第十三章 三角形 单元练习题 培优卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第13章 三角形 单元练习题 培优卷 一．选择题 1．一个三角形的两边长为5和10，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 2．已知等腰三角形的一个内角等于80°，则它的底角是（　　） A．80° B．50° C．80°或50° D．不能确定 3．如图，在△ABC中，角平分线AD与中线BE交于点O，则下列结论错误的是（　　） A．AE＝CE B．AO是△ABE的角平分线 C．BO是△ABD的中线 D．S△ABE＝S△BCE 4．如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D，G分别为AC，AE的中点．若AB＝4，则图形ABCDEFG外围的周长是（　　） A．12 B．14 C．15 D．16 5．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．120° B．75° C．60° D．45° 6．如图，BE是△ABC的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　） A． B．2（∠B﹣∠C） C．∠B﹣2∠C D．∠B﹣∠C 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，且点D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠C为（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 9．如图，直线a∥b，则∠A的度数是（　　） A．28° B．31° C．39° D．42° 10．如图，△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，且∠ABD＝90°，则∠BCD的度数为（　　） A．10° B．15° C．22.5° D．30° 11．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 12．如图，在△ABC中，BH＝CH，AH为BC边上的高，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，若BF＝CE，∠DEF＝∠CBD，有下列结论：①∠BAC＝2∠DEF；②∠ABE＝∠BEG③EG⊥BC；④BD＝AH．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 13．等腰三角形的顶角为80°，底角的度数为 　 　 °． 14．如图所示，∠1的度数为　 　 ． 15．如图，将一个直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若∠A＝50°，则∠ABD+∠ACD＝　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差的值为 　 　 ． 17．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于 　 　 ． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E，F分别是AD上的任意两点．若△ABC的面积为20cm2，则图中阴影部分的面积为　 　 cm2． 19．如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝ 　 　 ． 三．解答题 20．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，若∠A＝24°，∠B＝64°，求∠BCE和∠DCE的度数． 21．如图，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线． （1）填空：当∠ABC＝62°，∠ACB＝68°时，∠D＝　 　 °，∠P＝　 　 °； （2）当∠A＝48°时，求∠D，∠P的度数； （3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由． 22．已知a，b，c是三角形的三边长，化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|． 23．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD相交于点F，若∠A＝58°，求∠BFC的度数． 24．阅读材料： 在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°，90°，60°，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为90°；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 　 　 ； （2）如图，∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以∠AOC为“优雅角”的“优雅角三角形”AOC，求∠ACB的度数． 25．请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务． 数学课上，在复习《三角形》这一章时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．猜想∠B、∠C、∠DAE的数量关系，并说明理由． “勤奋小组”没有发现数量关系，也没有解题思路，根据自己探究套路，尝试代入∠B、∠C具体的数值求∠DAE的值，对应值如下： ∠B 10° 20° 30° 30° 40° ∠C 50° 48° 76° 60° 60° ∠DAE 20° β 23° 15° 10° “智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，很快发现∠B、∠C、∠DAE的数量关系，并给出证明． “创新小组”受到他们的启发，提出如下问题：如图2，在图1的基础上，在AE的延长线上取一点F，过点F作FD⊥BC于点D，其它条件不变．当∠B＝32°、∠C＝76°时，求∠EFD度数． 任务一：上表中β＝ 　 　 ． 任务二：完成老师提出的问题． 任务三： 如图2，创新小组提出的问题中，∠EFD＝ 　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C C B C A B C B C 题号 12 答案 B 二．填空题 13．50． 14．120°． 15．40°． 16．2． 17．130°． 18．10． 19．解：30°或120°﹣α． 三．解答题 20．解：∵∠A＝24°，∠B＝64°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°． ∵CE平分∠ACB， ∴． ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°． ∴∠BCD＝26°． ∴∠ECD＝46°﹣26°＝20°． 21．解：（1）∵∠ACB＝68°，∠ABC＝62°， ∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝112°，∠CBE＝180°﹣∠ABC＝118°， ∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴，， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝180°﹣59°﹣56°＝65°，∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣31°﹣34°＝115°， 故答案为：115，65； （2）∵∠A＝48°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣48°＝132°， ∵∠ACB+∠BCF＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠ABC+∠CBE+∠ACB+∠BCF＝360°， ∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝228°， ∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴，， ∴，， ∴∠P＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣114°＝66°，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣66°＝114°， （3）当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变化，理由： 由（2）可知：∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB） ， ∠P＝180°﹣（∠CBE+∠BCF） ， ∴， ∴当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变化． 22．解：∵a，b，c是三角形的三边长，a﹣b+c＝a+c﹣b， 又∵a+c＞b， ∴a﹣b+c＞0， ∵b+c＞a， ∴a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c． 23．解：连接DE， ∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠ADF＝∠AEF＝90°， ∴∠ADE+∠FDE＝90°，∠AED+∠FED＝90°， ∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠DFE+∠FDE+∠FED＝180°， ∴∠A+∠DFE＝180°， ∴∠DFE＝180°﹣58°＝122°， ∴∠BFC＝122°． 24．解：（1）∵一个“优雅三角形”的一个内角为120°， ∴另两个角之和为：180°﹣120°＝60°， ∵“优雅角”为锐角， 根据“优雅三角形”的定义得：， 故答案为：45°； （2）由题意可知：∠OAB＝∠MAB＝90°， ∵点C在线段OB上， ∴0°≤∠OAC≤90°， ∵∠MON＝60°， ∴∠AOC＝60°， ∵△AOC是以∠AOC为优雅角的“优雅三角形”， ∴∠OAC＝20°， 则∠ACO＝100°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ACO＝180°﹣100°＝80°． 25．解：任务一：由表格中的对应值得： （50°﹣10°）＝20°；（76°﹣30°）＝23°；（60°﹣30°）＝15°；（60°﹣40°）＝10°； ∴β（48°﹣20°）＝14°， 故答案为：14°； 任务二：∠B、∠C、∠DAE的数量关系是：∠DAE（∠C﹣∠B），证明如下： 在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）， ∴AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC＝90°（∠B+∠C）， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝90°（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）， 即∠DAE（∠C﹣∠B）； 任务三：∠EFD＝22°，理由如下： 过点A作AH⊥BC于H，如图所示： ∵FD⊥BC， ∴AH∥FD， ∴∠EFD＝∠HAE， 由任务二知：∠HAE（∠C﹣∠B）， 又∵∠B＝32°、∠C＝76° ∴∠EFD（∠C﹣∠B）（76°﹣32°）＝22°． 故答案为：22°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/10 15:02:20；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $