函数的概念与性质专项提升卷——2026届高三数学一轮复习

函数的概念与性质专项提升卷-2026高考数学一轮复习题 9大考点汇总 考点一：函数的概念 考点二：函数的定义域 考点三：函数的值域 考点四：函数的图象问题 考点五：函数的单调性 考点六：函数的最值 考点七：函数的奇偶性 考点八：函数的周期性 考点九：函数恒成立问题 跟踪训练 考点一：函数的概念 1．（2024秋•四川校级期末）存在函数f（x）满足：对于任意的x∈R，都有（　　） A．f（sinx）＝x2 B．f（cosx）＝x2 C．f（sinx）＝cos2x D．f（cosx）＝sin2x 2．（2024秋•拱墅区校级期末）已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是（　　） A．{﹣2，2} B．{﹣2} C．{﹣1，2} D．{2} 3．（2024秋•聊城期末）已知集合A＝R，B＝（0，+∞），则下列f：A→B是从集合A到集合B的函数的为（　　） A．f（x）＝lnx B． C．f（x）＝x3 D．f（x）＝3x+1 4．（2024秋•奉贤区期末）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数图象是（　　） A． B． C． D． 考点二：函数的定义域 5．（2025•浙江学业考试）已知函数f（x）的定义域为[0，3]，则f（2x﹣1）的定义域为（　　） A．[0，3] B．[0，2] C．[0，7] D．[1，2] 6．（2025秋•迎泽区校级月考）函数的定义域是（　　） A．{x|x≥﹣4} B．{x|x≠1} C．{x|x≥﹣4且x≠1} D．{x|x＞﹣4且x≠1} 7．（2025秋•重庆校级月考）函数的定义域为（　　） A．[0，2） B．[0，2] C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2] 8．（2025春•邵阳月考）若函数f（x）的定义域是[﹣3，2]，则函数的定义域是（　　） A．[﹣4，1] B．[﹣3，1] C．[﹣3，1） D．[﹣4，1） 考点三：函数的值域 9．（2025秋•陕西月考）函数的值域为 　 　 ． 10．（2025•深圳开学）若函数f（x）＝（x﹣lna）（2x﹣2）的值域为[0，+∞），则a＝　 　 ． 11．（2025•安徽校级开学）函数的值域为 　 　 ． 12．（2025春•顺庆区校级月考）定义：若函数F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，则称区间[m，n]是函数F（x）的“完美区间”已知函数f（x）＝ln（ex﹣1）﹣ln（ex+1），若函数g（x）＝f（x）+lnb存在“完美区间”，则实数b的取值范围是　 　 ． 考点四：函数的图象问题 13．（2025春•常州月考）若函数y＝f（x）的图像经过点（1，1），则函数y＝f（1﹣x）+1的图像一定经过点 　 　 ． 14．（2025•蚌埠模拟）设函数f（x）＝1﹣|2x﹣m|，x∈[0，1]．若函数f（x）图象关于直线x对称，求曲线段y＝f（f（x））的长度为　 　 ． 15．（2025•闵行区校级模拟）设曲线C与函数的图像关于直线对称，设曲线C仍然是某函数的图像，则实数t的取值范围是 　 　 ． 16．（2025春•闵行区校级月考）随机变量X的概率分布密度函数，其图象如图所示，设P（X≥2）＝0.2，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 考点五：函数的单调性 17．（2024秋•甘肃期末）已知函数． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围． 18．（2024秋•合江县校级期末）已知定义在（﹣2，3﹣a）上的函数图象关于原点对称． （1）求f（x）的解析式； （2）判断并用定义证明f（x）的单调性； （3）解不等式f（2t+1）+f（t﹣2）＞0． 19．（2024秋•威海期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）xm﹣1的图象关于y轴对称，函数g（x）＝f（x）． （1）判断g（x）在[1，+∞）上的单调性并证明； （2）设函数h（x）＝f（x）﹣ax，A＝{y|y＝g（x），x}，若∀x∈[1，2]，h（x）∈A，求a的取值范围． 20．（2024秋•丽江校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，f（2x）＝2f（x）+1，且f（1）＝2． （1）求f（4）的值； （2）若f（x）为一次函数，且g（x）＝mf（x）+lnx在（0，+∞）内单调递增，求m的取值范围． 考点六：函数的最值 21．（2025•北京学业考试）已知函数． （1）求证：f（x）是奇函数； （2）当x＞0时，求f（x）的最小值． 22．（2025春•常德校级期末）若函数g（x）＝2ax2+7ax+2+b（a＞0）在区间[﹣1，0]上有最大值8和最小值3，设． （1）求a，b的值； （2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数k的取值范围． 23．（2025春•湖南校级期末）定义在R上的连续函数对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又． （1）求证：f（x）为奇函数； （2）求函数f（x）在[﹣3，6]上的最大值与最小值． 24．（2025春•房山区校级期末）已知函数f（x）＝a2x﹣2ax﹣1，其中a＞0且a≠1． （Ⅰ）已知f（x）的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； （Ⅱ）若a＝2，求f（x）的最小值； （Ⅲ）若f（x）在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值． 考点七：函数的奇偶性 25．（2025•东兴区校级开学）已知函数f（x）＝ln（1+ax）﹣ln（1﹣x）为奇函数， （1）求a的值； （2）解关于x的不等式． 26．（2025秋•驿城区校级月考）已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，f（2）＝﹣4． （1）证明：f（x）为奇函数． （2）证明：f（x）在R上是减函数． （3）求不等式f（x2﹣2x）﹣f（2﹣x）＞4的解集． 27．（2025•延边州开学）已知函数． （1）证明：函数f（x）的图象关于点（0，﹣1）对称； （2）若存在正数x，使得不等式f（m•9x+1）+f（﹣3）≤﹣2能成立，求实数m的取值范围． 28．（2025春•烟台校级月考）已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a的值； （2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的范围． 考点八：函数的周期性 29．（2025春•历城区校级期末）已知函数y＝f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，满足f（2）＝1，且对任意的x1，x2都有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）． （1）求f（4）的值； （2）求不等式f（x）+f（x+2）≤2的解集． 30．（2025春•临沂校级月考）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0． （1）求f（0）的值，并证明f（x）为奇函数； （2）判断函数f（x）的单调性，并证明； （3）若f（k•2x）+f（4x+1﹣8x﹣2x）＞0对任意x∈[﹣1，2]恒成立，求实数k的取值范围． 31．（2025春•凉州区校级期末）已知f（x）满足f（x）+f（y）＝f（x+y）（x，y∈R），且x＞0时，f（x）＜0． （1）判断f（x）的单调性并证明； （2）证明f（﹣x）＝﹣f（x）； （3）若f（1）＝2，解不等式f（2x﹣x2）+6＞0． 32．（2025春•吉林校级期中）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，∀x1，x2∈[0，]，恒有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），且f（1）＝a＞0． （1）求f（）和f（）； （2）求证：f（x）为周期函数； （3）设an＝f（2n），求an． 考点九：函数恒成立问题 33．（2024秋•南昌县校级期末）已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1 （1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x； （3）若不等式f（x）≥0对一切恒成立，求m的取值范围． 34．（2025秋•日照月考）函数y＝g（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是g（x）+g（2a﹣x）＝2b．已知函数． （1）判断函数f（x）的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数y＝f（x）的图像关于点（1，1）中心对称； （3）若对∀x1，x2∈R，且x1+x2＞2，恒有成立，求实数m的取值范围． 35．（2024秋•攀枝花月考）已知函数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （Ⅲ）设函数，若对∀x1∈（0，1]，∃x2∈[3，27]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围． 36．（2025•浙江学业考试）已知函数f（x）＝log4（4x+1）﹣mx是偶函数． （1）求m的值； （2）若g（x）＝4f（x），a＞0，b∈R，不等式b•g2（x）﹣|a•g（x）﹣b|+a≥0对任意恒成立，求的取值范围． 函数的概念与性质专项提升卷-2026高考数学一轮复习题 参考答案与试题解析 1．（2024秋•四川校级期末）存在函数f（x）满足：对于任意的x∈R，都有（　　） A．f（sinx）＝x2 B．f（cosx）＝x2 C．f（sinx）＝cos2x D．f（cosx）＝sin2x 【解答】解：对于A，取x，则x2，sinx；取x，则x2，sinx． 选项A不满足条件； 对于B，取x，则x2，cosx；取x，则x2，cosx． 选项B不满足条件； 对于C，f（sinx）＝cos2x＝1﹣2sin2x，满足函数的定义，选项C满足要求； 对于D，取x，则cosx，sin2x＝1；取x，则cosx，sin2x＝﹣1． 选项D不满足条件． 故选：C． 2．（2024秋•拱墅区校级期末）已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是（　　） A．{﹣2，2} B．{﹣2} C．{﹣1，2} D．{2} 【解答】解：由已知|x|＝2，解之得，x＝±2． 由函数的定义可知，A、B、D均有可能，C是不可能的， 故选：C． 3．（2024秋•聊城期末）已知集合A＝R，B＝（0，+∞），则下列f：A→B是从集合A到集合B的函数的为（　　） A．f（x）＝lnx B． C．f（x）＝x3 D．f（x）＝3x+1 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x）＝lnx，定义域为（0，+∞），不等于集合A，不符合题意； 对于B，f（x），其值域为[0，+∞），不是B的子集，不符合题意； 对于C，f（x）＝x3，其值域为实数集R，不是B的子集，不符合题意； 对于D，f（x）＝3x+1，其定义域为（1，+∞），是B的子集，符合题意． 故选：D． 4．（2024秋•奉贤区期末）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．中存在一个x有两个y与x对应，故不满足函数的条件， B．C．D．都满足函数的条件， 故选：A． 5．（2025•浙江学业考试）已知函数f（x）的定义域为[0，3]，则f（2x﹣1）的定义域为（　　） A．[0，3] B．[0，2] C．[0，7] D．[1，2] 【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，3]， 令0≤2x﹣1≤3， 即1≤2x≤4， 解得0≤x≤2； ∴f（2x﹣1）的定义域为[0，2]． 故选：B． 6．（2025秋•迎泽区校级月考）函数的定义域是（　　） A．{x|x≥﹣4} B．{x|x≠1} C．{x|x≥﹣4且x≠1} D．{x|x＞﹣4且x≠1} 【解答】解：由题意可得，解得x≥﹣4且x≠1． 故选：C． 7．（2025秋•重庆校级月考）函数的定义域为（　　） A．[0，2） B．[0，2] C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2] 【解答】解：由函数，可得 解得0≤x＜2， 所以函数的定义域为[0，2）． 故选：A． 8．（2025春•邵阳月考）若函数f（x）的定义域是[﹣3，2]，则函数的定义域是（　　） A．[﹣4，1] B．[﹣3，1] C．[﹣3，1） D．[﹣4，1） 【解答】解：因为函数f（x）的定义域是[﹣3，2]， 而函数， 可得﹣3≤x+1≤2解得﹣4≤x≤1，又x﹣1≠0，得﹣4≤x＜1． 故选：D． 9．（2025秋•陕西月考）函数的值域为 　[0，1）∪[2，+∞）　 ． 【解答】解：由题意得 整理得即， 移项整理得0， 解得0≤y＜1或y≥2． 故函数的值域为[0，1）∪[2，+∞）． 故答案为：[0，1）∪[2，+∞）． 10．（2025•深圳开学）若函数f（x）＝（x﹣lna）（2x﹣2）的值域为[0，+∞），则a＝　e　 ． 【解答】解：函数f（x）＝（x﹣lna）（2x﹣2）的值域为[0，+∞）， 则x﹣lna与2x﹣2需同号（同时非负或同时非正），且零点相同， 令2x﹣2＝0，得x＝1；令x﹣lna＝0，得x＝lna，故lna＝1，解得a＝e， 此时，当x＜1，x﹣1＜0且2x﹣2＜0，乘积为正；当x＝1，乘积为0； 当x＞1，x﹣1＞0且2x﹣2＞0，乘积为正，f（x）值域为[0，+∞），符合要求． 故答案为：e． 11．（2025•安徽校级开学）函数的值域为 　{y|y≥﹣2}　 ． 【解答】解法1：设（t≥0），则x＝t2﹣1， 原函数转化为y＝2t2+4t﹣2（t≥0）， 因为二次函数图象的对称轴为t＝﹣1，且抛物线开口向上， 所以y＝2t2+4t﹣2在[0，+∞）上单调递增， 所以y≥﹣2， 所以函数的值域为{y|y≥﹣2}． 解法2：函数的定义域为[﹣1，+∞）， 函数在[﹣1，+∞）上单调递增， 当x＝﹣1时，y＝﹣2， 所以y≥﹣2， 所以函数的值域为{y|y≥﹣2}． 故答案为：{y|y≥﹣2}． 12．（2025春•顺庆区校级月考）定义：若函数F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，则称区间[m，n]是函数F（x）的“完美区间”已知函数f（x）＝ln（ex﹣1）﹣ln（ex+1），若函数g（x）＝f（x）+lnb存在“完美区间”，则实数b的取值范围是　　 ． 【解答】解：由，解得x＞0，所以函数f（x）的定义域是（0，+∞）． 因为， 又y＝ex+1在（0，+∞）上为增函数，所以在（0，+∞）上为减函数， 所以在（0，+∞）上为增函数，在（0，+∞）上为增函数， 故f（x）＝ln（ex﹣1）﹣ln（ex+1）在（0，+∞）上单调递增． 可知g（x）＝f（x）+lnb在（0，+∞）上单调递增， 设区间[m，n]是函数g（x）＝f（x）+lnb的“完美区间”．则g（m）＝m，g（n）＝n． 可知方程g（x）＝x在（0，+∞）上至少存在两个不同的实数解， 即在（0，+∞）上至少存在两个不同的实数解， 所以y＝b与在（0，+∞）上至少存在两个不同的交点． 令t＝ex﹣1，则t＞0， 所以， 当且仅当时，取等号． 又在上单调递减，在上单调递增， 且当t→0时，y→+∞；当t→+∞时，y→+∞． 所以时满足题意．故实数b的取值范围为． 故答案为：． 13．（2025春•常州月考）若函数y＝f（x）的图像经过点（1，1），则函数y＝f（1﹣x）+1的图像一定经过点 　（0，2）　 ． 【解答】解：由已知函数y＝f（x）的图象经过点（1，1），可得f（1）＝1， 对于函数y＝f（1﹣x）+1，取x＝0，得y＝f（1）+1＝1+1＝2， 可得函数y＝f（1﹣x）+1的图象一定经过定点（0，2）． 故答案为：（0，2）． 14．（2025•蚌埠模拟）设函数f（x）＝1﹣|2x﹣m|，x∈[0，1]．若函数f（x）图象关于直线x对称，求曲线段y＝f（f（x））的长度为　　 ． 【解答】解：函数f（x）＝1﹣|2x﹣m|，x∈[0，1]．若函数f（x）图象关于直线x对称， 可知函数在x时，函数取得最大值．可得1﹣m＝0，m＝1， 函数f（x）＝1﹣|2x﹣1|，x∈[0，1]． f（x）， y＝f（f（x））， 曲线段y＝f（f（x））的长度为：4． 15．（2025•闵行区校级模拟）设曲线C与函数的图像关于直线对称，设曲线C仍然是某函数的图像，则实数t的取值范围是 　　 ． 【解答】解：设l是函数 在点 的切线， 因为曲线C与函数 的图像关于直线x对称， 所以直线l关于y对称后的直线方程必为x＝a，曲线C才能是某函数的图像， 如图所示，直线y与x＝a的夹角为30°，所以直线l的倾斜角为30°， 则直线的方程为l：，联立方程组， 可得x3﹣t3﹣8（x﹣t）＝0，则（x﹣t）（x2+xt+t2﹣8）＝0， 即x2+xt+t2﹣8＝0与x﹣t＝0同解， 解得， 所以t的取值范围是． 故答案为：． 16．（2025春•闵行区校级月考）随机变量X的概率分布密度函数，其图象如图所示，设P（X≥2）＝0.2，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】解：由题意可得，X～N（1，σ2），故P（X≤0）＝P（X≥2）＝0.2， 故图中阴影部分的面积为0.5﹣0.2＝0.3． 故答案为：0.3． 17．（2024秋•甘肃期末）已知函数． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）若f（x）的定义域为R， 即对x∈R恒成立． 当a≤0时，不符合题意； 当a＞0时，Δ＜0， 即，解得a＞1， 所以实数a的取值范围是（1，+∞）； （2）当a＝0时，，符合题意； 当a＜0时， 解得，所以； 当a＞0时，解得0＜a≤6． 综上，实数a的取值范围是． 18．（2024秋•合江县校级期末）已知定义在（﹣2，3﹣a）上的函数图象关于原点对称． （1）求f（x）的解析式； （2）判断并用定义证明f（x）的单调性； （3）解不等式f（2t+1）+f（t﹣2）＞0． 【解答】解：（1）根据题意，定义在（﹣2，3﹣a）上的函数图象关于原点对称， 即f（x）是定义域为（﹣2，3﹣a）的奇函数， 则有（﹣2）+3﹣a＝0，解可得a＝1， 又由有，变形可得b＝0， 此时，其定义域为（﹣2，2）， 有， 故f（x）为（﹣2，2）上的奇函数，其图象关于原点对称，符合题意， 故a＝1，b＝0，函数f（x）的解析式为； （2）f（x）在（﹣2，2）上单调递增； 证明如下： 令﹣2＜x1＜x2＜2，则 ， 由﹣2＜x1＜x2＜2，则4+x1x2＞0，x1﹣x2＜0，， 故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（﹣2，2）上单调递增； （3）由题意可得f（x）为奇函数，则有f（2t+1）＞﹣f（t﹣2）＝f（2﹣t）， 又因为f（x）在（﹣2，2）上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 19．（2024秋•威海期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）xm﹣1的图象关于y轴对称，函数g（x）＝f（x）． （1）判断g（x）在[1，+∞）上的单调性并证明； （2）设函数h（x）＝f（x）﹣ax，A＝{y|y＝g（x），x}，若∀x∈[1，2]，h（x）∈A，求a的取值范围． 【解答】解：（1）证明：由m2﹣m﹣5＝1＝（m+2）（m﹣3）＝0，所以m＝﹣2或m＝3， 由幂函数f（x）的图象关于y轴对称，所以m＝3．故f（x）＝x2． 所以，函数在[1，+∞）上单调递增，下面用单调性定义证明：设1≤x1＜x2， 则g（）． 因为1≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x2﹣x1＞0，x1x2＞1， 所以， 即g（x2）＞g（x1）所以函数在[1，+∞）上单调递增． （2）因为函数g（x）在上单调递增，且，所以，． 对h（x）＝x2﹣ax，x∈[1，2]．当即a≤2时，h（x）在[1，2]上单调递增， 所以h（x）≥h（1）＝1﹣a，由，当，即2＜a＜4时， h（x）在上单调递减，在上单调递增，所以． 由，无解．当即a≥4时，h（x）在[1，2]上单调递减， 所以h（x）≥h（2）＝4﹣2a，由，这与a≥4矛盾，无解． 综上可知：故a的取值范围是： 20．（2024秋•丽江校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，f（2x）＝2f（x）+1，且f（1）＝2． （1）求f（4）的值； （2）若f（x）为一次函数，且g（x）＝mf（x）+lnx在（0，+∞）内单调递增，求m的取值范围． 【解答】解：（1）因为f（1）＝2，所以f（2）＝2f（1）+1＝2×2+1＝5，f（4）＝2f（2）+1＝11； （2）由f（x）为一次函数，所以设f（x）＝kx+b（k≠0）， 由f（2x）＝2f（x）+1，f（1）＝2， 得，解得， 故f（x）＝3x﹣1， 所以g（x）＝mf（x）+lnx＝m（3x﹣1）+lnx， ， 因为g（x）在（0，+∞）内单调递增，所以g′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立， 即3mx+1≥0在（0，+∞）内恒成立， 所以，又在（0，+∞）内恒有y＜0， 所以m≥0，即m的取值范围为[0，+∞）． 21．（2025•北京学业考试）已知函数． （1）求证：f（x）是奇函数； （2）当x＞0时，求f（x）的最小值． 【解答】解：（1）证明：根据题意，，其定义域为{x|x≠0}． 又由， 故f（x）是奇函数． （2）已知x＞0，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数f（x）取得最小值4． 22．（2025春•常德校级期末）若函数g（x）＝2ax2+7ax+2+b（a＞0）在区间[﹣1，0]上有最大值8和最小值3，设． （1）求a，b的值； （2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数k的取值范围． 【解答】解：（1）函数g（x）＝2ax2+7ax+2+b（a＞0）关于x对称， 若g（x）在区间[﹣1，0]上单调递增， 则，解得a＝1，b＝6； （2）由（1）可得g（x）＝2x2+7x+8，， 不等式f（2x）﹣k•2x≥0等价于， 令，可得k≤8t2+7t+2， 不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[0，2]上有解等价为； 由二次函数性质可得y＝8t2+7t+2在上单调递增， 所以ymax＝17，因此k≤17． 即可得实数k的取值范围为（﹣∞，17]． 23．（2025春•湖南校级期末）定义在R上的连续函数对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又． （1）求证：f（x）为奇函数； （2）求函数f（x）在[﹣3，6]上的最大值与最小值． 【解答】（1）证明：令y＝﹣x，得f（x）+f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）， 令x＝1，y＝0，得f（1）+f（0）＝f（1），所以f（0）＝0， 所以f（x）+f（﹣x）＝0，即f（x）＝﹣f（﹣x）， 所以f（x）为奇函数． （2）解：设x1，x2∈R，且x1＜x2， 则f（x2）＝f（（x2﹣x1）+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1），即f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）， 因为x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＜0， 所以f（x2）﹣f（x1）＜0，所以f（x）为R上的减函数． 因为，所以， f（3）＝f（1）+f（2）＝﹣2，f（6）＝f（3）+f（3）＝﹣4， 因为f（x）在R上是减函数， 所以f（x）max＝f（﹣3）＝﹣f（3）＝2，f（x）min＝f（6）＝﹣4． 24．（2025春•房山区校级期末）已知函数f（x）＝a2x﹣2ax﹣1，其中a＞0且a≠1． （Ⅰ）已知f（x）的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； （Ⅱ）若a＝2，求f（x）的最小值； （Ⅲ）若f（x）在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值． 【解答】解：（Ⅰ）令x＝0，则f（0）＝a0﹣2a0﹣1＝1﹣2﹣1＝﹣2， 所以定点坐标为（0，﹣2）； （Ⅱ）当a＝2时，f（x）＝22x﹣2•2x﹣1＝（2x﹣1）2﹣2≥﹣2，当x＝0时，等号成立， 所以f（x）的最小值为﹣2； （Ⅲ）f（x）＝（ax﹣1）2﹣2，令t＝ax， 当0＜a＜1时，由于y＝ax在[0，1]上单调递减，则t∈[a，1]， 而函数y＝（t﹣1）2﹣2在[a，1]上单调递减，则，解得a＝3或a＝﹣1，不合题意； 当a＞1时，由于y＝ax在[0，1]上单调递增，则t∈[1，a]， 而函数y＝（t﹣1）2﹣2在[1，a]上单调递增，则，解得a＝3或a＝﹣1（舍）； 综上，实数a的值为3． 25．（2025•东兴区校级开学）已知函数f（x）＝ln（1+ax）﹣ln（1﹣x）为奇函数， （1）求a的值； （2）解关于x的不等式． 【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ln（1+ax）﹣ln（1﹣x）为奇函数， 所以有f（﹣x）+f（x）＝ln（1﹣ax）﹣ln（1+x）+ln（1+ax）﹣ln（1﹣x）＝0， 则ln（1﹣a2x2）＝ln（1﹣x2）， 1﹣a2x2＝1﹣x2⇒a2＝1⇒a＝±1， 当a＝﹣1时，f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1﹣x）＝0，此时函数定义域为（﹣∞，1），不关于原点对称，不符合题意； 当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），由1+x＞0且1﹣x＞0⇒﹣1＜x＜1， 经检验f（x）是奇函数，符合题意，即a＝1； （2）由（1）可知f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）， 函数在x∈（﹣1，1）时，单调递增， 根据函数单调性的性质可知函数f（x）在x∈（﹣1，1）时单调递增， f（）， 所以﹣1＜x2， 解得， 所以不等式的解集为． 26．（2025秋•驿城区校级月考）已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，f（2）＝﹣4． （1）证明：f（x）为奇函数． （2）证明：f（x）在R上是减函数． （3）求不等式f（x2﹣2x）﹣f（2﹣x）＞4的解集． 【解答】解：（1）证明：令x＝y＝0， 则f（0）＝f（0）+f（0）， 所以f（0）＝0， 令y＝﹣x， 则f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0， 所以f（﹣x）＝﹣f（x）且定义域为R， 故f（x）为奇函数； （2）证明：设x1＜x2， 则有x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＜0， 因为f（x+y）＝f（x）+f（y）， 所以f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）， 所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（x2﹣x1）＞0， 即f（x1）＞f（x2）， 故f（x）在R上单调递减； （3）因为f（x）为奇函数，且f（2）＝﹣4，所以f（﹣2）＝﹣f（2）＝4， 不等式f（x2﹣2x）﹣f（2﹣x）＞4化为f（x2﹣2x）＞f（2﹣x）+4＝f（2﹣x）+f（﹣2）＝f（﹣x）， 因为f（x）在R上单调递减， 所以x2﹣2x＜﹣x，即x2﹣x＝x（x﹣1）＜0， 解得0＜x＜1， 即不等式f（x2﹣2x）﹣f（2﹣x）＞4的解集是（0，1）． 27．（2025•延边州开学）已知函数． （1）证明：函数f（x）的图象关于点（0，﹣1）对称； （2）若存在正数x，使得不等式f（m•9x+1）+f（﹣3）≤﹣2能成立，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）证明：因为，所以， ，即f（x）+f（﹣x）＝﹣2， 所以函数f（x）的图象关于点（0，﹣1）对称． （2）因为，所以， 因为3x＞0，ln3＞0，所以，即f′（x）＞0， 所以函数f（x）在R上为增函数， 由（1）可知，函数f（x）的图象关于点（0，﹣1）对称，所以f（3）+f（﹣3）＝﹣2， 因为存在正数x，使f（m•9x+1）+f（﹣3）≤﹣2， 所以存在正数x，使f（m•9x+1）+f（﹣3）≤f（3）+f（﹣3），即f（m•9x+1）≤f（3）在（0，+∞）上有解， 因为函数f（x）在R上为增函数， 所以m•9x+1≤3在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解， 令，x∈（0，+∞），， 因为9x＞0，ln3＞0，所以g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，+∞）上为减函数， 所以，即g（x）＜2，所以m＜2， 综上可知，实数m的取值范围是（﹣∞，2）． 28．（2025春•烟台校级月考）已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a的值； （2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的范围． 【解答】解：（1）因为函数是R上的奇函数，所以f（0）＝0， 即，解得：a＝﹣1，此时， ，且定义域为 R，关于原点对称， 故f（x）为奇函数． （2）设x2＞x1，所以且， 0， 所以f（x2）＜f（x1），故在 R上为减函数， 又因为f（x）为奇函数，所以不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立， 即f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）恒成立，即f（t2﹣2t）＜f（﹣2t2+k）恒成立， 所以t2﹣2t＞﹣2t2+k对t∈R恒成立， 即k＜3t2﹣2t对t∈R恒成立， 因为函数，所以． 综上所述，k的范围是． 29．（2025春•历城区校级期末）已知函数y＝f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，满足f（2）＝1，且对任意的x1，x2都有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）． （1）求f（4）的值； （2）求不等式f（x）+f（x+2）≤2的解集． 【解答】解：（1）由题意，令x＝2，y＝2，可得f（4）＝2； （2）由f（x）+f（x+2）≤2， 可得f（x）+f（x+2）≤f（4）， ∴f（x2+2x）≤f（4）， ∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数， ∴， 解得：0＜x1， ∴f（x）+f（x+2）≤2的x的取值范围是（0，1]． 30．（2025春•临沂校级月考）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0． （1）求f（0）的值，并证明f（x）为奇函数； （2）判断函数f（x）的单调性，并证明； （3）若f（k•2x）+f（4x+1﹣8x﹣2x）＞0对任意x∈[﹣1，2]恒成立，求实数k的取值范围． 【解答】解：（1）令x＝y＝0，则有f（0+0）＝f（0）+f（0），解得f（0）＝0． 证明：令y＝﹣x，则有f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数； （2）f（x）是R上的增函数．证明如下： 设x2＞x1，所以x2﹣x1＞0，由f（x2）＝f（x1+x2﹣x1）＝f（x1）+f（x2﹣x1）＝f（x2）﹣f（x1）， 因为当x＞0时，f（x）＞0，所以f（x2﹣x1）＝f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），所以f（x）是R上的增函数； （3）由题意可知，f（k•2x）+f（4x+1﹣8x﹣2x）＞0对任意x∈[﹣1，2]恒成立，即f（k•2x+4x+1﹣8x﹣2x）＞f（0）对任意x∈[﹣1，2]恒成立， 因为y＝f（x）是R上的增函数，所以k•2x+4x+1﹣8x﹣2x＞0对任意x∈[﹣1，2]恒成立， 所以k•2x＞2x+8x﹣4x+1对任意x∈[﹣1，2]恒成立，即k＞1+22x﹣2x+2对任意x∈[﹣1，2]恒成立， 令t＝2x，则，则f（t）＝t2﹣4t+1，所以k＞f（t）max， 当t＝4时，f（t）的最大值为f（4）＝16﹣16+1＝1， 所以k＞1． 31．（2025春•凉州区校级期末）已知f（x）满足f（x）+f（y）＝f（x+y）（x，y∈R），且x＞0时，f（x）＜0． （1）判断f（x）的单调性并证明； （2）证明f（﹣x）＝﹣f（x）； （3）若f（1）＝2，解不等式f（2x﹣x2）+6＞0． 【解答】解：（1）设x1＜x2则x2﹣x1＞0， ∴f（x2﹣x1）＜0， 又f（x1）+f（x2﹣x1）＝f（x2）， 即f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＜0， ∴f（x2）＜f（x1）， ∴f（x）为减函数． （2）由f（x）+f（y）＝f（x+y）得：f（x）+f（﹣x）＝f（0）． 又f（0）+f（0）＝f（0）⇒f（0）＝0， ∴f（﹣x）+f（x）＝0， 即f（﹣x）＝﹣f（x）． （3）f（1）＝2⇒f（2）＝f（1）+f（1）＝4，f（3）＝f（2）+f（1）＝6， ∴f（2x﹣x2）+6＞0． 即f（2x﹣x2）＞﹣f（3）＝f（﹣3）， 又f（x）为减函数， ∴2x﹣x2＜﹣3， ∴不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}． 32．（2025春•吉林校级期中）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，∀x1，x2∈[0，]，恒有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），且f（1）＝a＞0． （1）求f（）和f（）； （2）求证：f（x）为周期函数； （3）设an＝f（2n），求an． 【解答】解：（1）∀x1，x2∈[0，]，恒有f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2）， ∴f（x）＝f（）•f（）， ∴f（1）＝f（）f（）＝a，即f（）， f（）＝f（）f（），即f（） （2）证明：依题y＝f（x）关于直线x＝1对称， 故f（x）＝f（1+1﹣x），即f（x）＝f（2﹣x），x∈R 又由f（x）是偶函数知f（﹣x）＝f（x），x∈R， ∴f（x）＝f（x﹣2），x∈R， 得f（x）＝f（x+2），x∈R ∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个最小正周期． （3）由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1]， ∴f（）＝f（n）＝f（（n﹣1）f（）f（（n﹣1））＝…＝f（）f（）…f（）＝f（）n， ∴f（）， ∵f（x）的一个周期是2， ∴f（2n）＝f（）， ∴an 33．（2024秋•南昌县校级期末）已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1 （1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x； （3）若不等式f（x）≥0对一切恒成立，求m的取值范围． 【解答】解：（1）①当m+1＝0即m＝﹣1时，f（x）＝2x﹣3，不合题意； …（1分） ②当m+1≠0即m≠﹣1时，，即，…（3分） ∴， ∴m（5分） （2）f（x）≥（m+1）x即（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0 即[（m+1）x﹣（m﹣1）]（x﹣1）≥0 ①当m+1＝0即m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}…（7分） ②当m+1＞0即m＞﹣1时，（x）（x﹣1）≥0， ∵11， ∴解集为{x|x或x≥1}…（9分） ③当m+1＜0即m＜﹣1时，（x）（x﹣1）≥0， ∵11， ∴解集为{x|}…（…（11分） （3）（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0，即m（x2﹣x+1）≥﹣x2﹣x+1， ∵x2﹣x+1＞0恒成立， ∴m1（13分） 设1﹣x＝t，则t∈[，]，x＝1﹣t， ∴， ∵t2，当且仅当t＝1时取等号， ∴1，当且仅当x＝0时取等号， ∴当x＝0时，1， ∴m≥1…（16分） 34．（2025秋•日照月考）函数y＝g（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是g（x）+g（2a﹣x）＝2b．已知函数． （1）判断函数f（x）的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数y＝f（x）的图像关于点（1，1）中心对称； （3）若对∀x1，x2∈R，且x1+x2＞2，恒有成立，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）为R上的单调递增函数，证明如下： ， 任取x1，x2∈R，令x1＜x2， 则2＞0，，， 故f（x1）﹣f（x2） ， 即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在定义域R内单调递增； （2）证明：因为f（x）的定义域为R， ，， 有， 所以f（x）的图象关于点（1，1）对称； （3）因为x1+x2＞2，即x1＞2﹣x2， 由（1）可知：f（x）在定义域R内单调递增，则f（x1）＞f（2﹣x2）， 由（2）可知：f（x）+f（2﹣x）＝2，即f（2﹣x）＝2﹣f（x）， 可得f（x1）＞f（2﹣x2）＝2﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）＞2， 由，得m2﹣m≤2， 即m2﹣m﹣2≤0，解得﹣1≤m≤2， 所以实数m的取值范围为[﹣1，2]． 35．（2024秋•攀枝花月考）已知函数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （Ⅲ）设函数，若对∀x1∈（0，1]，∃x2∈[3，27]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题知． （Ⅱ）证明：因为， 设0＜x1＜x2，所以 ， 又0＜x1＜x2，所以， 所以， 所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 所以f（x）在（0，+∞）上单调递减． （Ⅲ）由（2）知f（x）在（0，+∞）上单调递减， 所以在x∈（0，1]的值域为A＝[0，1）． 又，x∈[3，27]． 设t＝log3x，则t∈[1，3]，y＝（t﹣1）（t﹣2）+m＝t2﹣3t+2+m． 当时，；当t＝3时，ymax＝2+m， 因此函数g（x）在x∈[3，27]上的值域为， 由对∀x1∈（0，1]，∃x2∈[3，27]，使得f（x1）＝g（x2）成立，得A⊆B． 于是，解得m∈[﹣1，]． 36．（2025•浙江学业考试）已知函数f（x）＝log4（4x+1）﹣mx是偶函数． （1）求m的值； （2）若g（x）＝4f（x），a＞0，b∈R，不等式b•g2（x）﹣|a•g（x）﹣b|+a≥0对任意恒成立，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为f（x）＝log4（4x+1）﹣mx，x∈R， 又因为f（x）为偶函数， 所以f（1）＝f（﹣1）， 即log45﹣m＝log4m， 即log45﹣m＝log45+m﹣1， 解得m； （2）因为f（x）＝log4（4x+1）x＝log2， g（x）＝4f（x）2x+2﹣x， 所以g（x）在[，0）上单调递减，在[0，1]上单调递增， 令g（x）＝t，则t∈[2，]， 问题转化为：bt2+a≥|at﹣b|，即•t2+1≥|t|， 再令m，所以mt2+1≥|t﹣m|对t∈[2，]恒成立， ①当m≤0时，左边≤1，右边＞1，不符合题意； ②当m＞0时， a．当m时，则当t＝2时，不等式左边取到最小值，右边取到最大值，满足题意， 则4m+1≥m﹣2，解得m≥﹣1，所以m； b．当0＜m≤2时，有mt2+1≥t﹣m，即m≥（）max＝[]max， 则当t1时，[]max， 则m， 所以m≤2； c．当2＜m，mt2+1＞1＞|t﹣m|恒成立，符合题意； 综上所述，m的取值范围是[，+∞）． 所以的取值范围是[，+∞）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $