1＝2，故f(f(1))＝f(2)＝2×4－2＋1＝7. 8.已知f(x)满足3f(x)＋2f(1－x)＝4x，则f(x)的解析式为　　　　　　. 答案：f(x)＝4x－ 解析：由3f(x)＋2f(1－x)＝4x，可得3f(1－x)＋2f(x)＝4(1－x)，联立 可得f(x)＝4x－. 9.已知f()＝＋1，则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案：f(x)＝2x2－4x＋3(x≠1) 解析：＝1＋，令t＝1＋(t≠1)，则＝t－1，所以f(t)＝2(t－1)2＋1(t≠1)，故f(x)＝2x2－4x＋3(x≠1). 10.(10分)作出下列函数的图象，并指出其值域： (1)y＝x＋1(x∈Z)； (2)y＝－x2＋x(－1≤x≤1). 解：(1)该函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，部分图象如图所示，其值域为Z. (2)因为x∈[－1，1]，所以函数的图象是抛物线y＝－x2＋x的一部分，如图所示，由图可知，函数的值域为［－2，］. (11—13每小题5分，共15分) 11.杭州亚运会火炬如图①所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图②所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以一定速度均匀消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是(　　) 答案：A 解析：由题图可知，该火炬中间细，上下粗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降的越来越慢，结合函数图象，A选项较为合适.故选A. 12.函数f(x)＝－的图象大致是(　　) 答案：D 解析：根据题意，f(x)＝－，其定义域为{x｜x≠0}，排除A；当x＜0时，f(x)＝－－＝－(＋)＞0，故B不正确；当x＞0时，f(x)＝－＝，若x∈(0，)时，f(x)＜0，则C不正确；只有D满足.故选D. 13.已知函数f(x)是一次函数，且f(f(x)－4x)＝5恒成立，则f(2)等于(　　 ) A.1 B.3 C.7 D.9 答案：D 解析：因为函数f(x)是一次函数，且f(f(x)－4x)＝5恒成立，令f(x)－4x＝t，则f(x)＝4x＋t，所以f(t)＝4t＋t＝5，解得t＝1，所以f(x)＝4x＋1，f(2)＝2×4＋1＝9.故选D. 14.(10分)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝x＋3. (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝，求g(1)＋g(2)＋…＋g(2 025)＋g()＋g()＋…＋g()的值. 解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝x＋3， 于是有 所以f(x)＝x＋. (2)由(1)知g(x)＝， 则g()＝＝，x≠0， 所以g(x)＋g()＝1， 所以g(2)＋g()＝g(3)＋g()＝…＝g(2 025)＋g()＝1， 又g(1)＝， 所以g(1)＋g(2)＋…＋g(2 025)＋g()＋…＋g()＝＋2 024×1＝. 15.(5分)已知f(x)＝min{6－x，x}，则f(x)的值域是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，3] C.[0，2] D.[2，＋∞) 答案：B 解析：作出函数f(x)的图象如图中实线部分，由6－x＝x得2x＝6，x＝3，此时y＝3，即f(x)≤3，则函数f(x)的值域为(－∞，3].故选B. 16.(15分)(开放题)有三个条件：①f(x＋1)＝f(x)＋2x－1；②f(x＋1)＝f(1－x)且f(0)＝3；③f(x)≥2恒成立，且f(0)＝3.从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答： 问题：已知二次函数f(x)的图象过点(1，2)，　　　　. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[－1，4]上的值域. 解：选条件①. (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c. 因为f(x＋1)＝f(x)＋2x－1， 所以ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c＝ax2＋bx＋c＋2x－1， 所以 因为函数f(x)的图象过点(1，2)， 所以f(1)＝a＋b＋c＝1－2＋c＝2，得c＝3. 故f(x)＝x2－2x＋3. (2)由(1)可知f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3， 所以0≤(x－1)2≤9，所以2≤(x－1)2＋2≤11. 所以f(x)在[－1，4]上的值域为[2，11]. 选条件②. (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c， f(1－x)＝a(1－x)2＋b(1－x)＋c＝ax2－(2a＋b)x＋a＋b＋c， 因为f(x＋1)＝f(1－x)，所以(2a＋b)x＝－(2a＋b)x，所以2a＋b＝0， 由题意得 故f(x)＝x2－2x＋3. (2)由(1)可知f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3， 所以0≤(x－1)2≤9，所以2≤(x－1)2＋2≤11. 所以f(x)在[－1，4]上的值域为[2，11]. 选条件③. (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 因为f(0)＝3，所以c＝3. 因为f(x)≥2＝f(1)恒成立， 所以 故f(x)＝x2－2x＋3. (2)由(1)可知f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3， 所以0≤(x－1)2≤9，所以2≤(x－1)2＋2≤11. 所以f(x)在[－1，4]上的值域为[2，11]. 学生用书⬇第66页 学科网（北京）股份有限公司 $