3.1 代数式 课件 2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

该初中数学课件围绕“代数式及其加减”展开，从火柴棒拼正方形的直观情境切入，逐步引导学生抽象出代数式模型，理解字母表示数的意义，并通过多角度列式、求值与实际应用，构建起从具体到抽象、从数量关系到结构规律的学习支架。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，如用火柴棒问题培养符号意识和几何直观，通过代数式求值训练运算能力和逻辑推理，借助生活实例（如BMI指数、门票费用）发展模型意识和应用能力。教学中注重一题多解、变式探究，例如同一问题给出四种不同列式方法，强化学生对代数结构的理解，提升思维灵活性。学生在真实情境中学会用数学表达现实问题，教师则可借此优化教学设计，实现知识建构与素养落地的双重目标。

课时1 代数式 3.1 代数式 第三章 整式及其加减 22201 1.了解代数式的概念及其书写规范； 2.学会根据数量关系列代数式； 3.理解代数式在具体问题中所表达的含义。 学习目标 22201 … 用长度相同的小棒按如图所示的方式拼摆正方形。 拼摆1个正方形需要____根火柴棒. 拼摆2个正方形需要____根火柴棒. 拼摆3个正方形需要____根火柴棒. 4 7 10 探究点 代数式 问题1 探索新知 22201 (1) 拼摆5个这样的正方形需要多少根小棒？ 1+3×5=16(根) 探索新知 22201 (2) 拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？ 1+3×100=301(根) 方法1： 探索新知 22201 (2) 拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？ 4+3×(100-1)=301(根) 方法2： 探索新知 22201 (3) 拼摆 x 个这样的正方形需要多少根小棒？ 1+3×x 4+3 (x-1) 方法1： 方法2： 探索新知 22201 (3) 拼摆 x 个这样的正方形需要多少根小棒？ 4x - (x-1) 方法3： 探索新知 22201 (3) 拼摆 x 个这样的正方形需要多少根小棒？ x+x + (x+1) 方法4： 探索新知 22201 (4) 拼摆200个这样的正方形需要多少根小棒？ 你是怎样计算的？ 当x=200时，1+3x=1+3×200=601 即拼摆200个这样的正方形需要601根小棒。 探索新知 22201 (1) 在上面的活动中，我们借助字母表示正方形的个数与小棒的根数之间的关系，这样做有什么好处？ 可以用一个式子表示任意个数的正方形与小棒根数之间的关系。 问题2 探索新知 22201 (2) 在以前的学习中还有哪些地方用到了字母？这些字母都表示什么？ 用字母表示数的运算律 加法的交换律： a+b=b+a； 加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； 乘法的交换律： ab=ba； 乘法的结合律： (ab)c=a(bc)； 乘法对加法的分配律： a(b+c) =ab+ac. 问题2 22201 用字母表示面积公式 22201 (1) 今年李华m岁，去年李华________岁，5年后李华________。 (2) a个人n天完成一项工作，那么平均每人每天的工 作量为________。 (3) 某商店上月的收人为a元，本月的收入比上月收入的2倍还多10元，本月的收入是________元。 (4) 如果一个正方体的棱长是a―1，那么这个正方体的体积是________，表面积是________。 (2a+10) (m+5) (a-1)3 6(a-1)2 (m-1) 问题3 22201 像4+3(x-1)，x+x+(x+1)，m-1，m+5，2a+10， (a-1)3，6(a-1)2等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接 而成的，这样的式子叫作代数式。 代数式的概念 22201 单独一个数或一个字母也是代数式． 4+3(x-1)，x+x+(x+1)，m-1，m+5，，2a+10，(a-1)3，6(a-1)2 用具体数值代替代数式中的字母， 就可以求出代数式的值 22201 代数式的书写要求 1 在代数式中，数字与字母或字母与字母相乘，通常将乘号写作“·”，或省略不写，数字要写在字母的前面. 3×a写作 3·a或 3a. a×b写作 a·b或 ab. 22201 2 数字因数是1或-1时，常省略“1”. 如1a写成a，-1ab写成-ab. 3 带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数.如 应写成 . 22201 4 在含有字母的除法运算中，结果一般写成分数的形式.如 写成 . 5 在实际问题中，如果式子是和或差的形式，要把整个式子括起来，再写单位名称，如(a+b)千克. 22201 1.判断下列式子哪些是代数式，哪些不是代数式，是的打“√”，不是的打“×”。 (1) a2+b2 ( ) (3) x=2 ( ) (5) a≠b ( ) (4) 13 ( ) (6) x+2＞3 ( ) (2) ( ) √ √ × √ × × 代数式中不含表示数量关系的符号。 如“=”“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”等。 对应训练 22201 2.（1）小明步行上学，速度为 v m/s；小亮骑自行车上学，速度是小明的3倍，则小亮的速度可以表示为_______m/s. 3v 在含有字母的式子中如果出现乘号， 通常将乘号写作“·”或省略不写. 对应训练 22201 (2) 如图，用字母表示图中阴影部分的面积. mn-pq 对应训练 22201 3.用代数式表示下列各数： 解：(1)10b+a (1) 个位数字是 a，十位数字是 b(b≠0)的两位数； (2) 个位数字是 a，十位数字是 b，百位数字是 c (c≠0)的三位数。 (2)100c+10b+a 对应训练 22201 1.以下各式不是代数式的是( ) A.πa+b B. C.5=3+a D.0 C 2.下列各式符合代数式书写规范的是( ) A.1x B.2 C.0.3÷x D.- D 随堂练习 22201 3. 某校购进单价为 a 元的排球10个，单价为 b 元的篮球5个，则一共需支付( ) A.(10a+5b) 元 B.(10a-5b) 元 C.(5a+10b) 元 D.(5a-10b) 元 A 随堂练习 22201 4.三个连续的偶数，中间的数是n，则最大的数是________。 5.用代数式表示： (1) 比k的3倍少6的数可以表示为________； (2) x的相反数与y的和可以表示为________； (3) m的4倍与n的差的平方可以表示为_______。 n+2 3k-6 -x+y (4m-n)2 随堂练习 22201 代数式 代数式的概念 用运算符号把数与字母连接而成的式子叫作代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 用字母表示数 字母可以表示任何数 课堂小结 22201 课时2 代数式求值 3.1 代数式 第三章 整式及其加减 22201 2.能在具体情境中，解释代数式的实际意义． 1.在具体情境中，能正确列出代数式，会把具体数代入代数式进行计算． 学习目标 22201 用运算符号把数与字母连接而成的式子叫作代数式。 单独的一个数或字母也是代数式。 用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值 什么是代数式？ 情境导入 22201 某景点的门票价格：成人票每张10元，学生票每张5元。 (1) 一个旅游团有成人x名、学生y名，那么该旅游团应付多少门票费？ 该旅游团应付门票费(10x+5y)元。 探究点 1 代数式求值 问题1 探索新知 22201 (2) 如果该旅游团有37名成人、15名学生，那么他们应付多少门票费？ 把x=37，y=15代入代数式10x+5y，得 10×37+5×15=445 。 因此，他们应付门票费445元。 代数式10x+5y还可以表示哪些生活中的问题? 22201 用x和y分别表示小明每秒跑步的速度和走路的速度， 用x和y分别表示1元硬币和5角硬币的枚数， 则10x＋5y表示他跑步10s和走路5s所经过的路程. 则10x＋5y表示x枚1元硬币和y枚5角硬币共多少钱. 22201 例 营养学家通常用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重（单位：kg）与人体身高（单位：m）平方的商。对于成年人来说，BMI在 18.5~24 之间，体重适中； BMI低于 18.5，体重过轻； BMI高于24，体重超重。 22201 （1）设一个人的体重为 w kg，身高为 h m，请用含w，h的代数式表示这个人的BMI。 （2）张老师的身高为 1.75 m，体重是 65 kg，他的体重是否适中？ 当w=65，h=1.75时 张老师体重适中. 你的身体质量指数是多少？ 22201 1.代数式6p可以表示什么？ 6的p倍 p的6倍 6个p的和 2.求代数式3a2-2ab的值，其中a=6，b=- 。 解：当a=6，b= - 时， 3a2-2ab=3×62-2×6×(- )=116。 练一练 22201 3. 华氏温度 f (单位: ℉)与摄氏度c(单位:℃)之间存在如下的关系： f= +32。小华对潇潇说：“现在室内的摄氏温度是20 ℃，此时对应的华氏温度应该是68℉”，请你通过计算说明小华的说法对吗? 解：将c=20代入 f= +32，得 f= 20+32=36+32=68(℉)。 答：小华的说法对。 22201 填写下表，并观察5n+6和n2这两个代数式的值的变化情况。 （1）随着 n 的值逐渐变大， 5n+6和n2这两个代数式的值如何变化？ n 1 2 3 4 5 6 7 8 5n+6 n2 11 1 16 4 21 9 26 16 31 25 36 36 41 49 46 64 两个代数式的值都逐渐增大。 n2的值先超过 100。 （2）估计一下，哪个代数式的值先超过 100？ 探究点 2 代数式的值的变化探究 问题 22201 1.填写下表，并观察-8n+5和-n2这两个代数式的值的变化情况。