三角函数专项提升卷——2026届高三数学一轮复习

三角函数专项提升卷-2026高考数学一轮复习题 10大考点汇总 考点一：角与弧度 考点二：三角函数的概念 考点三：三角函数的性质 考点四：诱导公式 考点五：正弦函数 考点六：余弦函数 考点七：正切函数 考点八：复合三角函数 考点九：同角三角函数的基本关系 考点十：三角函数的应用 跟踪训练 考点一：角与弧度 1．（2025•浙江学业考试）半径为3cm的圆中，有一条弧，长度为cm，则此弧所对的圆心角为（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•金溪县校级期中）已知角β＝﹣15°，角α的终边与角β的终边关于x轴对称，则α可能为（　　） A．25° B．195° C．345° D．﹣345° 3．（2025春•景德镇期中）角α的终边与30°的终边关于y轴对称，则α＝（　　） A．k•180°﹣30°（k∈Z） B．k•360°﹣30°（k∈Z） C．k•180°+150°（k∈Z） D．k•360°+150°（k∈Z） 4．（2025春•潍坊期中）已知圆心角为60°的扇形面积是，则这个圆心角所对的弦长为（　　） A．2π B．2 C． D．1 考点二：三角函数的概念 5．（2025•天津开学）如果θ是第一象限角，那么恒有（　　） A． B． C． D． 6．（2025•北京学业考试）若，则角α可以为（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•泸州期末）角α是第二象限角，以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•攀枝花月考）若点在角α的终边上，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 考点三：三角函数的性质 9．（2025•苏州三模）函数f（x）＝|sinx|+|cosx|的最小正周期为 　 　 ． 10．（2024秋•通州区期末）已知函数f（x）＝cos（x），则f（x）的最小正周期是 　 　 ；若x∈[﹣π，π]，则f（x）的单调递减区间是 　 　 ． 11．（2025春•普陀区校级月考）已知ω＞0，0＜φ＜π，f（x）＝cos（ωx+φ），函数y＝f（x）的最小正周期为T，若，为y＝f（x）的零点，则ω的最小值为　 　 ． 12．（2025春•临川区校级月考）函数f（x）＝|sinx|+2|cosx|的值域为　 　 ． 考点四：诱导公式 13．（2025•三明校级开学）已知，． （1）求的值； （2）若且，求sinβ的值． 14．（2025春•沈阳月考）已知． （1）化简函数f（x）； （2）若f（α）＝3，求． 15．（2025春•东港区校级月考）已知，且． （1）求tanα的值． （2）化简． 16．（2025春•合肥校级期末）在平面直角坐标系中，锐角α，β均以Ox为始边，终边分别与单位圆交于点A，B，已知点A的纵坐标为，点B的横坐标为． （1）求tan（α﹣β）和cos2α的值； （2）求的值； 考点五：正弦函数 17．（2025•安徽开学）已知函数． （1）当k＝0时，判断f（x）的单调性； （2）若对任意的，不等式f（x）＞0恒成立，求k的取值范围； （3）求证：． 18．（2025•丹阳市开学）已知集合，0≤x≤1}，非空集合B＝{x|ax2﹣2x+1＝0，x∈R}． （1）若B是单元素集合且实数a∈B，求a的值并用区间表示A； （2）若函数有两个零点，求m的取值范围． 19．（2025•蚌山区校级开学）已知函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）若时，不等式f（x）+m＞2恒成立，求实数m的取值范围． 20．（2025春•河南期中）已知函数． （1）求f（x）图象的对称中心； （2）求函数g（x）＝log2[2﹣f（x）]的单调递增区间； （3）若的图象与直线y＝a有三个交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，求sin（x1+x2+x3）的取值范围． 考点六：余弦函数 21．（2024秋•房县校级期末）已知函数，x∈R． （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值； （3）求不等式﹣1≤f（x）≤1的解集． 22．（2025春•濮阳期末）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调递减区间； （3）求f（x）在区间上的值域． 23．（2024秋•邹城市校级月考）已知函数，其中ω＞0． （1）若f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时f（x）的值域； （2）若函数f（x）在开区间内恰有3个零点，求ω的取值范围． 24．（2025春•陕西月考）已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为，且． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若对任意，都有2f（x）≥2c2﹣3c成立，求实数c的取值范围． 考点七：正切函数 25．（2025春•河南月考）已知函数在区间上有定义． （1）求ω的最大值； （2）若曲线y＝f（x）在区间（0，π）上至少有两个对称中心，求ω的取值范围． 26．（2025春•方城县校级期末）已知函数 （1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期与函数图象的对称中心； （2）若f（x）在[0，π]上单调递增，求ω的取值范围； （3）若方程在[a，b]上至少存在3022个根，且b﹣a的最小值不小于3022，求ω的取值范围． 27．（2025春•望城区校级期末）已知函数． （1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期； （2）若f（x）在区间上有定义． （i）求ω的最大值； （ⅱ）若曲线y＝f（x）至少有两个对称中心在区间（0，π）上，求ω的取值范围． 28．（2025春•河南月考）已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）若将f（x）的图象上的每个点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，若g（α）＝1，求sin2α的值． 考点八：复合三角函数 29．（2025•湖南开学）已知函数f（x）＝cosx，函数g（x）满足9f2（x）+[g（x）﹣2]2＝9，且． （1）求g（x）的值域； （2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）的最大值与最小值． 30．（2025秋•浙江月考）已知函数f（x）＝sinx+mx（x≥0）． （1）若函数f（x）的最大值为0，求m的取值范围； （2）证明：当x≥0时，有sinx﹣sin3x≥﹣2x； （3）若对任意x≥0，都有|sinx﹣sin3x|≤ax成立，求实数a的取值范围． 31．（2025春•雅安期末）已知函数f（x）＝cos4x+asin4x+bsinxcosx． （1）当a＝﹣1，b＝﹣2时，求f（x）在上的最小值； （2）当a＝b＝1时，方程f（x）＝m在内有两个不相等的实数根x1，x2． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 32．（2024秋•贵阳期末）已知曲线C：f（x）＝cosωxsinωx的两条相邻对称轴间的距离为． （1）求ω的值和f（x）的单调区间； （2）先将C向右平移个单位长度得到曲线C1，再把C1上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C2：y＝g（x），求g（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值． 考点九：同角三角函数的基本关系 33．（2025•涪城区校级模拟）在△ABC中，A、B为锐角且B＜A，sinA，sin2B． （1）求角C的值； （2）求证：5cosAcos（A+3B）＝2sinB． 34．（2025春•河南期中）如图，角α的终边与单位圆交于点，且x＜0． （1）求tanα； （2）求． 35．（2024秋•赤坎区校级期末）已知sinα+cosα＝m， （1）若，求tanα的值； （2）若，且，求实数m的值． 36．（2024秋•昌黎县校级月考）已知关于x的方程的两个根分别为sinθ和cosθ，且θ∈（﹣2π，0）． （1）求的值； （2）求m的值； （3）求方程的两根及θ的值． 考点十：三角函数的应用 37．（2025春•乾县期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t．秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，）． （1）求函数f（t）的解析式； （2）当t∈[35，55]时，求点P到x轴的距离的最大值． 38．（2024秋•盐津县期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中： （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求H关于t的函数解析式； （2）求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过85m的时长； （3）若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2，（座舱编号沿顺时针依次编号）求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考数据：，． 39．（2025春•栖霞区校级期中）如图，已知扇形AOB的圆心角为，半径为1，C是弧AB上任意一点，作矩形CDEF内接于该扇形． （1）设∠AOC＝α，试用α表示矩形CDEF的面积，并指出α的取值范围； （2）点C在什么位置时，矩形CDEF的面积最大？并说明理由． 40．（2025春•金山区校级期中）如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A（x1，y1），将射线OA绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B（x2，y2），设函数y＝f（α），f（α）＝y1+y2． （1）当时，求y1，y2的值； （2）求f（α）的单调增区间； （3）函数y＝h（x），的最小值为，求实数λ的值． 三角函数专项提升卷-2026高考数学一轮复习题 参考答案与试题解析 1．（2025•浙江学业考试）半径为3cm的圆中，有一条弧，长度为cm，则此弧所对的圆心角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r， 则lcm，r＝3cm，此弧所对的圆心角α． 故选：A． 2．（2025春•金溪县校级期中）已知角β＝﹣15°，角α的终边与角β的终边关于x轴对称，则α可能为（　　） A．25° B．195° C．345° D．﹣345° 【解答】解：因为角α的终边与角β的终边关于x轴对称，且角β＝﹣15°， 所以α＝﹣β+k•360°＝15°+k•360°（k∈Z）， 所以，当k＝﹣1时，可得α的可能取值为﹣345°． 故选：D． 3．（2025春•景德镇期中）角α的终边与30°的终边关于y轴对称，则α＝（　　） A．k•180°﹣30°（k∈Z） B．k•360°﹣30°（k∈Z） C．k•180°+150°（k∈Z） D．k•360°+150°（k∈Z） 【解答】解：角α的终边与30°的终边关于y轴对称， 则α＝k•360°+150°（k∈Z）． 故选：D． 4．（2025春•潍坊期中）已知圆心角为60°的扇形面积是，则这个圆心角所对的弦长为（　　） A．2π B．2 C． D．1 【解答】解：设该扇形的半径为r（r＞0）， 由题意扇形面积Sr2，解得r（负值已舍去）， 又扇形的圆心角为， 则其所对的弦长为l＝2sin． 故选：C． 5．（2025•天津开学）如果θ是第一象限角，那么恒有（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为θ是第一象限角， 所以， 可得， 当k为奇数时，为第三象限角，，； 当k为偶数时，为第一象限角，，， 因此恒有． 故选：C． 6．（2025•北京学业考试）若，则角α可以为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据正切函数的取值， 若，则角α可以为． 故选：C． 7．（2025春•泸州期末）角α是第二象限角，以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由于角α是第二象限角，以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为， 可得点P在第二象限，则点P的横坐标为， 所以． 故选：A． 8．（2024秋•攀枝花月考）若点在角α的终边上，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知，点P（﹣3，），所以sinα． 故选：A． 9．（2025•苏州三模）函数f（x）＝|sinx|+|cosx|的最小正周期为 　　 ． 【解答】解：因为f（x）＝|sin（x）|+|cos（x）|＝|sinx|+|cosx|＝f（x）， 故函数f（x）的最小正周期为． 故答案为：． 10．（2024秋•通州区期末）已知函数f（x）＝cos（x），则f（x）的最小正周期是 　2π　 ；若x∈[﹣π，π]，则f（x）的单调递减区间是 　　 ． 【解答】解：函数是余弦函数，其最小正周期为2π， 余弦函数在[2kπ，2kπ+π]上单调递减，其中k为整数， 将代入上述区间，得到， 即，当k＝0时，单调递减区间为， 该区间包含在[﹣π，π]内． 故答案为：． 11．（2025春•普陀区校级月考）已知ω＞0，0＜φ＜π，f（x）＝cos（ωx+φ），函数y＝f（x）的最小正周期为T，若，为y＝f（x）的零点，则ω的最小值为　　 ． 【解答】解：由题意得T，所以f（T）＝cos（ωT+φ）＝cos（2π+φ）， 即cosφ，结合0＜φ＜π，可得φ，f（x）＝cos（ωx）， 因为是f（x）的一个零点， 所以f（）＝cos（ω）＝0，可得ωkπ（k∈Z）， 解得ω＝ 3k（k∈Z），取k＝0，可得ω的最小值为． 故答案为：． 12．（2025春•临川区校级月考）函数f（x）＝|sinx|+2|cosx|的值域为　[1，]　 ． 【解答】解：∵f（x+π）＝|sin（x+π）|+2|cos（x+π）|＝|﹣sinx|+|﹣cosx|＝|sinx|+2|cosx|， ∴f（x）为周期函数，其中一个周期为T＝π， 故只需考虑f（x）在[0，π]的值域， 当x∈时，f（x）＝sinx+2cosx，其中，sinα， ∴，， 当x∈时，f（x）＝sinx﹣2cosx，其中cosβ，sinβ， ∴，， 综上所述，函数f（x）的值域为[1，]． 故答案为：[1，]． 13．（2025•三明校级开学）已知，． （1）求的值； （2）若且，求sinβ的值． 【解答】解：（1）因为，，所以sinα，， 则； （2）因为，，所以0＜α+β＜π． 又因为，所以， sinβ＝sin[（α+β）﹣α] ＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα ． 14．（2025春•沈阳月考）已知． （1）化简函数f（x）； （2）若f（α）＝3，求． 【解答】解：（1） ＝tanx； （2）若f（α）＝tanα＝3， 则1． 15．（2025春•东港区校级月考）已知，且． （1）求tanα的值． （2）化简． 【解答】解：（1）由题意得sin2α+cos2α1，解得m＝0或8， 根据，可知sinα≥0，cosα≤0， 当m＝0时，cosα，不符合题意，舍去；当m＝8时，sinα，cosα，符合题意． 故m＝8，可得tanα． （2）原式． 16．（2025春•合肥校级期末）在平面直角坐标系中，锐角α，β均以Ox为始边，终边分别与单位圆交于点A，B，已知点A的纵坐标为，点B的横坐标为． （1）求tan（α﹣β）和cos2α的值； （2）求的值； 【解答】解：（1）根据α、β均为锐角，可知点A，B都在第一象限， 结合yA，xB，可得，， 所以xA，yB， 可得，， 所以tan（α﹣β），cos2α＝2cos2α﹣1； （2）由（1）得， 所以． 17．（2025•安徽开学）已知函数． （1）当k＝0时，判断f（x）的单调性； （2）若对任意的，不等式f（x）＞0恒成立，求k的取值范围； （3）求证：． 【解答】解：（1）， 由，则cosx∈（0，1），故， cosx﹣1＜0，故f′（x）＞0在上恒成立， 故f（x）在上单调递增． （2）令F（x）＝sinx+tanx﹣2x，f（x）＞0⇔F（x）＞kx2， 由（1）得F（x）在上单调递增，又F（0）＝0， 所以sinx+tanx﹣2x＞0， （i）当k≤0时，sinx+tanx﹣2x＞0≥kx2恒成立． （ii）当k＞0时，令p（x）＝sinx﹣x，则p′（x）＝cosx﹣1， 当时，p′（x）＜0，p（x）单调递减， 又p（0）＝0，所以p（x）＜0，故时，sinx＜x，（*） 由（*）式可得f（x）＝sinx+tanx﹣2x﹣kx2＜tanx﹣x﹣kx2， 令g（x）＝tanx﹣x﹣kx2，则g′（x）＝tan2x﹣2kx， 由（*）式可得， 令， 故h（x）在上单调递增，又， 所以存在使得h（t）＝0，即x∈（0，t）时，h（x）＜0， 所以x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 又g（0）＝0，所以g（x）＜0， 即x∈（0，t）时，f（x）＜0，与f（x）＞0矛盾． 综上，满足条件的k的取值范围是（﹣∞，0]． 证明：（3）由，则sinx∈（0，1），tanx＞0， 要证，只需证， 即只需证， 由（2）知sinx+tanx＞2x，故只需证， 即只需证sinx•tanx﹣x2＞0，令， 则， 由，当且仅当cos2x＝1时等号成立， 又cosx∈（0，1），故不能取等，即有， 则， 令，则， 故H（x）在上单调递增，则H（x）＞H（0）＝0， 即G′（x）＞0，故G（x）在上单调递增，则G（x）＞G（0）＝0， 即有sinx•tanx﹣x2＞0，即得证． 18．（2025•丹阳市开学）已知集合，0≤x≤1}，非空集合B＝{x|ax2﹣2x+1＝0，x∈R}． （1）若B是单元素集合且实数a∈B，求a的值并用区间表示A； （2）若函数有两个零点，求m的取值范围． 【解答】解：（1）根据集合B是单元素集合，可知a＝0或，即a＝0或1， 当a＝0时，B＝{x|﹣2x+1＝0}＝{}，不满足a∈B； 当a＝1时，B＝{x|x2﹣2x+1＝0}＝{1}，满足a∈B． 综上所述，a＝1， 当0≤x≤1时，， 若sin（πx），则，解得， 所以A＝{x|x≤1}＝[，1]． （2）f（x）＝sin2（πx）﹣m+1 [1﹣cos（2πx）]﹣m+1cos（2πx）﹣m， 根据x∈A，结合A＝[，1]，可得， 若f（x）在上有两个零点， 则cos（2πx）＝3﹣2m在上有两个根， 即函数y＝cosx的图象与直线y＝3﹣2m在上有两个交点， 结合，可得，解得， 所以实数m的取值范围为． 19．