3.1.2函数的表示法 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“函数的表示法”核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图像法三种表示方法及定义域、值域，整合待定系数法、换元法等四种求解析式方法，结合分段函数概念，构建从基础表示到方法应用的学习支架。 资料通过题型分类练习覆盖方法应用与实际情境，如“离开家忘作业本”图像题培养数学眼光，求解析式训练推理思维，分段函数及画图题提升数学语言表达。课中辅助教师教学，课后学生可借练习与解析查漏补缺。

3.1.2函数的表示法 知识点一：函数的几种表示方法 表示法 含义 定义域 值域 示例 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 使解析式有意义的自变量x的 取 值范围 因变量 y的取值范围 函数y=x的定义域是{x|x0},值域是{y|y≥0} 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 表格中自变量x的取值集合 表格中相应y的取值集合 定义域是{1,2,3},值域是{0,-1,1} 图像法 用图像表示两个变量之间的对应关系 图像在 x轴上的射影 图像在y轴上的射影 定义域是{x|1x2}，，值域是{y|0.6y≤2.8} 知识点二：求函数解析式的几种方法 1、待定系数法 如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程（组），求出参数，即可确定函数解析式。 2、换元法 已知 的解析式，要求 的解析式时，可令 t= ，再求出 的解析式，然后用代替 即可。 3、配凑法 已知的解析式，要求的解析式时，可从的解析式中配凑出，即用来表示，再将解析式两边的用 代替即可。 如已知 ，可以将右边凑成的形式再求解 4、方程组法 已知与 满足的关系式，要求 时，可用代替两边所有的 x，得到关于与的方程组，消去解出 即可。常见的有：已知 与 ， 与满足的关系式时，可将原式中的 用 或 代替，从而得到另一个同时含 与， 与 的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出。 知识点三：分段函数 在函数定义域内，对于自变量在不同范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数。求分段函数的函数值时，一定要注意自变量的值落在哪个范围内，代入对应的函数解析式求值。 题型分类练习 题型一：待定系数法求解析式 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 3．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 4．（25-26高一上·山东·阶段练习）若一次函数满足，则 . 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 题型二：配凑法求函数解析式 1．（25-26高一上·浙江舟山·阶段练习）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·假期作业）若函数，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，则 . 5．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型三：换元法求函数解析式 1．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．6 2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若，且，则 . 4．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知，则 5．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，求的解析式和定义域； 题型四：方程组法求函数解析式 1．（23-24高一上·天津和平·开学考试）已知，求的解析式． 2．（25-26高一上·上海·期中）若对任意实数x，均有，求的解析式. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意，都有，求的 解析式 题型五：分段函数函数值 1．（22-23高一上·广东深圳·期末）设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 2．（24-25高一上·天津静海·期中）已知函数，则等于 （    ） A． B． C．3 D．6 3．（24-25高一上·天津津南·期中）设，则（    ） A．11 B．10 C．17 D．15 4．（24-25高一上·天津·期中）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数，且. (1)写出函数的解析式； (2)求的值； (3)若，求实数的值. 6．（24-25高一上·天津宁河·期中）设函数 (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 题型六：函数图形识别 1．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·期中）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C．D． 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（    ）. A． B． C． D． 4．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 题型七：画具体函数的函数图像 1．（23-24高一上·天津静海·期中）已知函数 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象（画到答题卡上的坐标系中），并根据图象写出函数的值域 2．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求； (3)画出函数的图象 3．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知二次函数的解析式为．    (1)求解方程，并写出方程的解集； (2)比较下列和的大小； (3)在平面直角坐标系下，作出二次函数的图象． 参考答案 题型一答案 1．A 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得， 因此，解得，所以．故选：A 2．C 【详解】∵，∴且，解得， ∴，∴.故选：C. 3． 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以.故答案为：. 4．或 【详解】设，则， 所以，解得或， 当时，，此时，， 当时，，此时，故答案为：或 5．(1)或 (2) 【详解】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 题型二答案 1．D 【详解】因为函数满足， 所以. 故选：D. 2．D 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 3．D 【详解】依题意，，而， 所以． 故选：D. 4． 【详解】由可得， 故， 故答案为： 5．A 【详解】因为，且， 所以.故选：A. 题型三答案 1．C 【详解】令，则， 则， 故， 所以.故选：C． 2．B 【详解】设（），则. 所以，. 所以，.故选：B 3． 【详解】令，则，原式化为， 所以.故答案为： 4． 【详解】令，则，则， 故. 故答案为： 5．，定义域为； 【详解】（1）设，因，则，且， 于是， 故函数的解析式为，其定义域为； 题型四答案 1． 【详解】. 2． 【详解】(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 3． ，消去，可得 题型五答案 1．B 【详解】因为，， 所以， 又，故，， 所以.故选：B 2．A 【详解】因为，所以， 所以，故选：A. 3．A 【详解】.故选：A. 4．B 【详解】函数，则， 不等式，当时，，解得，因此； 当时，，即，解得或，因此或， 所以不等式的解集是.故选：B 5．(1) (2) (3) 【详解】（1）由于，故，解得， 所以. （2）由（1）得，，. （3）当时，，解得，舍去. 当时，，解得或，其中不符合题意，舍去.综上，. 6．(1)或(2) 【详解】（1）当，，即，解得（不符题意舍去）； 当，，解得. 故当时，或 （2）由于，则； 当，，即，整理得，结合，解得； 当，，即，解得. 于是的解集为 题型六答案 1．D 【详解】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好. 故选：D 2．D 【详解】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 3．B 【详解】A是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故A错误； B是函数的图象，定义域为，值域为，故B正确； C是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故C错误； D是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故D错误. 故选：B. 4．A 【详解】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误；故选：A. 题型七答案 1．(1)； (2)或； (3)图象见详解，值域为. 【详解】（1）由题知，， 所以. （2）当时，由解得（舍去）； 当时，由解得或（舍去）； 当时，由解得. 综上，的值为或. （3）作出函数图象如图所示： 由图可知，函数的值域为. 2．(1) (2)或 (3)图象见解析 【详解】（1）因为， 所以，则. （2）当时，由得，解得； 当时，由得，解得或（舍去）； 所以或. （3）当，即或时，， 当，即时，， 所以的图象如图， 3．(1)； (2)； (3)作图见解析. 【详解】（1）方程化为：，解得或， 所以原方程的解集为. （2）因为， 所以. （3）函数图象的对称轴为，顶点为，与x轴交点为，与y轴交于点， 所以函数的图象如下：    ． 学科网（北京）股份有限公司 $