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 -8n+5 -n2 -3 -11 -19 -27 -35 -43 -51 -59 -1 -4 -9 -16 -25 -36 -49 -64 （1）随着 n 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ （2）估计一下，哪个代数式的值先小于 -100？ （1）随着 n 的值逐渐变大，两个代数式的值都逐渐减小； （2）-n2 的值先小于-100 。 练一练 22201 例1 如图是一个“数值转换机”的示意图，根据要求写出输出的结果。 (1) 当输入x=1，y=3 时，求输出的结果； (2) 当输入x=3，y=-4 时，求输出的结果； 22201 解：根据题中“数值转换机”的示意图可得输出的结果是代数式 x3＋2y-3 的值。 (1) 当输入x=1，y=3 时， 输出的结果为x3＋2y-3=13＋2×3-3=4。 (2) 当输入x=3，y=-4 时， 输出的结果为x3＋2y-3=33＋2×(-4) -3=16。 22201 例2 在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”。右面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图①的输出结果、图②的运算过程。 22201 -15 -30 -6 -21 -3 -18 -1.44 -16.44 -1 -16 12 -3 24 9 -3 x-3 (x-3)×6 6x-3 22201 1.当x=2时，代数式2x-3的值为( ) A.1 B.-1 C.5 D.3 A 2.若x=-2，y=1，则代数式2x+3y+2的值为( ) A.9 D.-1 C.1 B.3 C 随堂练习 22201 3.下图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的值分别为则输出的结果是(　　) A B. C. D. D 随堂练习 22201 4.观察右图，回答下列问题： (1)标出未注明的边的长度； (2)阴影部分的周长是___________； (3)阴影部分的面积是______________； (4)当时，阴影部分的周长是________，面积是________. 2y y 0.5x x y 2y 0.5x 2x y 随堂练习 22201 (2)如果是100元，将代入代数式，得： (元). 表示原价为元的衣服，提高后的价格后为元. 5.(1)代数式可以表示什么？ (2)用具体数值代替中的，并解释所得代数式值的意义. 解：(1)若表示某件物品的原价，那么(1＋8%)表示价格提高 8%后的价格. 随堂练习 22201 1.在具体情境中，主要根据什么列代数式? 2.怎样求代数式的值? 3.你能给一个指定的代数式赋予实际背景或几何意义吗? 4.字母的值与代数式的值之间的关系是怎样的? 5.我们是怎样根据代数式的值的变化趋势进行预测的? 课堂小结 22201 代数式求值 用数值代替代数式中的字母 代数式的值随字母的取值变化而变化 ①同一代数式中的字母在不同问题中代表不同的量 ②在同一问题中不同的量要用不同的字母来表示 课堂小结 22201 课时3 整式 3.1 代数式 第三章 整式及其加减 22201 1.通过具体实例理解单项式、多项式及整式的有关概念； 2.能识别单项式、多项式及整式，知道它们之间的联系与区别； 3.能确定单项式的系数与次数，多项式的次数与项等，并能灵活运用. 学习目标 22201 某学校的操场如图所示，由一个长方形和两个半圆组成。 (1) 两个半圆的面积和是多少？ (2) 整个操场的面积是多少？ π ()2 π ()2+ab 这两个代数式之间有什么区别和联系呢？ 情境导入 22201 一个组合柜如图①所示，内部用隔板纵向分隔成 5 个独立的小柜子(如图②)，柜门由 5 个完全相同的长方形组成。 图① 图② 探究点 整式的相关概念 问题1 22201 (1) 若要在 5 个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是多少? 5a 5a 纵向要贴____根装饰条 长度为______________。 总长度：____________。 10 10×b=10b 5a+5a+10b 22201 (2) 若要给柜门外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少(边框缝隙忽略不计)? 喷漆的面积是 5ab。 22201 (3) 设柜子的进深为 c (如图①)，则整个柜子的容积是多少(柜门、隔板及背板的厚度忽略不计)? 整个柜子的容积是 5abc。 图① 22201 观察代数式 5ab，5abc，3v，6p。它们是数与字母通过什么运算构成的？ 5ab=5·a·b 3v=3·v 5abc=5·a·b·c 6p=6·p 乘法运算 都是数与字母的乘积 Ⅰ. 单项式及其相关概念 问题2 22201 像5ab，5abc，3v，6p等，它们都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式. 单独一个数或一个字母也是单项式. 22201 (1)上面 5ab，5abc，3v，6p 都是数与字母的乘积，其中数也是数字因数，指出 5ab，3v 的数字因数分别是什么？ 分别是 5，3 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 问题3 22201 5 a b (2) 5ab，3v 中各个字母的指数分别是什么？ 3 v 指数是1 指数是1 指数是1 所有字母的指数和叫作这个单项式的次数。 22201 注意： ① ab 这样的代数式，可视为1与ab的积，是单项式； ② 这样的代数式，可视为与ab的积，是单项式； ③ 作为单项式，单独一个非零数的次数是 0 。 如 10 的次数是 0 。 22201 (3) 说一说 5ab，3v 的系数和次数，再在图示中指出- 的系数和次数。 - =_______ _____ _____ 系数 次数 - xy3 - 4 22201 Ⅱ. 多项式、整式及其相关概念 说一说下面的两个式子中被圈住的部分是不是单项式？这些被圈住的式子与原来的两个式子分别是什么关系? 5a +5a +10b 10x +5y 单项式 单项式 单项式 单项式 单项式 这些被圈住的单项式的和分别是原来的两个式子。 问题4 22201 几个单项式的和叫作多项式。 如 5a+5a+10b，10x+5y 都是多项式。 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，如多项式10x+5y 是 10x 与 5y 两项的和。 22201 不含字母的项叫作常数项。 如a2b-3a2+1的常数项是1。 单项式和多项式统称整式. 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 如a2b-3a2+1是3次的。 22201 根据上面有关概念填一填下面的图示。 10x+5y a2b+2a 次数最高的项的次数是_____, 即多项式的次数是_____。 多项式一共有_____项。 次数最高的项是_____， 它的次数是_____， 即多项式的次数是_____。 10x1+5y1 a2b1+2a1 1 1 二 a2b 3 3 问题5 22201 1.有以下式子： ① - mn ，②m，③ ，④ ，⑤ 2m+1， ⑥ ⑦ ，⑧ x2+2x+ 。 其中单项式是________，多项式是________， 整式是________________。 ①②③ ⑤⑥⑧ ①②③⑤⑥⑧ 对应训练 22201 2.将下列代数式中的单项式和多项式分别填入所属的圈中，并指出其中：各单项式的系数分别是多少？多项式中哪个次数最高？次数是多少？ 单项式 多项式 单项式系数依次为 多项式 次数最高，次数为4 22201 例 请列出下列问题中的代数式，并指出其中：①哪些是单项式？单项式的系数和次数分别是多少?②哪些是多项式?多项式的次数是多少? (1)如图,一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？ 这个花坛草地面积是ab－4c2。 ab－4c2是多项式，次数是2。 22201 (2)当水结冰时，其体积大约会比原来增加,x m³的水结成冰后体积是多少? (3)如图,一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、 高分别是a,b,c。这个箱子露在外面的表面积是多 少？ (4)某件商品的成本价为a元，按成本价提高 15% 标价，后又以八折(即按标价的80%)销售，这件商品的售价为多少元？ 体积是x m2; x是单项式，系数是，次数是1。 表面积是ac＋bc＋ab; 是多项式，次数是2。 售价是(1＋15%)a×0.8＝0.92a元; 0.92a是单项式，系数是0.92，次数是1。 22201 1.下列说法正确的是(　　) A．单项式x的系数和次数都是0 B．34x3是7次单项式 C．5πR2的系数是5 D．0是单项式 D 2.多项式1＋2xy－3xy2的次数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 C 随堂练习 22201 3.多项式 x2y+3xy-1 的次数与项数分别是( ) A. 2，3 B. 3，3 C. 4，3 D. 5，3 B 4.多项式 3x2-2x-1 的各项分别是____________， 一次项的系数是________。 3x2，-2x，-1 -2 随堂练习 22201 5. 已知多项式-8x3ym+xy2-3x3+6y 是六次四项式，单项式x2y5-n的次数与这个多项式的次数相同。求m ，n的值。 解：由题意得 3+m=6，2+5-n=6 ， 所以 m=3，n=1。 随堂练习 22201 6.已知关于x的多项式-5x3+(m-1)x2+(3n-2)x-1不含二次项和一次项，求mn的值。 解：因为关于x的多项式-5x3+(m-1)x2+(3n-2)x-1不含二次项和一次项， 所以 m-1=0，3n-2=0， 所以 m =1，n=， 所以 mn =1×= 随堂练习 22201 1. 什么是单项式?怎样判断单项式的系数和次数? 2. 什么是多项式?怎样判断多项式的项和次数? 3.什么是整式? 课堂小结 22201 单项式 多项式 次数：多项式里次数最高项的次数 项：多项式中的每个单项式 系数：单项式中的数字因数 次数：所有字母的指数的和 整式 课堂小结 22201 $