（2025•蚌山区校级开学）已知函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）若时，不等式f（x）+m＞2恒成立，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f（x）＝2（sin2xcoscos2xsin）+1＝2sin（2x）+1， 令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得， 所以f（x）的单调递减区间为； 同理求得f（x）的单调递增区间为． （2）不等式f（x）+m＞2在时恒成立，即不等式f（x）＞2﹣m在上恒成立， 因为，所以， 所以f（x）＝2sin（2x）+1∈[1，3]，即， 所以，解得，实数m的取值范围为． 20．（2025春•河南期中）已知函数． （1）求f（x）图象的对称中心； （2）求函数g（x）＝log2[2﹣f（x）]的单调递增区间； （3）若的图象与直线y＝a有三个交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，求sin（x1+x2+x3）的取值范围． 【解答】解：（1）令，令，解得，函数f（x）的对称中心为． （2）令2﹣f（x）＝μ，则需满足μ＞0，即2﹣2sin（2x）﹣1＝1﹣2sin（2x）＞0， 化简可得sin（2x），则2nπ，n∈Z， 即x＜nπ，n∈Z， 因为y＝log2x在（0，+∞）单增， 令2nπ，n∈Z，解得nπx，n∈Z， t＝1﹣2sin（2x）在[nπ，]，n∈Z上单调递增， 即g（x）的单增区间为（kπ，kπ），k∈Z； （3）f（x）在x∈∈0，）的图象与直线y＝a有三个交点，即sin（2x）在上有三个解， 即与在有三个交点， 则满足2x1π，2x33π， 所以x1+x2，x2+x3， 又，即0， 则x1+x2+x3∈[，）， 所以sin（x1+x2+x3）∈（﹣1，]． 21．（2024秋•房县校级期末）已知函数，x∈R． （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值； （3）求不等式﹣1≤f（x）≤1的解集． 【解答】解：（1）由已知得，f（x）的最小正周期， 令，即解得，k∈Z， ∴f（x）的单调递减区间是，k∈Z． （2）∵，则， 故， ∴当，即时，， 当，即，f（x）min＝﹣1； （3）令，即， 即或，k∈Z， 解得或，k∈Z， 所以不等式的解集为． 22．（2025春•濮阳期末）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调递减区间； （3）求f（x）在区间上的值域． 【解答】解：（1）由题意得f（x）的最大值为A＝2， f（x）的周期T满足，解得T＝π，所以ω2， 根据，函数取得最大值，可得， 结合0＜φ＜π，解得，所以； （2）令，解得， 所以f（x）的单调递减区间为； （3）当时，， 所以当时，取到最小值﹣1， 当时，取到最大值，可得， 所以，即f（x）在区间上的值域为[﹣2，1]． 23．（2024秋•邹城市校级月考）已知函数，其中ω＞0． （1）若f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时f（x）的值域； （2）若函数f（x）在开区间内恰有3个零点，求ω的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f（x）的最小正周期为T＝2π， 结合π，解得ω＝2，所以， 当时，，可得， 所以，即f（x）在[0，]上的值域为； （2）当时，， 若f（x）在开区间内恰有3个零点，则，解得． 即实数ω的取值范围是． 24．（2025春•陕西月考）已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为，且． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若对任意，都有2f（x）≥2c2﹣3c成立，求实数c的取值范围． 【解答】解：（1）函数图象的相邻对称轴之间的距离为，由函数f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，可得， ∴，可得ω＝2， 又，可得，∵， ∴解得， ∴f（x）的解析式为． （2）当时，， ∴， ∵对任意，都有2f（x）≥2c2﹣3c成立， ∴，即2c2﹣3c≤﹣1，解得． ∴实数c的取值范围为． 25．（2025春•河南月考）已知函数在区间上有定义． （1）求ω的最大值； （2）若曲线y＝f（x）在区间（0，π）上至少有两个对称中心，求ω的取值范围． 【解答】解：（1）函数在区间上有定义， 令， 依题意可得，k∈Z， 所以， 解得， 又因为ω＞0，所以当且仅当k＝0时符合题意，此时，所以0＜ω≤1． 故ω的最大值为1． （2）令， 由y＝tanβ在区间上的对称中心依次为：，（π，0），⋯， 所以依题意只需， 此时可得，即， 故ω的取值范围为：{ω|}． 26．（2025春•方城县校级期末）已知函数 （1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期与函数图象的对称中心； （2）若f（x）在[0，π]上单调递增，求ω的取值范围； （3）若方程在[a，b]上至少存在3022个根，且b﹣a的最小值不小于3022，求ω的取值范围． 【解答】解：（1）若ω＝2，则f（x）＝tan（2x），可得f（x）的最小正周期T， 由，解得，所以f（x）图象的对称中心是； （2）因为f（x）在[0，π]上单调递增， 所以当x∈[0，π]时，， 可得，解得，结合ω＞0，解得； （3）因为，所以，可得，即， 因为在[a，b]上至少存在3022个根， 所以b﹣a至少包含3021个周期，即，b﹣a的最小值为， 结合b﹣a的最小值不小于3022，可得3022，解得． 27．（2025春•望城区校级期末）已知函数． （1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期； （2）若f（x）在区间上有定义． （i）求ω的最大值； （ⅱ）若曲线y＝f（x）至少有两个对称中心在区间（0，π）上，求ω的取值范围． 【解答】解：（1）当ω＝2时，， 则； （2）（i）当时，，ω＞0， 若f（x）在上有定义，则， 解得ω≤1，故ω的最大值为1； （ii）令，k∈Z， 解得，k∈Z， 则在区间（0，π）上至少有两解， 故至少存在两个k值使0＜3k﹣2＜6ω， 故至少有k＝1，2两个取值， 所以， 综上，ω的范围为． 28．（2025春•河南月考）已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）若将f（x）的图象上的每个点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，若g（α）＝1，求sin2α的值． 【解答】解：（1）由图象可知周期，所以， 由，k∈Z，所以，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以， 所以，由，得A＝2， 所以． （2）令，解得， 所以f（x）的单调递增区间为，无单调递减区间． （3）由题意得g（x）＝2tanx，所以2tanα＝1，得， 所以． 29．（2025•湖南开学）已知函数f（x）＝cosx，函数g（x）满足9f2（x）+[g（x）﹣2]2＝9，且． （1）求g（x）的值域； （2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）的最大值与最小值． 【解答】解：（1）由f（x）＝cosx，且9f2（x）+[g（x）﹣2]2＝9， 可得[g（x）﹣2]2＝9（1﹣cos2x）＝9sin2x，即g（x）＝2±3sinx， 当g（x）＝2+3sinx时，g（）＝2+3＝5，符合题意； 当g（x）＝2﹣3sinx时，g（）＝2﹣3＝﹣1，不符合题意，舍去． 综上所述，g（x）＝2+3sinx， 结合sinx∈[﹣1，1]，可知g（x）∈[﹣1，5]，即函数g（x）的值域为[﹣1，5]； （2）由（1）的结论，可得h（x）＝f（x）+g（x）＝cosx+3sinx+2， 所以h（x）sin（x+φ）+2，其中锐角φ满足tanφ， 当x+φ2kπ（k∈Z）时，即xφ+2kπ（k∈Z）时，h（x）取得最大值2， 当x+φ2kπ（k∈Z）时，即xφ+2kπ（k∈Z）时，h（x）取得最小值2． 30．（2025秋•浙江月考）已知函数f（x）＝sinx+mx（x≥0）． （1）若函数f（x）的最大值为0，求m的取值范围； （2）证明：当x≥0时，有sinx﹣sin3x≥﹣2x； （3）若对任意x≥0，都有|sinx﹣sin3x|≤ax成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意函数f（x）＝sinx+mx（x≥0）， 求导可得f'（x）＝cosx+m， 注意到f（0）＝0，而函数f（x）的最大值为0，因此f'（0）＝1+m≤0，所以m≤﹣1， 另一方面，当m≤﹣1时，f'（x）＝cosx+m≤1+m≤0，故f（x）在[0，+∞）上单调递减， 则f（x）≤f（0）＝0，满足题意， 综上所述，m的取值范围为（﹣∞，﹣1]； （2）证明：由（1）得当m＝﹣1时函数f（x）＝sinx﹣x在[0，+∞）单调递减， 又3x≥x≥0，因此sinx﹣x≥sin3x﹣3x，即sinx﹣sin3x≥﹣2x成立． （3）因sinx﹣sin3x＝sin（2x﹣x）﹣sin（2x+x）＝ ＝sin2xcosx﹣cos2xsinx﹣sin2xcosx﹣cos2xsinx ＝﹣2cos2x•sinx， 则ax≥sinx﹣sin3x＝﹣2cos2x•sinx， 当时，cos2x•sinx≥0，则ax≥﹣2cos2x•sinx， 令h（x）＝2cos2x•sinx﹣ax，，则h′（x）＝2cos2x•cosx﹣4sin2x•sinx﹣a， 因h（x）≤0在上恒成立，且h（0）＝0，则h'（0）＝2﹣a≤0，即a≥2， 下面证明a≥2时，sinx﹣sin3x≤ax成立： 由（2）得sinx﹣sin3x≥﹣2x≥﹣ax，下面证明sinx﹣sin3x≤2x， 即证明sinx+x≤sin3x+3x， 令g（x）＝sinx+x≥0，则g′（x）＝cosx+1≥0，因此g（x）单调递增， 则g（3x）≥g（x），即sinx﹣sin3x≤2x成立； 综上所述，实数a的取值范围为[2，+∞）． 31．（2025春•雅安期末）已知函数f（x）＝cos4x+asin4x+bsinxcosx． （1）当a＝﹣1，b＝﹣2时，求f（x）在上的最小值； （2）当a＝b＝1时，方程f（x）＝m在内有两个不相等的实数根x1，x2． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 【解答】解：（1）当a＝﹣1，b＝﹣2时，f（x）＝cos4x﹣sin4x﹣2sinxcosx＝cos2x﹣sin2x； 由于，所以， 所以当，即时，f（x）取得最小值，最小值为． （2）（i）当a＝b＝1时，f（x）＝cos4x+sin4x+sinxcosx， 所以 ， 若，则，令t＝sin2x∈（0，1），则， 方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根x1，x2， 即存在两个不相等的t1，t2满足，其中t1＝sin2x1，t2＝sin2x2， 因为的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减， 当t＝0或1时，y＝1，当时，， 所以，且t1+t2＝1． 证明：（ii）由（i），t1+t2＝1，即sin2x1+sin2x2＝1， 不妨设t1＜t2，则，即， 又，所以，则，故， 假设，则，即， 故， 所以，又sin2x1+sin2x2＝1， 所以，即，这与前面矛盾，故假设错误， 所以． 32．（2024秋•贵阳期末）已知曲线C：f（x）＝cosωxsinωx的两条相邻对称轴间的距离为． （1）求ω的值和f（x）的单调区间； （2）先将C向右平移个单位长度得到曲线C1，再把C1上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C2：y＝g（x），求g（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值． 【解答】解：（1）f（x）＝cosωxsinωx＝2sin（）， 由于两条相邻对称轴间的距离为，故函数的最小值正周期为π， 所以ω＝2； 故函数f（x）＝2sin（2x）； 令（k∈Z），整理得：（k∈Z）， 故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）． 令（k∈Z），整理得kπ（k∈Z）， 故函数的单调递减区区间为[]（k∈Z）． （2）先将C向右平移个单位长度得到曲线C1的函数图象y＝2sin（2x），再把C1上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C2：y＝g（x）＝2sin（x）的图象． 由于x∈[0，π]， 所以， 故，故g（x）∈[﹣1，2]． 当x＝0时，函数的最小值为﹣1，当x时，函数的最大值为2． 33．（2025•涪城区校级模拟）在△ABC中，A、B为锐角且B＜A，sinA，sin2B． （1）求角C的值； （2）求证：5cosAcos（A+3B）＝2sinB． 【解答】解：（1）∵A为锐角，sinA ∴cosA（2分） ∵B＜A，sinA， ∴B＜45°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∵sin2B， ∴cos2B ∴cosB，sinB（4分） cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB ∴C＝135°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）证明：左边＝5cosAcos（π﹣C+2B）＝﹣5cosAcos（C﹣2B）＝﹣5cosA[cosCcos2B+sinCsin2B]＝﹣5（）22sinB＝右边 从而得证． 34．（2025春•河南期中）如图，角α的终边与单位圆交于点，且x＜0． （1）求tanα； （2）求． 【解答】解：（1）（1）在单位圆上，可得， 结合x＜0，故，故， 故； （2）原式． 35．（2024秋•赤坎区校级期末）已知sinα+cosα＝m， （1）若，求tanα的值； （2）若，且，求实数m的值． 【解答】解：（1）， ∴（sinα﹣cosα）2＝0， ∴sinα＝cosα，即tanα＝1． （2）或， 而，， ∴． 36．（2024秋•昌黎县校级月考）已知关于x的方程的两个根分别为sinθ和cosθ，且θ∈（﹣2π，0）． （1）求的值； （2）求m的值； （3）求方程的两根及θ的值． 【解答】解：（1）因为关于x的方程的两个根分别为sinθ和cosθ， 所以， 可得； （2）由于， 可得， 可得，解得； （3）由（2）可知，， 可得，其两根为， 可得或， 又由于θ∈（﹣2π，0）， 可得或． 37．（2025春•乾县期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t．秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，）． （1）求函数f（t）的解析式； （2）当t∈[35，55]时，求点P到x轴的距离的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，R6，T＝60，所以ω， 由题意f（0）＝﹣3，即﹣3＝6sinφ， 又|φ|，则φ，所以f（t）＝6sin（t）． （2）由（1）知f（t）＝6sin（t）， 当t∈[35，55]时，t∈[π，]， 所以，即|f（t）|∈[0，6]， 所以点P到x轴的距离的最大值为6． 38．（2024秋•盐津县期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中： （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求H关于t的函数解析式； （2）求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过85m的时长； （3）若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2，（座舱编号沿顺时针依次编号）求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考数据：，． 【解答】解：（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设t＝0min时，游客甲位于点P（0，﹣50），以OP为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，0≤t≤30． （2）在运行一周的过程中，由0≤t≤30，则， 令，可得， 则，解得10＜t＜20． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过85m的时长为10min． （3）由甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2， 如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示， 不妨设点B相对于A始终落后， 则， 经过tmin后，甲距离地面的高度为， 点B相对于A始终落后， 此时乙距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得，0≤t≤30， 当或，即或， 所以， 则将参考数据，代入， 得hmax≈25×1.41×0.73＝25.7352≈26m， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为26m． 39．（2025春•栖霞区校级期中）如图，已知扇形AOB的圆心角为，半径为1，C是弧AB上任意一点，作矩形CDEF内接于该扇形． （1）设∠AOC＝α，试用α表示矩形CDEF的面积，并指出α的取值范围； （2）点C在什么位置时，矩形CDEF的面积最大？并说明理由． 【解答】解：（1）由题意， 则CF＝DE＝sinα，OF＝cosα， 在Rt△ODE中，，则， 于是矩形CDEF的面积S矩形CDEF＝EF×CF ，其中； （2）由（1）可得， 因为，可得， 当，即当时，矩形CDEF的面积最大，最大值为，此时点C是弧AB的中点． 40．（2025春•金山区校级期中）如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A（x1，y1），将射线OA绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B（x2，y2），设函数y＝f（α），f（α）＝y1+y2． （1）当时，求y1，y2的值； （2）求f（α）的单调增区间； （3）函数y＝h（x），的最小值为，求实数λ的值． 【解答】解：（1）因为角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A（x1，y1）， 所以当时，，； （2）依题意，f（α）＝y1+y2 ＝sinαsinαcosα ， 由，解得， 可得f（α）的单调递增区间为； （3）由（2）得， 令，则t∈[﹣1，1]， 函数的图象是开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即λ≤1时，，解得λ＝0； ②当，即λ＞1时，，解得λ＝2， 所以实数λ的值为λ＝0或λ＝2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $