三角恒等变换专项提升卷——2026届高三数学一轮复习

三角恒等变换专项提升卷-2026高考数学一轮复习题 5大考点汇总 考点一：半角的三角函数 考点二：三角函数的恒等变换及化简求值 考点三：两角和与差的三角函数 考点四：二倍角的三角函数 考点五：三角函数中的恒等变换应用 跟踪训练 考点一：半角的三角函数 1．（2025春•东昌府区校级期中）设，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025•江西模拟）已知α为第一象限角，sinα，则tan（　　） A． B． C．2 D． 3．（2024•随州模拟）设5π＜θ＜6π，cosa，则sin等于（　　） A． B． C． D． 4．（2025•天心区校级模拟）已知，则（　　） A． B． C． D． 考点二：三角函数的恒等变换及化简求值 5．（2024秋•赤坎区校级期末）已知tanα＝2，则　 　 ． 6．（2024秋•灌南县期中）若sin2（α+β）＝3sin2γ，则 　 　 ． 7．（2025春•雁江区校级期中）若函数在上只有一个零点，则ω的取值范围为　 　 ． 8．（2025春•涉县校级月考）已知角A，B满足，则　 　 ． 考点三：两角和与差的三角函数 9．（2025•河西区一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）设b＝2，c＝3． （ⅰ）求a的值； （ⅱ）求cos（2B﹣A）的值． 10．（2025春•乾县期末）已知． （1）求的值； （2）若，求sin（α﹣β）的值． 11．（2025春•环县校级期末）设α，β都是锐角，且，． （1）求的值； （2）求cosβ的值． 12．（2025秋•宁远县校级月考）定义：若一次函数y＝ax+b和反比例函数满足a+c＝2b，则称y＝ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数． （1）判断y＝x+b和是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； （2）若y＝5x+b和y存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与的图象的一个交点的横坐标为1，求一次函数和反比例函数的表达式； （3）若一次函数y＝ax+b和反比例函数y（其中存在“等差”函数，且y＝ax+b与“等差”函数有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），试判断“等差”函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x1＜x＜x2）使得△ABP的面积最大？若存在，用c表示△ABP的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 考点四：二倍角的三角函数 13．（2025•广西开学）已知，，且，． （1）求tan（α﹣β）的值； （2）求的值； （3）求2α﹣β． 14．（2025春•齐齐哈尔期中）已知0＜αβ＜π，cosα，sinβ． （1）求sin（α﹣β）的值； （2）求sin2α﹣cos2α的值． 15．（2025春•东兴区校级期中）已知，tanα＝5tanβ， （1）求sin（α﹣β）的值； （2）若，求cos2α的值． 16．（2025春•葫芦岛期末）已知． （1）求tanα的值； （2）若α是第一象限角，，求的值． 考点五：三角函数中的恒等变换应用 17．（2025•平谷区校级开学）已知函数 （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若f（x）在区间[0，m]上只有一个零点，求m的取值范围． 18．（2024秋•固原校级期末）已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）设． ①求函数y＝g（x）的单调递增区间； ②当时，求不等式g（x）≤1的解集． 19．（2025秋•云南月考）已知函数的最小正周期为π． （1）求f（x）的单调递减区间； （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求φ的值； （3）若，求f（x）的值域． 20．（2025春•丰城市校级期末）已知函数，f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求f（x）的解析式和函数f（x）的单调递增区间； （2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＝m在上只有一个解，求实数m的取值范围． 三角恒等变换专项提升卷-2026高考数学一轮复习题 参考答案与试题解析 1．（2025春•东昌府区校级期中）设，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 可得cos2cos21＝m，可得cos2， 可得∈（，π），cos0， 则． 故选：A． 2．（2025•江西模拟）已知α为第一象限角，sinα，则tan（　　） A． B． C．2 D． 【解答】解：因为， 所以，解得或2， 因为α为第一象限角，所以，k∈Z，∈Z， 所以舍去）． 故选：D． 3．（2024•随州模拟）设5π＜θ＜6π，cosa，则sin等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为5π＜θ＜6π， 所以， 所以sin0， 因为cosa＝1﹣2sin2， 所以sin． 故选：D． 4．（2025•天心区校级模拟）已知，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以cosθ2cos21， 所以cos， 则2cos． 故选：A． 5．（2024秋•赤坎区校级期末）已知tanα＝2，则　8　 ． 【解答】解：因为tanα＝2，则8． 故答案为：8． 6．（2024秋•灌南县期中）若sin2（α+β）＝3sin2γ，则 　　 ． 【解答】解：因为sin2（α+β）＝3sin2γ， 又2（α+β）＝（α+β+γ）+（α+β﹣γ），2γ＝（α+β+γ）﹣（α+β﹣γ）， 可得sin[（α+β+γ）+（α+β﹣γ）]＝3sin[（α+β+γ）﹣（α+β﹣γ）]， 所以sin（α+β+γ）cos（α+β﹣γ）+cos（α+β+γ）sin（α+β﹣γ） ＝3sin（α+β+γ）cos（α+β﹣γ）﹣3cos（α+β+γ）sin（α+β﹣γ）， 化简得到：4cos（α+β+γ）sin（α+β﹣γ）＝2sin（α+β+γ）cos（α+β﹣γ）， 所以2tan（α+β﹣γ）＝tan（α+β+γ）， 所以． 故答案为：． 7．（2025春•雁江区校级期中）若函数在上只有一个零点，则ω的取值范围为　　 ． 【解答】解：， 所以， 令f（x）＝0，可得， 所以，k∈Z， 所以，k∈Z，又ω＞0， 所以将函数的正零点按从小到大的顺序排列可得 ，，，…， 因为函数y＝f（x）在上只有一个零点，ω＞0， 所以，， 所以， 所以ω的取值范围为． 故答案为：． 8．（2025春•涉县校级月考）已知角A，B满足，则　2　 ． 【解答】解：由题意，， 因为， 可得， 则由两角和（差）的余弦公式可得：， 可得， 所以． 故答案为：2． 9．（2025•河西区一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）设b＝2，c＝3． （ⅰ）求a的值； （ⅱ）求cos（2B﹣A）的值． 【解答】解：（Ⅰ）由．得． 即bc+2c2＝a2+c2﹣b2， 得b2+c2﹣a2＝﹣bc， 则cosA， 则A＝120°． （Ⅱ）（ⅰ）设b＝2，c＝3．则a2＝b2+c2﹣2bccos120°＝4+9﹣2×2×3×（）＝13+6＝19， 则a． （ⅱ）∵， ∴cos2B＝2cos2B﹣1＝21． 则sin2B， 则cos（2B﹣A）＝cos（2B﹣120°）＝cos2Bcos120°+sin2Bsin120°（）． 10．（2025春•乾县期末）已知． （1）求的值； （2）若，求sin（α﹣β）的值． 【解答】解：（1）根据α为锐角，且sinα，可得cosα， 所以； （2）根据，可得． 所以． 11．（2025春•环县校级期末）设α，β都是锐角，且，． （1）求的值； （2）求cosβ的值． 【解答】解：（1）因为α是锐角，，所以． 可得 ． （2）因为，所以， 若，则cosβ＝cos（α+β﹣α） ＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα． 若，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α] ＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα． 综上所述，或． 12．（2025秋•宁远县校级月考）定义：若一次函数y＝ax+b和反比例函数满足a+c＝2b，则称y＝ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数． （1）判断y＝x+b和是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； （2）若y＝5x+b和y存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与的图象的一个交点的横坐标为1，求一次函数和反比例函数的表达式； （3）若一次函数y＝ax+b和反比例函数y（其中存在“等差”函数，且y＝ax+b与“等差”函数有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），试判断“等差”函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x1＜x＜x2）使得△ABP的面积最大？若存在，用c表示△ABP的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）存在，假设一次函数y＝x+b与反比例函数存在“等差”函数， 则a＝1，c＝3， 又a+c＝2b，解得b＝2， 所以存在“等差”函数，其解析式为y＝x2+2x+3； （2）根据题意知：a＝5，5+c＝2b， 所以c＝2b﹣5， 则“等差”函数的解析式为y＝5x2+bx+2b﹣5， 反比例函数的解析式为根据题意， 将x＝1代入， 得5+b+2b﹣5＝﹣2b+5， 解得b＝1，c＝﹣3， 故一次函数的解析式为y＝5x+1，反比例函数的解析式为； （3）存在．根据题意知：，a+c＝2b， 所以b＝2c，a＝3c， 则“等差”函数的解析式为y＝3cx2+2cx+c， 一次函数解析式为y＝3cx+2c， 因为y＝3cx+2c与“等差”函数y＝3cx2+2cx+c有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以3cx2﹣cx﹣c＝0（c＞0），即3x2﹣x﹣1＝0， 所以，， 所以， 如图，过点P（x，3cx2+2cx+c）作PH⊥x轴，交AB于H， 则H（x，3cx+2c）， 因为点P（x，y）（其中x1＜x＜x2）， 所以P点在A，B之间， 所以PH＝3cx+2c﹣（3cx2+2cx+c）＝﹣3cx2+cx+c ＝﹣3c（x2x） ＝﹣3c[（x）2]， ， 所以当时，S取得最大值，最大值为c． 13．（2025•广西开学）已知，，且，． （1）求tan（α﹣β）的值； （2）求的值； （3）求2α﹣β． 【解答】解：（1）由，， 且，， 得． （2）由，得． （3）由，，得﹣π＜α﹣β＜0，由（1）知， 则，﹣π＜2α﹣β＜0，， 所以． 14．（2025春•齐齐哈尔期中）已知0＜αβ＜π，cosα，sinβ． （1）求sin（α﹣β）的值； （2）求sin2α﹣cos2α的值． 【解答】解：（1）由题意可得， 所以； （2）sin2α﹣cos2α ＝2sinαcosα﹣（2cos2α﹣1） ． 15．（2025春•东兴区校级期中）已知，tanα＝5tanβ， （1）求sin（α﹣β）的值； （2）若，求cos2α的值． 【解答】解：（1）由题意得sin（α+β）①， 由tanα＝5tanβ，得，即sinαcosβ＝5cosαsinβ…②， 由①②解得cosαsinβ，sinαcosβ， 所以sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （2）由α﹣β，0＜α+β， 可得，， 所以cos2α＝cos[（α+β）+（α﹣β）]＝cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α+β）sin（α﹣β） ． 16．（2025春•葫芦岛期末）已知． （1）求tanα的值； （2）若α是第一象限角，，求的值． 【解答】解：（1）因为4， 解得tanα＝2或﹣4． （2）由α是第一象限角，则tanα＝2， 因为tanβ＝tan[α﹣（α﹣β）]3， 故． 17．（2025•平谷区校级开学）已知函数 （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若f（x）在区间[0，m]上只有一个零点，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f（x）＝2sinxcosx（2cos2x﹣1）＝sin2xcos2x ＝2（sin2xcoscos2xsin）＝2sin（2x）， 令，k∈Z， 解得f（x）的递增区间为，k∈Z； （2）当x∈[0，m]时，， 由f（x）在区间[0，m]上只有一个零点， 则，解得，即m的取值范围为[，）． 18．（2024秋•固原校级期末）已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）设． ①求函数y＝g（x）的单调递增区间； ②当时，求不等式g（x）≤1的解集． 【解答】解：（1）． 函数f（x）的最小正周期为； 当，k∈Z，f（x）取得最大值2； （2）①， 令﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，整理得：，k∈Z， 所以函数g（x）的单调递增区间是，k∈Z； ②g（x）≤1⇔2cos2x≤0，， 2x∈[﹣π，π]，所以或， 得或 所以不等式g（x）≤1的解集是． 19．（2025秋•云南月考）已知函数的最小正周期为π． （1）求f（x）的单调递减区间； （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求φ的值； （3）若，求f（x）的值域． 【解答】解：（1）由题意知，Tπ，得ω＝1，所以f（x）cos（2x）﹣1， 令﹣π+2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z； 所以f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]，k∈Z； （2）将f（x）的图象向左平移φ个单位长度，再向上平移1个单位长度，得g（x）cos（2x+2φ）的图象． 因为g（x）的图象关于原点对称，所以2φkπ，k∈Z，即φ，k∈Z； 因为0＜φ，所以φ； （3）由x∈（，），得2x∈（，）， 则，所以， 所以f（x）的值域为． 20．（2025春•丰城市校级期末）已知函数，f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求f（x）的解析式和函数f（x）的单调递增区间； （2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＝m在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）cos2ωx+sinωxcosωx （1+cos2ωx）sin2ωx ＝sin（2ωx），其中ω＞0， 因为f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为， 所以f（x）的最小正周期为T＝π， 即π，解得ω＝1，所以f（x）＝sin（2x）， 令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ， k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z； （2）由（1）知，f（x）＝sin（2x），将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 纵坐标伸长为原来的2倍，得函数y＝2sin（4x）的图象， 再向左平移个单位得g（x）＝2sin[4（x）]＝2sin（4x）的图象． 令t＝4x，x∈[，]，则t∈[，]，所以， 因为2sint＝m在上只有一个解，由y＝2sint的图象（如图）可得，或m＝2，所以m的取值范围是． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $