第一章 特殊平行四边形单元试题2025-2026学年 山东省滕州市张汪中学北师大版九年级数学上册

2025-2026学年度山东省滕州市张汪中学第一学期单元试题 1. 九年级数学 第一章 特殊平行四边形 一、单选题 1．如图在中，点是的中点，，（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 2．下列命题中正确的是（   ） A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．有一个角是直角的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 3．如图，菱形的周长为16，对角线，相交于点，为的中点，则的长为（   ） A．8 B．4 C．2 D．3 4．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A．36 B．32 C．16 D．8 5．如图，有两张矩形纸片和，，，把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合，当两张纸片交叉所成的角最小时，重叠部分的面积等于（   ）． A． B． C． D． 6．如图，正方形中，，点在边上，，将沿DE对折至，延长交边于点，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（   ）    A．2 B．10 C． D． 8．如图，在长方形中，点E是边上一点，，，将沿直线折叠，点C恰好落在边上的点 F处，则边的长度为（   ） A． B． C． D．8 9．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在中，点分别在边上（不与顶点重合），满足，连接．下列说法一定正确的是（　　） A．四边形的周长等于的周长 B．当平分时，四边形为菱形 C．当为的中点时，四边形的面积等于的面积的 D．当为等腰直角三角形时，四边形为正方形 二、填空题 11．如图，矩形中，为，，则 12．如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ． 13．如图，四边形为菱形，对角线交于点E，与关于B点中心对称，已知，则的长为 ． 14．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为 ． 15．如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为 ． 16．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点、都在轴上，若四边形是菱形，则点坐标是 三、解答题 17．如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 18．如图，点分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 19．已知四边形和四边形都是正方形，且． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 20．如图，在中，，点是中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，，，求的长． 21．如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 22．（掌握）如图，在平行四边形中，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若与满足什么关系时，则四边形是矩形？请证明． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C C B D C D B 11．4 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质；根据矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，根据勾股定理进而可得出答案． 【详解】解：∵矩形， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 【详解】解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．13 【分析】本题主要考查了菱形的性质，中心对称图形的性质，勾股定理．根据菱形的性质，可得，再结合中心对称图形的性质，可得的长，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∵与关于B点中心对称， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13 14． 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理，分 时，根据翻折变换的性质求出，然后判断出是等腰直角三角形，从而求出；90°时，判断出在同一直线上，利用勾股定理列式求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后求出，设，表示出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 时，如图， ， 由翻折的性质得， 是等腰直角三角形， ， 时，如图， 由翻折的性质， 在同一直线上，，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，，即 ， 解得， 即， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 16．或 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 由坐标与图形的性质可求，点，分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵点，点， ∴，点， 当点在点的右侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴点， 当点在点的左侧时，同理可得， ∴点， 综上所述：点或， 故答案为：或． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先结合点E是的中点，，得，，再结合对顶角相等，证明，则，又因为是边上的中线，故，即可作答． （2）因为，，得，由（1）得，又∵，得出四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．(1)证明见解析 (2)选①②或①③，证明见解析 【分析】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定： （1）利用三角形中位线即可证明； （2）选①②：根据四边形为平行四边形，平分，可得四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；选①③：根据四边形为平行四边形，，可得四边形是矩形，再由及三角形中位线的性质可得，从而可证四边形是正方形；选②③：不能证明四边形是正方形． 【详解】（1）分别是的中点， 都是的中位线， ， 四边形为平行四边形； （2）选择①②： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 又∵， 四边形是正方形． 选择①③： 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， 点分别是的中点， 是的中位线， 四边形是正方形． 选②③： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 点分别是的中点， 是的中位线， 故四边形不一定是正方形． 19．(1)见解析 (2)①② 【分析】（1）根据正方形的性质可以得出，再由证明就可以得出结论； （2）①连接，根据平行线的性质可以得出，可以得出，由证得，得出，证得为正三角形即可以得出结果； ②延长交于点H，过点G作于N，由证明，得出，得出，，由勾股定理求出的值，得出的值，证出是等腰直角三角形，得出，由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形为正方形， ∴． ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴； （2）解：①连接，如图2所示： 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②延长交于点H，过点G作于N，如图3所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可． （2）证明是等边三角形，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：，， 是等边三角形， ，， ∵， ， ∵， ， ， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记菱形的判定方法是关键． 21．(1)见解析 (2)四边形是矩形．证明见解析 【分析】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）由平行得，进而证明，推出，等量代换可得； （2）由等腰三角形三线合一，可得，再证四边形是平行四边形，可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形是矩形． 理由：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 22．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，，得，因为点F是边的中点，得，证明，即可作答． （2）与满足，先证明四边形是平行四边形，得，因为四边形是平行四边形，得，因为，得，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵ ∴； （2）解：，理由： ∵四边形是平行四边形， ∴ 由（1）得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 答案第6页，共12页 答案第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $