精品解析：北京交通大学附属中学第二分校2025--2026学年上学期九年级数学开学考数学试卷

北京交大附中2025－－2026学年度第一学期初三年级9月阶段性练习数学 （试卷满分100分 考试时间120分钟） 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，在边长为5的菱形中，，于点H，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 6. 某科技产业园区年的营业收入为亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，年的营业收入达到亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示： 成绩/米 人数 2 5 3 1 其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（ ） A. 众数和中位数 B. 中位数和方差 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 8. 如图，在矩形中，，点，分别在，边上，连接，，．，，，．给出下面三个结论：①； ②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 10. 如图，四边形是平行四边形，于点．若，则的大小为___________． 11. 某校为增强学生体质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项测试．以下是某次八年级（1）班甲、乙两组男生引体向上测试的成绩： 甲组 乙组| 如果甲、乙两组成绩的方差分别为，则______（填“>”“<”或“=”） 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 13. 若x=a是一元二次方程的一个实数根，那么代数式=_______． 14. 如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=________． 15. 如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为_______． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 三、解答题（共68分，第17－23题每题5分，第24－25题每题6分，第26－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 用适当的方法解方程：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求的值和直线的表达式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个根不小于，求的取值范围． 21. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位在中，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则A点坐标为___________，C点坐标为___________． （3）若点是点C关于原点的对称点，则的坐标为___________． 22. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ③连接交于点； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形为___________， ______________________， ， 四边形AECF为矩形（___________）（填写推理依据）． 23. 如图，在中，，是边上的中线．过点作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形 （2）连接，若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． （1）当时，求点的坐标； （2）已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 25. 某校为了解七年级和八年级学生的体育与健康知识掌握情况．从这两个年级的学生中各随机抽取了30名学生进行有关测试，获得了这些学生的成绩(成绩用x表示，满分100分)．并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．抽取的七年级学生测试成绩： 65，68，72，72，75，78，80，81，82，82，83，83，84，84，85 85，86，86，86，87，88，89，91，93，95，96，97，98，99，100 b．抽取的八年级学生测试成绩的频数分布直方图(数据分成5组：)： c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是： 85，85，86，87，87，88，89，89，89 d．抽取的七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 85 85 m 八年级 88 n 89 根据以上信息解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）表中 ， ； （3）在此次测试中，七、八年级各有学生考了88分，这个成绩在哪个年级排名更靠前？回答并说明理由； （4）此次测试成绩85分及85分以上为优秀．若该校八年级有300名学生，假设八年级的学生都参加此次测试，估计八年级学生成绩优秀的人数． 26. 小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整、并解决问题． （1）函数的自变量x的取值范围是_______，y的取值范围是_______； （2）由，设计如下画图方案： 将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）利用函数图象解决问题： ①当时，y的取值范围是_______； ②当时，x的取值范围是_______． ③若对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出k的取值范围． 27. 在正方形中，将边绕点A 逆时针旋转得到线段（点P不与点D重合），连接．过点B作直线的垂线，垂足为点Q，连接，． （1）如图，当时． ①依题意补全图形，求的度数； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （2）当时，直接用等式表示，，的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．对于线段与x轴上的点T，给出如下定义：将线段绕点T旋转得到线段（，分别是P，Q的对应点），若线段的两个端点都在四边形的边上，则称线段是四边形的以点T为中心的“关联线段”． （1）如图，点，，，．在线段中，四边形的以点T为中心的“关联线段”是________； （2）已知点，若线段是四边形的以点T为中心的“关联线段”，则点N的横坐标的最小值为_______； （3）点，若直线上存在点Q，使得线段是四边形的以点T为中心的“关联线段”直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2025－－2026学年度第一学期初三年级9月阶段性练习数学 （试卷满分100分 考试时间120分钟） 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，且． 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，方程思想的运用；根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件建立方程求解． 【详解】解：在平行四边形中，与为邻角，故； 设，则，代入得方程：， 解得：， 因此，，； 根据平行四边形对角相等，； 综上，的度数为； 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间，由此即可得出答案． 【详解】解：由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间， 即的解集为； 故选：D． 5. 如图，在边长为5的菱形中，，于点H，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的性质及勾股定理求得的长，利用面积关系可求得结果． 【详解】解：在边长为5的菱形中，， 则，； 由勾股定理得； ∵， ∴， 故选：C． 6. 某科技产业园区年的营业收入为亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，年的营业收入达到亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题． 设年平均增长率为，根据题意得． 【分析】解：设年平均增长率为，则2023年的营业收入为亿元，2024年的营业收入在2023年的基础上再增长一次， ， 故选：A． 7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示： 成绩/米 人数 2 5 3 1 其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（ ） A. 众数和中位数 B. 中位数和方差 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数、平均数与方差，掌握它们的含义是解题的关键；被污染的数据有4个，可以确定众数与中位数均是，由此可作出判断． 【详解】解：被污染的数据有4个，显然众数是，它出现了5次；，则中位数是按大小排列的第8个数据，中位数也是，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的众数与中位数； 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，点，分别在，边上，连接，，．，，，．给出下面三个结论：①； ②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】首先由矩形得到，然后等量代换得到，即可得到，进而判断①；证明出，得到，，然后根据勾股定理得到，代入整理得到，然后化简即可判断②；根据得到，然后利用三角形三边关系即可判断③． 【详解】∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ，故②正确； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②③． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 10. 如图，四边形是平行四边形，于点．若，则的大小为___________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，再由平行线的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11. 某校为增强学生体质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项测试．以下是某次八年级（1）班甲、乙两组男生引体向上测试的成绩： 甲组 乙组| 如果甲、乙两组成绩的方差分别为，则______（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 根据方差的定义列式计算即可． 【详解】解：， ． ， ． 所以：． 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用一元二次方程根的判别式；根据题意得出，解方程，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 若x=a是一元二次方程的一个实数根，那么代数式=_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】把代入得：， ， ． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=________． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，得到为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形 又∵为等腰直角三角形 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解． 15. 如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，图象表示变量之间的关系等知识点，读懂图象上各点表示的意义是解题的关键． 对于第一空：根据题意可知当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值，此时，长为的相反数，从而得解； 对于第二空：先分析出当点的运动路程为时，点P在点上，则设，则，，，再用勾股定理建立方程求出x，由点E即为点P在点B处时对应的点即可得解． 【详解】解：当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值， 即， ∴在矩形中，， 由题意可知：当点P在上时，(点D除外)， 否则由可得是等腰直角三角形，继而得到，从而得到始终相等，即图象无第一象限部分， ∵当点的运动路程为时，， ∴此时点P在点上， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴，即， 解得：， ∴，， 由题意可知：点E即为点P在点B处时对应的点， 此时点Q与点C重合， ∴此时， ， ∴点的坐标为， 故答案为：3；． 三、解答题（共68分，第17－23题每题5分，第24－25题每题6分，第26－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 18. 用适当的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， 则， ∴． ∴方程的解为，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求的值和直线的表达式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题的关键是：求函数解析式及两直线的交点． （1）先把代入中求出，从而得到的坐标，然后把点坐标代入中求出得到直线的表达式； （2）结合函数图象，且直线在直线下方所对应的自变量的范围． 【小问1详解】 解：∵直线：过点， ∴， 解得， ∴， ∵直线：过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象可知，在A点右侧，直线落在直线下方， ∴不等式的解集是． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个根不小于，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴ ， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程方有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 即， ∴， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． ∴的取值范围是． 21. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位在中，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则A点坐标为___________，C点坐标为___________． （3）若点是点C关于原点的对称点，则的坐标为___________． 【答案】（1）见解析 （2）直角坐标系见解析，，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画出旋转后的图形即可； （2）根据点B的坐标为作出直角坐标系，写出点的坐标即可； （3）根据关于原点对称的两个点横纵坐标均互为相反数即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 直角坐标系如图： 则A点坐标为，C点坐标为， 故答案为：，； 【小问3详解】 ∵点是点C关于原点的对称点， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转－作图，坐标与图形，关于原点对称，熟练掌握平面直角坐标系以及旋转的性质是解本题的关键． 22. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ③连接交于点； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形为___________， ______________________， ， 四边形AECF为矩形（___________）（填写推理依据）． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求； （2）菱形，，有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——作矩形，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用矩形的判定定理进行尺规作图即可； （2）根据平行四边形的性质，先判定四边形是平行四边形，再判定出四边形为菱形，利用菱形的性质得出直角，然后根据矩形的定义即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，是边上的中线．过点作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形 （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，是边上的中线， ∴． ∴是菱形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明四边形是菱形； （2）如图，过点作交的延长线于点，先求出，再根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作交的延长线于点， ∵中，，， ∴． ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴，． ∴． 在中，， 由勾股定理，得． 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． （1）当时，求点的坐标； （2）已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组求函数交点，一元一次不等式，一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将代入两个函数表达式，然后联立，解方程组即可得到答案； （2）先联立两个函数，求得点坐标，然后判断出点在上，将其代入，求得，然后分在函数的图象与函数上两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，函数表达式分别为，. 根据题意，得， 解得， . 【小问2详解】 解：联立，解得， 那么， 由题意可知，时，在上，那么有： 当时，代入，得到. 当在上时，代入，. ， ， ； 当在上时，代入，． ， ， ； 综上所述，的取值范围是或． 25. 某校为了解七年级和八年级学生的体育与健康知识掌握情况．从这两个年级的学生中各随机抽取了30名学生进行有关测试，获得了这些学生的成绩(成绩用x表示，满分100分)．并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．抽取的七年级学生测试成绩： 65，68，72，72，75，78，80，81，82，82，83，83，84，84，85 85，86，86，86，87，88，89，91，93，95，96，97，98，99，100 b．抽取的八年级学生测试成绩的频数分布直方图(数据分成5组：)： c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是： 85，85，86，87，87，88，89，89，89 d．抽取的七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 85 85 m 八年级 88 n 89 根据以上信息解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）表中 ， ； （3）在此次测试中，七、八年级各有学生考了88分，这个成绩在哪个年级排名更靠前？回答并说明理由； （4）此次测试成绩85分及85分以上为优秀．若该校八年级有300名学生，假设八年级的学生都参加此次测试，估计八年级学生成绩优秀的人数． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图： （2）86，88.5 （3） 这个成绩在七年级排名更靠前，理由： 因为88分大于七年级学生测试成绩的中位数85， 所以七年级该学生超过七年级一半学生， 故七年级学生排名更靠前； （4）人 【解析】 【分析】此题考查了频数(率分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）先用减法求出这一组的人数，再补全频数分布直方图即可： （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义求解即可； （4）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 这一组的人数为：； 【小问2详解】 解：由题意知86出现的次数最多，有三次，， 八年级的中位数是第15和16个数字的平均数，即这一组的第6和第7个数字的平均数， ∴， 故答案为：86，88.5； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 (名， 答：估计八年级学生成绩优秀的人数为210名． 26. 小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整、并解决问题． （1）函数的自变量x的取值范围是_______，y的取值范围是_______； （2）由，设计如下画图方案： 将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）利用函数图象解决问题： ①当时，y的取值范围是_______； ②当时，x的取值范围是_______． ③若对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）全体实数； （2）见解析 （3）①；②或；③ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据函数，即可解答： （2）根据题意作图即可； （3）①根据函数图象，即可解答；②根据函数图象，即可解答；③画出一次函数，的图象，根据题意列出一元一次不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴函数的自变量x的取值范围是全体实数，y的取值范围是； 故答案为：全体实数；； 【小问2详解】 解：画出函数图象，如图， 【小问3详解】 解：①观察图象得：当时，y的取值范围是； 故答案为：； ②观察图象得：当时，x的取值范围是或； 故答案为：或； ③如图， 根据题意得：直线一定过点， ∵对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值， 当直线与平行时，，即当时，满足条件； ∴当时，，此时； 综上所述，k的取值范围为． 27. 在正方形中，将边绕点A 逆时针旋转得到线段（点P不与点D重合），连接．过点B作直线的垂线，垂足为点Q，连接，． （1）如图，当时． ①依题意补全图形，求的度数； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （2）当时，直接用等式表示，，的数量关系． 【答案】（1）①依题意补全图形如图所示；； ②， 证明：在上截取，连接，令、交点为，如图： ∵四边形为正方形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴即 ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形，分别求出，，即可得解；②在上截取，连接，令、交点为，证明，再结合勾股定理即可得证； （2）当时，在上截取，连接，令，交点为，证明，再结合勾股定理即可得解． 【小问1详解】 解：①图略； 由旋转可得：，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 解：当时，在射线上截取，连接，令，交点为，如图： ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴∴即， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．对于线段与x轴上的点T，给出如下定义：将线段绕点T旋转得到线段（，分别是P，Q的对应点），若线段的两个端点都在四边形的边上，则称线段是四边形的以点T为中心的“关联线段”． （1）如图，点，，，．在线段中，四边形的以点T为中心的“关联线段”是________； （2）已知点，若线段是四边形的以点T为中心的“关联线段”，则点N的横坐标的最小值为_______； （3）点，若直线上存在点Q，使得线段是四边形的以点T为中心的“关联线段”直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，旋转对称的性质，理解“关联线段”的定义是解答本题的关键． （1）根据“关联线段”的定义逐一判断即可； （2）根据点N横坐标的越小，则旋转中心越小，由点M求出旋转中心即可； （3）分当时和当时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解： 由定义可知，可绕旋转得到“关联线段”； 无法绕x轴上点T旋转到正方形边上； 可以绕点旋转得到“关联线段”； 故四边形的以点T为中心的“关联线段”是 ． 故答案为；； 【小问2详解】 解： 由定义可知，绕T旋转到正方形上， 则的对应点一定在线段上， 要使得N点横坐标有最小值， 则M绕T旋转后的对应点为B，N绕T旋转后的点横坐标有最大值为1， 故此时T为时，最小为． 故答案为：． 【小问3详解】 解： 当时，在上任取一点P，如图， 由定义知，P关于x轴上的点T旋转到正方形上， ∴只能在边上， 连接与x轴分别交于E，F两点， 则T一定在线段上． ∵， ∴，， 要使得Q点关于T旋转能在正方形上，但是此时我们并不知道Q的具体位置， 那么不妨将正方形绕着点T旋转，Q一定在旋转后的正方形上． ∵T在上可以移动， ∴将正方形分别绕E、F旋转得到两个正方形，， 则点Q一定在矩形上． 要使得直线上存在点Q，则该矩形需要与直线有交点，临界状态即分别为过点与． ∵， ∴， 将代入中， 得， 解得或（舍去）． ∵， ∴， 将代入中， 得， 解得或 (舍去)． ∴． 当时，将正方形分别绕F、E旋转得到两个正方形，，则点Q一定在矩形上． 要使得直线上存在点Q，则该矩形需要与直线有交点，临界状态即分别为过点与． ∵， ∴ 将代入中， 得， 解得，或（舍去）． ∵， ∴， 将代入中， 得， 解得，或 (舍去)． ∴． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $