湖南省永州市宁远一中崇德学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期宁远一中崇德学校高三开学考试 数学 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ） A. B. C. D. 3．椭圆经过点，则其离心率（ ） A. B. C. D. 4．已知是等比数列的前项和，且，，则（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 5．设，为不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则与异面 D. 若，，，则与相交 6．已知复数，其中且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 7．已知，，则（ ） A. B. C. D. 8．已知，则有（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（ ） A. 两组数据的中位数相同 B. 两组数据的极差相同 C. 两组数据的方差相同 D. 两组数据的均值相同 10．若是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. 一定为正数 B. 2是的一个周期 C. 若，则 D. 若在上单调递增，则 11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递减数列 C. D. 数列的前项和 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，，若，则实数m的取值范围为__________． 13.若正四面体的顶点都在一个表面积为的球面上，过点且与平行的平面分别与棱交于点，则空间四边形的四条边长之和的最小值为__________. 14.已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为___________． 四，解答题：本题共5个小题，共77分。 15，已知函数，． （1）求函数的最小值和最小正周期； （2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值． 16，如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成线面角的正弦值. 17，已知椭圆及直线： （1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长 18，江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为． （1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量． ①求随机变量的概率； ②求的概率分布列以及数学期望． 19，已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 答案 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为， 所以， 故选：C 2．已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意，设，又是两个不共线的向量， 所以，所以． 故选：D 3．椭圆经过点，则其离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将代入可得， 化简可得，解得或（舍去）， 故椭圆方程为， 所以，故， 故， 故选：A 4．已知是等比数列的前项和，且，，则（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】因为是等比数列，是等比数列的前项和， 所以成等比数列，且， 所以， 又因为，， 所以，即，解得或， 因为， 所以， 故选：C． 5．设，为不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则与异面 D. 若，，，则与相交 【答案】A 【解析】对于A，根据面面垂直的性质定理可得A正确； 对于B，若，，，则，或与异面，故B错误； 对于C，若，，则，或与异面，故C错误； 对于D，若，，，则，或与异面，或与相交，故D错误． 故选：A. 6．已知复数，其中且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】复数，其中且， 复数在复平面内对应的点，在直线上， 的几何意义是点到点的距离， 其最小值为点到直线的距离，最小值为. 故选：D 7．已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为， ，且，则或， 由，得， 即，解得， 则，则， 又，，故， 解得， 故选：A 8．已知，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则. 当时，有，所以， 所以，在上恒成立， 所以，在上单调递增， 所以，， 所以，，即，所以 令，则在时恒大于零，故为增函数， 所以，而，所以， 所以， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（ ） A. 两组数据的中位数相同 B. 两组数据的极差相同 C. 两组数据的方差相同 D. 两组数据的均值相同 【答案】BC 【解析】因为，则，则， 所以，，不妨设，则， 对于A选项，值的中位数为，值的中位数为，且，A错； 对于B选项，值的极差为，值的极差为， 且，故两组数据的极差相同，B对； 对于C选项，记， ， 值的方差为， 值的方差为 ， 故两组数据的方差相同，C对； 对于D选项，由C选项可知，，D错. 故选：BC. 10．若是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. 一定为正数 B. 2是的一个周期 C. 若，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】BCD 【解析】因为符合条件，故A错误； 因为偶函数的图像关于直线对称，所以，故B正确； 因为对任意，，都有，所以对任意，取得； 若，即，故， 由2是的周期得，故C正确； 假设，由及，，得，， 故，这与在上单调递增矛盾，故D正确. 11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递减数列 C. D. 数列的前项和 【答案】AD 【解析】对于A选项，由得，所以，故A正确. 二次函数有两个不等式实根，， 不妨设， 因为， 所以， 在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则， 因为 所以，即： 所以为公比是2，首项为1的等比数列. 所以故BC错. 对于D选项，，得故D正确. 故选：AD 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，，若，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由集合中，当时，，当且仅当，即时等号成立， 故．因为，所以，所以，故实数m的取值范围为． 故答案为：. 13.若正四面体的顶点都在一个表面积为的球面上，过点且与平行的平面分别与棱交于点，则空间四边形的四条边长之和的最小值为__________. 【答案】## 【解析】如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球， 设正四面体棱长为，所以正方体的边长为， 易知正方体的外接球直径为体对角线的长，又，所以正四面体的半径， 依题有，得到，即正四面体的棱长为， 因为面，面面，面，所以， 设 因为，则，， 在中，因为，所以， 在中，，，则， 所以空间四边形的四条边长之和， 又，当时，， 故答案为：. 14.已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】不等式对恒成立， 等价于，即， 所以, 设，其中， 则，令得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，又，， 所以存在使得， 所以若，则或，即或， ，， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得， 所以实数a的取值范围为． 故答案为： 15，【答案】（1）的最小值是，最小正周期是；（2），． 【解析】（1），则的最小值是，最小正周期是； （2），则， ，，，，， ，由正弦定理，得，① 由余弦定理，得，即，② 由①②解得，． 16，【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）因为底面，底面， 所以，因为，分别为正方形的边，的中点， ， 所以，所以，由 所以，所以， 因为平面，平面，， 所以平面. （2）由（1）可知平面， 设，如图，连接，则即为直线与平面所成线面角， 因为，所以，， 在中，由于，所以， 所以，所以， 所以在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为. 17，【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由消去，并整理得……① ∵直线与椭圆有公共点 ∴，可解得： 故所求实数的取值范围为 （2）设直线与椭圆的交点为， 由①得： ， 当时，直线被椭圆截得的弦长为 18，【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析，. 【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件，； 因此，该校最终选地理的学生为； （2）①由题意可知，，所以，； ②由于，则， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： ． 19，【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）. 【解析】（1）函数，定义域为，， 当时，. 故在定义域上单调递增，此时无减区间. 当时，令，得； 当时，，故单调递增； 当时，，故单调递减. 综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，时，至多一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 要有两个零点，需满足，即. 此时，. 因为，所以在有一个零点； 因为，. 令，， 所以在单调递增，， 所以，所以在上有一个零点. 所以，有两个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $