精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2025-2026学年九年级上学期综合练习1数学试卷

哈尔滨市第六十九中学2025-2026学年度（上）学期 九年级综合练习1 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项正确； B、含两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项错误； C、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； D、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判断，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 2. 下列四边形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，即可得出答案. 【详解】A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，符合题意. 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的定义,解答本题的根据是掌握好轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 3. 若直角三角形的两条直角边的长分别为、，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm， ∴斜边＝cm， 设斜边上的高为h，则直角三角形的面积＝ ∴h＝ 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用及直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握． 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 一个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；原说法正确，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形；原说法正确，不符合题意； C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原说法正确，不符合题意； D．一个角是直角的四边形是矩形，原说法错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键． 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用，根据一元二次方程的定义可得，根据方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解． 【详解】解：的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 且． 故选：C． 6. 直线沿轴向右平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将直线沿x轴向右平移2个单位长度所得的直线的解析式是，即． 故选：C． 7. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1， ∴AC＝， ∵AE＝BE，BF＝CF， ∴EF＝AC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 8. 如图，小元要在一幅长、宽的风景面的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为，根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果设金色纸边的宽度为xcm，那么挂图的面积就应该为（90＋2x）（40＋2x），根据题意即可列出方程． 【详解】解：设金色纸边的宽度为xcm， 那么挂图的面积就应该为（90＋2x）（40＋2x）， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的运用，此类题是看准题型列出方程，题目不难，重在看准题． 9. 如图，矩形纸片，，将其折叠使点与点重合，点的对应点为点，折痕为，那么和的长分别为( ) A. 4和 B. 4和 C. 5和 D. 5和 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠将所求的问题转化到Rt△ABE中，由勾股定理建立方程可求，在求EF时，根据折叠和全等三角形可证OE＝OF，再借助三角形相似，求得OE进而求出EF，得出答案． 【详解】解：如图，设BD与EF相交于点O， 由折叠得：ED＝EB，DO＝BO，EF⊥BD， ∵矩形ABCD， ∴AD＝BC＝9，CD＝AB＝3，∠A＝90°， 设DE＝x，则BE＝x，AE＝9−x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＋AB2＝BE2， 即：（9−x）2＋32＝x2，解得：x＝5，即DE＝5． 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝， ∵∠DOE=∠BOF，∠EDO=∠FBO，DO=BO， ∴△DOE≌△BOF （AAS）， ∴OE＝OF， ∵△DOE∽△DAB， ∴，即， 解得：， ∴EF＝2OE＝， 故选：D． 【点睛】考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、折叠及其轴对称的性质等知识，由于利用知识较多，综合性较强，因此正确的进行转化，则显得尤为重要． 10. 甲、乙两名运动员同时从地出发前往地，在笔直的公路上进行骑自行车训练如图所示，反映了甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程 (千米)与行驶时间 (小时)之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时，乙在甲前10千米处；④甲、乙两名运动员相距5千米时，或．其中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①甲的速度为千米/小时，即可求解；②t≤1时，乙的速度为50千米/小时，t＞1后，乙的速度为千米/小时，即可求解；③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，即可求解；④甲的函数表达式为：y＝40x，乙的函数表达为：0≤t≤1时，y＝50x，t＞1时，y＝35x＋15，即可求解． 【详解】解：①甲的速度为千米/小时，故正确； ②t≤1时，乙的速度为千米/小时，t＞1后，乙的速度为千米/小时，故错误； ③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，乙在甲前10千米处，故正确； ④∵甲的速度为40千米/小时：甲的函数表达式为：y＝40x， 乙的函数表达为：0≤t≤1时，乙的速度为50千米/小时，∴y＝50x， t＞1时，设y=kx+b， 将点（1,50），（3,120）代入得： ，解得k=35，b=15， ∴t＞1时，y＝35x＋15， t＝0.5时，甲、乙两名运动员相距＝50×-40×=5（千米）， t＝2时，甲、乙两名运动员相距＝（35×2＋15）−2×40＝5（千米）， 同理t＝4时，甲、乙两名运动员相距为5千米，故错误． 故选：B． 【点睛】本题为一次函数应用题，此类问题主要通过图象计算速度，即为一次函数中自变量x的系数，进而求解． 二、填空题 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵x＝0是关于x的一元二次方程的一个根， ∴x=0满足关于x的一元二次方程， ∴a−1＝0， 解得，a＝1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解均满足该方程的解析式． 13. 已知菱形的边长为4，，则菱形的面积为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】作出图形，利用30°直角三角形的性质求出高，利用菱形的面积公式可求解． 【详解】解：如图所示，菱形ABCD中，AB=AD=4，∠A=30°， 过B作BE⊥AD于点D， 则BE=， ∴菱形的面积为AD∙BE=4×2=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用30°直角三角形的性质以及菱形的面积公式是本题的关键． 14. 若x+y＝4，xy＝3，则x2+y2＝___． 【答案】10 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算求值即可． 【详解】解：∵， ∴将和代入，得：． 故答案为10． 【点睛】本题考查完全平方公式和代数式求值，解题的关键是利用完全平方公式将原式变形． 15. 如图，平行四边形中，平分，交于点F，，交点，，则=_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得：∠DFA＝∠EAF＝∠DAF，所以DF＝AD＝5，由等腰三角形三线合一的性质得：AG＝FG，再证明AD＝AE，可得DG＝3，利用勾股定理得AG的长，可得结论． 【详解】解：如图，设AF，DE交于点G， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠DFA＝∠EAF＝∠DAF， ∴DF＝AD＝5， ∵DE⊥AF， ∴AG＝FG， ∵∠DAF＝∠EAG，∠AGD＝∠AGE， ∴∠ADE＝∠AEG， ∴AE＝AD＝5， ∴DG＝EG＝DE＝×6＝3， 由勾股定理得：AG＝ ， ∴AF＝2AG＝8， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 16. 如图，在正方形的右侧作等边三角形，分别连接 交于点，连接，则________. 【答案】45° 【解析】 【分析】证明，求出和的度数，求出的度数 【详解】∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴. ∵， ∴，∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理（SAS），利用全等的性质、三角形内角和为 ，从而求出和的度数是解题的关键。 17. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，长为5，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出A、B点坐标，在Rt△AOB中，利用勾股定理即可解得k值． 【详解】解：如图，当x=0时，y=3，当y=0时，x=， ∴一次函数与y轴交点坐标为B（0，3），与x轴交点为A（，0）， 则OB2＝9，OA2＝，AB2＝25， 在Rt△AOB中，OB2＋OA2＝AB2， 即9+=25，解得k＝或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，注意运用分类讨论思想． 18. 某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价，售价降低了280元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_____． 【答案】25% ． 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意可得，640×（1-降价的百分率）2=（640-280），据此方程解答即可. 【详解】设每次降价的百分率为x 由题意得： 解得：x=0.25 答：每次降低的百分率是25% 故答案为25% 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，属于典型题，审清题意，列出方程是解题关键. 19. 如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集为________． 【答案】x＞−3 【解析】 【分析】利用函数图象，写出直线y＝ax＋b在直线y＝ax＋b上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可知，不等式kx＞ax＋b的解集为：x＞−3． 故答案为：x＞−3． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 20. 如图，正方形中，，延长交于点，延长交于点，过点作，交的延长线于点，，，则___________． 【答案】15 【解析】 【详解】过点作，垂足为点，延长交于点，根据正方形的性质和等腰三角形的性质证明，再证明，可得，设，则，，中，，可列出方程，再求解即可求出的长． 【解答】解：如图，过点作，垂足为点，延长交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 是的中点， ， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， 中，， ， 解得：（负值舍去）， ． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 三、解答题 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简与求值、解一元二次方程，熟练掌握分式的运算法则和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先利用分式的运算法则化简式子，再利用因式分解法解一元二次方程求出的值，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得，， 由题意得，， ∴， 代入，原式． 22. 如图所示，图1、图2分别是的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按下列要求分别画出相应的图形，且所画图形的每个顶点均在所给小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个周长为的菱形（非正方形）； （2）在图2中画出一个面积为9的平行四边形，且满足，请直接写出平行四边形的周长． 【答案】（1） 如图所示，菱形即为所求： （2）如图所示，平行四边形即为所求，周长为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、菱形的性质、平行四边形的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）由菱形周长为，则菱形的边长为，利用勾股定理即可画出菱形； （2）根据面积为9且，画出平行四边形，再利用勾股定理即可求出平行四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 则平行四边形的周长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，点的坐标分别为(1，0)，(0，2)，直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限的直线上，连接，且，求点的坐标． 【答案】（1）y＝−2x＋2；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得到直线AB的表达式； （2）通过解方程组即可得到点P的坐标，设点Q（t，2t−6），作QH⊥x轴，垂足为H，PK⊥x轴，垂足为K．可得KA＝2−1＝1，PK＝2，HA＝t−1，QH＝2t−6，根据勾股定理得到AP，AQ，根据AP＝AQ得到关于t的方程，解方程求得t，从而得到点Q的坐标． 【详解】解：（1）设AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）， 把（1，0）、（0，2）代入y＝kx＋b 得：，解得：k＝−2，b＝2， ∴y＝−2x＋2； （2）联立得，解得：x＝2，y＝−2， ∴P（2，−2）， 设点Q（t，2t−6），作QH⊥x轴，垂足为H．PK⊥x轴，垂足为K． KA＝2−1＝1，PK＝2，HA＝t−1，QH＝2t−6 AP＝，AQ＝， ∵AP＝AQ， ∴（t−1）2＋（2t−6）2＝5， 解得：t1＝2(舍去)；t2＝，， 把x＝代入y＝2x−6，得y＝， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． 24. 已知四边形是菱形，点分别在上，且，点分别在上，与相交于点． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积相等的四边形 【答案】（1）见解析；（2）四边形MBFE与四边形DNEG，四边形MBCG与四边形DNFC，四边形ABFE与四边形ADGE，四边形ABFN与四边形ADGM． 【解析】 【分析】（1）由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM＝DN，可得AM＝AN，即可证得四边形AMEN是菱形； （2）根据四边形AMEN是菱形得到ME=NE，S△AEM＝S△AEN，作出辅助线，证明△MHB≌△NKD（AAS），得到MH=NK，从而得到S四边形MBFE＝S四边形DNEG，继而求得答案． 【详解】（1）证明：∵MG∥AD，NF∥AB， ∴四边形AMEN是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵BM＝DN， ∴AB−BM＝AD−DN， ∴AM＝AN， ∴四边形AMEN是菱形； （2）解：∵四边形AMEN是菱形， ∴ME=NE，∴S△AEM＝S△AEN， 如图所示，过点M作MH⊥BC于点H，过点N作NK⊥CD于点K， ∴∠MHB=∠NKD=90° ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D， ∵BM=DN， ∴△MHB≌△NKD（AAS）， ∴MH=NK ∴S四边形MBFE＝S四边形DNEG， ∴S四边形MBCG＝S四边形DNFC，S四边形ABFE＝S四边形ADGE，S四边形ABFN＝S四边形ADGM． ∴面积相等的四边形有：四边形MBFE与四边形DNEG，四边形MBCG与四边形DNFC，四边形ABFE与四边形ADGE，四边形ABFN与四边形ADGM． 【点睛】此题考查了菱形的性质与判定．解题的关键是掌握菱形的性质以及判定定理． 25. 益民商店经销某种商品，进价为每件80元，商店销售该商品每件售价高于80元且不超过120元．若售价定为每件120元时，每天可销售200件，市场调查反映：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）商店在销售该商品时，除成本外每天还需支付其余各种费用1000元，益民商店在某一天销售该商品时共获利8000元，求这一天该商品的售价为多少元？ 【答案】（1） （2）这一天该商品的售价为110元 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出与的关系式是解题关键． （1）首先可知降价元，那么销量增加件，进而求出每天可表示出销售商品数量； （2）根据每件商品的盈利销售的件数各种费用商店的日盈利，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件． 【小问2详解】 解：由题意可知，设该商品的售价为元， 解得 答：这一天该商品的售价为110元． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，点为直线上一点，，点为轴正半轴上一点，连接，的面积为48． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，点分别在线段上，连接，点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)在(2)的条件下，如图3，连接，点为轴正半轴上点右侧一点，点为第一象限内一点，，，延长交于点，点为上一点，直线经过点和点，过点作，交直线于点，连接，请你判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）B（6，0）；（2）d＝；（3）四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）作DL⊥y轴垂足为L点，DI⊥AB垂足为I，证明△DLC≌△AOC，求得D（2，12），再由S△ABD＝AB•DI＝48，求得OB＝AB−AO＝8−2＝6，即可求B坐标； （2）设∠MNB＝∠MBN＝α，作NK⊥x轴垂足为K，MQ⊥AB垂足为Q，MP⊥NK，垂足为P；证明四边形MPKQ为矩形，再证明△MNP≌△MQB，求出BD的解析式为y＝−3x＋18，MQ＝d，把y＝d代入y＝−3x＋18得d＝−3x＋18，表达出OQ的值，再由OQ＝OK＋KQ＝t＋d，可得d＝−； （3）作NW⊥AB垂足为W，证明△ANW≌△CAO，根据边的关系求得N（4，2）；延长NW到Y，使NW＝WY，作NS⊥YF，再证明△FHN≌△FSN，可得SF＝FH=，NY＝2＋2＝4；设YS＝a，FY＝FN＝a＋，在Rt△NYS和Rt△FNS中利用勾股定理求得FN；在Rt△NWF中，利用勾股定理求出WF＝6，得到F（10，0）；设GF交y轴于点T，设FN的解析式为y＝px＋q （p≠0）把F（10，0）N（4，2）代入即可求出直线FN的解析式，联立方程组得到G点坐标；把G点代入得到y＝x+3，可知R（4，0），证明△GRA≌△EFR，可得四边形AGFE为平行四边形，再由∠AGF＝180°−∠CGF＝90°，可证明平行四边形AGFE为矩形． 【详解】解：（1）令x＝0，y＝6，令y＝0，x＝−2， ∴A（−2，0），B（0，6）， ∴AO＝2，CO＝6， 作DL⊥y轴垂足为L点，DI⊥AB垂足为I， ∴∠DLO＝∠COA＝90°，∠DCL＝∠ACO，DC＝AC， ∴△DLC≌△AOC（AAS）， ∴DL＝AO＝2， ∴D的横坐标为2， 把x＝2代入y＝3x＋6得y＝12， ∴D（2，12）， ∴DI＝12， ∵S△ABD＝AB•DI＝48， ∴AB＝8； ∵OB＝AB−AO＝8−2＝6， ∴B（6，0）； （2）∵OC＝OB＝6， ∴∠OCB＝∠CBO＝45°， ∵MN＝MB， ∴设∠MNB＝∠MBN＝α， 作NK⊥x轴垂足为K，MQ⊥AB垂足为Q，MP⊥NK，垂足为P； ∴∠NKB＝∠MQK＝∠MPK＝90°， ∴四边形MPKQ为矩形， ∴NK∥CO，MQ＝PK； ∵∠KNB＝90°−45°＝45°， ∴∠MNK＝45°＋α，∠MBQ＝45°＋α， ∴∠MNK＝∠MBQ， ∵MN＝MB，∠NPM＝∠MQB＝90°， ∴△MNP≌△MQB（AAS）， ∴MP＝MQ； ∵B（6，0），D（2，12）， ∴设BD的解析式为y＝kx＋b（k≠0）， ∴，解得：k=-3，b=18， ∴BD的解析式为y＝−3x＋18， ∵点M的纵坐标为d， ∴MQ=MP＝d，把y＝d代入y＝−3x＋18得d＝−3x＋18， 解得x＝， ∴OQ＝； ∵N的横坐标为t， ∴OK＝t， ∴OQ＝OK＋KQ＝t＋d， ∴＝t＋d， ∴d＝； （3）作NW⊥AB垂足为W， ∴∠NWO＝90°， ∵∠ACN＝45°＋∠ACO，∠ANC＝45°＋∠NAO， ∵∠ACO＝∠NAO， ∴∠ACN＝∠ANC， ∴AC＝AN， 又∵∠ACO＝∠NAO，∠AOC＝∠NOW＝90°， ∴△ANW≌△CAO（AAS）， ∴AO＝NW＝2， ∴WB＝NW＝2， ∴OW＝OB−WB＝6−2＝4， ∴N（4，2）； 延长NW到Y，使NW＝WY， ∴△NFW≌△YFW（SAS） ∴NF＝YF，∠NFW＝∠YFW， 又∵∠HFN＝2∠NFO， ∴∠HFN＝∠YFN， 作NS⊥YF， ∵∠FH⊥NH， ∴∠H＝∠NSF＝90°， ∵FN＝FN， ∴△FHN≌△FSN（AAS）， ∴SF＝FH＝，NY＝2＋2＝4， 设YS＝a，FY＝FN＝a＋， 在Rt△NYS和Rt△FNS中：NS2＝NY2−YS2；NS2＝FN2−FS2；NY2−YS2＝FN2−FS2， ∴42−a2＝(a＋)2-()2， 解得a＝ ∴FN＝； 在Rt△NWF中WF＝， ∴FO＝OW＋WF＝4＋6＝10， ∴F（10，0）， ∴AW＝AO＋OW＝2＋4＝6， ∴AW＝FW， ∵NW⊥AF， ∴NA＝NF， ∴∠NFA＝∠NAF， ∵∠ACO＝∠NAO， ∴∠NFA＝∠ACO， 设GF交y轴于点T，∠CTF＝∠ACO＋∠CGF＝∠COF＋∠GFO， ∴∠CGF＝∠COF＝90°， 设FN的解析式为y＝px＋q （p≠0），把F（10，0）N（4，2）代入y＝px＋q 得，解得， ∴， ∴联立，解得：， ∴， 把G点代入y＝mx＋3，得，得m＝， ∴y＝x＋3， 令y＝0得0＝x＋3，x＝4， ∴R（4，0）， ∴AR＝AO＋OR＝2＋4＝6，RF＝OF−OR＝10−4＝6， ∴AR＝RF， ∵FE∥AC， ∴∠FEG＝∠AGE，∠GAF＝∠EFA， ∴△GRA≌△EFR（AAS）， ∴EF＝AG， ∴四边形AGFE为平行四边形， ∵∠AGF＝180°−∠CGF＝180°−90°＝90°， ∴平行四边形AGFE为矩形． 【点睛】本题是一次函数的综合题；灵活应用全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握平行四边形和矩形的判定，会待定系数法求函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学2025-2026学年度（上）学期 九年级综合练习1 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 下列四边形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若直角三角形的两条直角边的长分别为、，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 一个角是直角的四边形是矩形 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 直线沿轴向右平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为( ) A. B. C. D. 8. 如图，小元要在一幅长、宽的风景面的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为，根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 9. 如图，矩形纸片，，将其折叠使点与点重合，点的对应点为点，折痕为，那么和的长分别为( ) A. 4和 B. 4和 C. 5和 D. 5和 10. 甲、乙两名运动员同时从地出发前往地，在笔直的公路上进行骑自行车训练如图所示，反映了甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程 (千米)与行驶时间 (小时)之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时，乙在甲前10千米处；④甲、乙两名运动员相距5千米时，或．其中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___________． 12. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为________． 13. 已知菱形的边长为4，，则菱形的面积为_________． 14. 若x+y＝4，xy＝3，则x2+y2＝___． 15. 如图，平行四边形中，平分，交于点F，，交点，，则=_________． 16. 如图，在正方形的右侧作等边三角形，分别连接 交于点，连接，则________. 17. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，长为5，则的值为________． 18. 某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价，售价降低了280元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_____． 19. 如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集为________． 20. 如图，正方形中，，延长交于点，延长交于点，过点作，交的延长线于点，，，则___________． 三、解答题 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图所示，图1、图2分别是的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按下列要求分别画出相应的图形，且所画图形的每个顶点均在所给小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个周长为的菱形（非正方形）； （2）在图2中画出一个面积为9的平行四边形，且满足，请直接写出平行四边形的周长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，点的坐标分别为(1，0)，(0，2)，直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限的直线上，连接，且，求点的坐标． 24. 已知四边形是菱形，点分别在上，且，点分别在上，与相交于点． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积相等的四边形 25. 益民商店经销某种商品，进价为每件80元，商店销售该商品每件售价高于80元且不超过120元．若售价定为每件120元时，每天可销售200件，市场调查反映：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）商店在销售该商品时，除成本外每天还需支付其余各种费用1000元，益民商店在某一天销售该商品时共获利8000元，求这一天该商品的售价为多少元？ 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，点为直线上一点，，点为轴正半轴上一点，连接，的面积为48． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，点分别在线段上，连接，点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)在(2)的条件下，如图3，连接，点为轴正半轴上点右侧一点，点为第一象限内一点，，，延长交于点，点为上一点，直线经过点和点，过点作，交直线于点，连接，请你判断四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $