第4章 图形的认识（复习讲义）数学湘教版2024七年级上册

第四章 图形的认识（复习讲义） 1.知道几何图形包括平面图形与立体图形,能说出常见的立体图形和平面图形的名称. 2.知道线段、射线、直线和角的表示方法,会进行度、分、秒的换算;会作一条线段等于已知线段. 3.知道线段中点及角平分线的含义,会进行相关的计算. 4.熟记两个基本事实,并能应用它们解决实际问题. 5.线段中点、角平分线的概念,线段和角的有关计算.（重点） 6.熟练地进行线段和角的计算.（难点） 1.几何图形的概念及分类 从各式各样的物体外形中抽象出来的图形统称为几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、点、线段、三角形等. 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形.如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等. 棱柱、棱锥底面都是多边形，底面是几边形就叫几棱柱（锥）. 平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形.如点、线段、直线、三角形、四边形、圆等. 注：球是立体图形，而圆是平面图形. 2.正方体的表面展开图 正方形展开图的知识要点： （1）正方体的表面展开图一共有11种可能。 第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型” 第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型” 第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型” 第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型” 注：正方体展开图中不能出现“7”字，“凹”字，“田”字形，如下图： 正方体展开图找相对面的方法： （1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面； （2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面； （3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。 3.直线、射线、线段 直线：一根拉得很紧的线， 就给我们以直线的形象， 直线是直的， 并且是向两方无限延伸的； 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线， 这个点叫做射线的端点； 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段， 这两个点叫做线段的两个端点； 表示方法：在几何里， 我们常用字母表示图形： ①一个点可以用一个大写字母表示； ②一条直线可以用一个小写字母表示； ③一条射线可以用端点和射线上另一点来表示； ④一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示； 直线性质：①直线上有无穷多个点； ②过一点的直线有无数条； ③两条不同的直线至多有一个公共点； 点和直线的位置关系有两种：①点在直线上， 或者说直线经过这个点； ②点在直线外， 或者说直线不经过这个点； 直线位置关系：在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两种： 相交或平行； 直线公理：经过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线) ； 线段公理：连接两点的所有连线中， 线段最短， 简述为： 两点之间线段最短； 线段中点：线段的中点到两端点的距离相等。 4.线段长短的比较方法 线段AB的长度记作AB或 . ①度量法：用刻度尺分别测量出两条线段的长度，由长度的大小，比较线段的长短； ②叠合法：把两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一侧，从而直观地比较出两条线段的长短.（利用尺规作图） 图形 线段AB与CD的关系 记作 A B DC C B AB小于CD AB<CD A DC C B AB等于CD AB=CD DC C A AB大于CD AB>CD A B C 如右图： 线段AC是线段AB与线段BC的和，记作AC=AB＋BC， 线段BC是线段AC与线段AB的差，记作BC=AC-AB. 5.线段的基本事实及线段的中点 两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短； 线段的中点： 把一条线段分成长度相等的两条线段的点，叫作线段的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. C B A 如右图： 点C是线段AB的中点，则AC=BC= AB，也可以表示为AB=2AC=2BC. 几何语言：因为C是线段AB的中点， 所以AC=BC= AB，AB=2AC=2BC. 注：线段的中点有且只有一个，且在线段上. 6.角 角的分类：按大小分, 周角(360°)>平角(180°)>钝角(90°<钝角<180°)>直角(90°)>锐角(<90°); 余角： 如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角叫做另一个角的余角; 性质： 同角(或等角) 的余角相等； 补角： 如果两个角的和是一个平角， 那么这两个角叫做互为补角， 其中一个角叫做另一个角的补角； 性质： 同角(或等角) 的补角相等； 注：互为补角、互为余角是相对两个角而言， 由它们的数量关系来定义的， 只与角的度数有关，与角的位置无关； 角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示，； 有以下四种表示方法； ①用数字表示单独的角; ②用小写的希腊字母表示单独的一个角； ③用一个大写英文字母表示一个独立的角(在一个顶点只有一个角)； ④用三个大写英文字母表示任一个角； 注意： 用三个大写英文字母表示角时， 一定要把顶点字母写在中间， 边上的字母写在两侧； 角的单位： 1周角=360°, 1平角=180°, 1°=60', 1'(分)=60"(秒), 角的度、分、秒是60 进制; 角的性质：①角的大小与边的长短无关， 只与构成角的两条射线的幅度大小有关； ②角的大小可以度量， 可以比较， 比较方法： 叠合法；度量法； 7.角平分线 定义：一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线； 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 逆定理：在角的内部， 到角两边距离相等的点在角平分线上(判定角平分线)； 题型一 常见的几何体 【例1】如图所示为某几何体的展开图，则该几何体的名称是（　　） A．三棱柱 B．三棱锥 C．球 D．圆柱 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，掌握圆柱的侧面展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图解答． 【详解】解：观察几何体的展开图可知，该几何体是圆柱的展开图． 故选D． 【变式1-1】下列标注的图形名称与图形不相符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立体图形的认识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．根据四棱锥、圆柱、四棱柱、圆锥的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．是四棱锥，故A不符合题意； B．是圆柱，故B不符合题意； C．是四棱柱，故C不符合题意； D．是圆锥，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】如图是一个直三棱柱的展开图，其中三个面被标示为甲、乙、丙．将此展开图折成直三棱柱后，判断下列叙述正确的是（     ） A．甲与乙平行，甲与丙垂直 B．甲与乙平行，甲与丙平行 C．甲与乙垂直，甲与丙垂直 D．甲与乙垂直，甲与丙平行 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的认识，因为题干的图是一个直三棱柱的展开图，结合直三棱柱的相对面是平行的，相邻面是垂直的，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，在折成的直三棱柱中，甲与乙是相对面，甲与丙是相邻面， ∴甲与乙平行，甲与丙垂直， 故选：A 题型二 几何体折叠与展开应用 【例2】兰兰摆出一个立体图形，从左面、右面看到的图都是，那么兰兰摆出的图形可能是（    ）图形． A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看立体图形，熟练运用空间想象能力是解题的关键． 根据该立体图形的特点进行判断即可． 【详解】解：兰兰从左面、右面看到的图都是，可以排除选项A、选项C， 只有选项B符合题意． 故选：B ． 【变式2-1】4．观察如图几何体，从上面看到的形状是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从三个方向看几何体的形状．解题的关键是画几何体的从三个方向看到的形状时应注意小正方形的数目及位置． 根据从上面看有4列，第一列1个小正方形，第二列3个小正方形，第三列2个小正方形，第四列1个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从上面看到的形状是 故选：B 【变式2-2】15．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：A． 【变式2-3】如下图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①~④中的（    ）号面可以使其折成一个完整的正方体． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．根据正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：根据题意得：添上①~④中的④号面可以使其折成一个完整的正方体． 故选：D． 【变式2-4】如图，裁掉甲、乙、丙、丁中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体．根据正方体的展开图即可解答． 【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是甲． 故选：A． 题型三 立体图形的计算问题 【例3】如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，长方体的容积． 由长方体的展开图，可知长方体的长，宽，高，代入长方体的容积公式计算即可． 【详解】解：根据长方体的展开图，可知长方体的高是，宽是，长是， 长方体的容积是， 故选：D． 【变式3-1】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（     ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键． 分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 【变式3-2】17．如下图所示的是一个长方体纸盒的展开图，求这个纸盒的表面积和体积（纸的厚度不计）． 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题考查长方体表面积和体积的计算；长方体表面积公式为(其中为长，为宽，为高)，体积公式为；首先需要根据展开图求出长方体的长、宽、高，再分别代入公式计算表面积和体积． 【详解】解：从展开图可知，cm是由两个高和一个长组成，长为，宽为， ∴长方体纸盒的高为cm， ∴表面积：， 体积：， 答：表面积为，体积为． 【变式3-3】如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长． (1)这个五棱柱有多少个侧面？侧面形状分别是什么？ (2)这个五棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)5，长方形； (2)． 【分析】本题考查了认识立体图形，根据五棱柱的特征计算即可得解，熟练掌握五棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据五棱柱特征直接得出结论； （2）根据五个侧面面积相同，用一个面的面积乘以5求出结论． 【详解】（1）解：这个五棱柱有5个侧面，5个侧面形状都是长方形． （2）． 故这个五棱柱的所有侧面的面积之和是． 题型四 点、线、面之间的关系应用 四 【例4】下列现象，说明“点动成线”的是（    ） A．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹 B．流星划过夜空留下的痕迹 C．酒店旋转门运动的痕迹 D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．理解“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”并结合实际问题进行分析是解题关键．根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项的实际意义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹，说明“线动成面”，不合题意； B．流星划过夜空留下的痕迹，说明“点动成线”，符合题意； C．酒店旋转门运动的痕迹，说明“面动成体”，不合题意； D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹，说明“面动成体”，不合题意． 故选：B． 【变式4-1】将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形中间大，两端小，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形中间小，两端一样大，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； 故选：． 【变式4-2】固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体，理解点、线、面、体之间的联系是解题的关键．根据点、线、面、体的关系即可得出答案． 【详解】解：固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出，能正确解释这一现象的数学知识是点动成线． 故选：A． 【变式4-3】下列说法：①三棱锥的底面是三角形；②棱柱有个面，个顶点，条棱；③若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面的面积也相等；④圆锥有两个面，底面与侧面相交形成曲线；⑤时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了点动成线；⑥如果用一个平面去截八棱柱，截面形状一定不是九边形．其中正确的有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的性质，几何体的特征，截面图形的边数，解题的关键是熟练掌握几何体的定义．根据立体图形的特征，截几何体的方法进行判定是几边形． 【详解】解：①三棱锥的底面是三角形，说法正确； ②棱柱有个面，个顶点，条棱，原说法错误； ③若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面的面积也相等，说法正确； ④圆锥有两个面，底面与侧面相交形成曲线，说法正确； ⑤时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了线动成面，原说法错误； ⑥如果用一个平面去截八棱柱，截面形状一定不是九边形，说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑥共4个． 故选：B． 【变式4-4】如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积， 则，两个几何体的体积之比是， 故选：C． 题型五 画一条线段等于已知线段 四 【例5】下列语句正确的是（     ） A．可以用直线上的一个点来表示该直线 B．画出4厘米长的直线 C．“射线”也可以写成“射线” D．点A一定在直线上 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，画出直线、射线、线段，两点确定一条直线，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据直线、射线、线段的联系与区别，画出直线、射线、线段，两点确定一条直线，对四句话逐一分析，再作出判断． 【详解】解：直线上的一个点需要用一个大写字母表示，一个大写字母不能表示直线，故A错误； 直线不可度量，可以画出4厘米长的线段，不能说画出4厘米长的直线，故B错误； “射线”表示以为端点的一条射线，“射线”表示以为端点的一条射线，“射线”与“射线”表示两条不同的射线，故C错误； 点A一定在直线上，故D正确， 故选：D． 【变式5-1】根据“点P是直线a外的一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q”画图，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据语句画图问题，掌握基本作图的语句，按要求画图是解题关键．先根据语句作出图形，再根据图形作出判断即可． 【详解】解：根据语句作图如下： 正确的是D． 故选择：D． 【变式5-2】如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 【变式5-3】读下列语句，在图中画出图形： (1)画射线； (2)画线段； (3)画直线与线段相交于点O； (4)画射线与射线相交于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）连接即可得解； （3）根据直线的定义作图即可； （4）根据射线的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所作， ； （2）解：如图所示，线段即为所作； （3）解：如图所示，直线与线段相交于点即为所作； （4）解：如图所示，射线与射线相交于点即为所作． 【变式5-4】根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了直线、射线、线段．分别分局直线、线段、射线的特征画图即可． 【详解】解：如图： 【变式5-5】16．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)连接，并反向延长至点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题主要考查了作图，熟练掌握直线、射线、线段的特征是解题的关键． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据射线的特征画图即可； （3）根据线段的特征画图即可． （4）利用反向延长线段，再结合得出答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：如图，线段即为所求． 题型六 求线段的长度 加法运算五四 【例6】以下四把直尺都只有三个刻度，若要画出5个单位长度的线段，下列直尺中不能使用的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单的枚举法，线段的和差，正确理解线段的和差是解题的关键．根据线段的和差结合图形即可得到结论． 【详解】解：A、如图，画线段，， 则线段，故A不符合题意； B、如图，线段，再画线段， 则；故B不符合题意； C、如图，画线段，再画线段， 则，故C不符合题意； D、∵直尺中只有刻度0，4，12， ∴不能画出5个单位长度的线段， 故选：D． 【变式6-1】如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，先根据题意得出，，再根据线段中点的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴． 故选：A． 【变式6-2】如图，线段，点D为的中点，，那么 ． 【答案】 【分析】根据，设，根据题意，得到，根据，解答即可． 本题考查了线段的和差，线段的中点，解方程，熟练掌握中点，解方程是解题的关键． 【详解】解：∵， 设， ∵点D为的中点，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】14．如图，点D、B在线段上，点E在上，已知，，则线段的长为 ． 【答案】23 【分析】本题主要考查线段的和与差及线段两点间的距离，熟练运用线段的和与差计算方法进行求解是解决本题的关键．先求解，，进一步利用线段的和差可得答案. 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为23 【变式6-4】如图，，，是线段的中点，，分别是线段、上的点，， (1)线段的长为 ． (2)求线段的长． 【答案】(1)16 (2)20 【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，熟练进行线段的和差计算是解决本题的关键． （1）将代入即可求解； （2）首先根据线段中点的性质求出，然后求出，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴； （2）∵，是线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 题型七 角的度量与比较 六五四 【例7】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的大小比较，需要先将的度数形式统一转化为度分秒的形式，再比较三个角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ，则， 度的数值都为，比较分的数值， ∵， ∴， 故选：A． 【变式7-1】如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义和角的计算，熟练掌握余角的定义并能进行角的加减运算是解题关键． 根据余角的定义计算即可求解． 【详解】为水面，入射角为， ， 故选 C． 【变式7-2】如图，，，点B，O， D在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，先求出，再利用平角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点B，O， D在同一条直线上， ∴, 故选：D． 【变式7-3】如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差倍关系，设，可得，，进而得到，再根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-4】计算： ； ． 【答案】 【分析】将度与度、分与分分别相加，再处理分满60进1度的情况； 先将度除以除数，再将余下的度转化为分继续除． 本题主要考查了度分秒的换算与运算，熟练掌握度分秒之间的进制（，）是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． ， 故答案为：． 【变式7-5】如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 题型八 角的平分线的应用 六五四 【例8】已知，，平分，平分，则的度数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 【详解】解：分为两种情况： 如图1，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数是或． 故选:C． 【变式8-1】如题，使用剪刀时会张开一定的角度，已知，平分，则的度数是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义得出即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 故选：C． 【变式8-2】如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是角的平分线的定义，“从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线”．运用角平分线的定义解题即可． 【详解】解：因为平分， 平分， 所以 ， ， 所以 ， ． 故答案为：． 【变式8-3】9．已知，过O作射线，使，若射线是的平分线，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，与角平分线有关的计算，分两种情况：当与在的同侧时；当与在的异侧时；分别根据角平分线的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当与在的同侧时， ， ∵，， ∴， ∵射线是的平分线， ∴； 如图，当与在的异侧时， ， ∵，， ∴， ∵射线是的平分线， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 【变式8-4】如图，直线与相交于点，． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，且平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的性质，理解题意，找准角度之间的数量关系是解题关键． （1）先根据角平分线的定义，得到，再利用平角进行求解，即可求出的度数； （2）根据平角和角平分线的定义，求得，再根据，求得，，进而得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 基础巩固通关测 1．如图是由若干块小正方体积木搭成的立体模型．在此形状上要把它搭成一个大正方体，至少还需要（    ）块这样的小正方体． A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了常见的几何体，根据一个大正方体的棱长都相等，且观察原来的立体模型，得出这个大正方体每条棱上必须有3个正方体，进行列式计算，即可作答． 【详解】观察这个立体模型，得出原来的立体模型的小正方体积木有6个 根据题意可知：这个大正方体每条棱上必须有3个正方体， 一共有（个）， ∴（个）， 答：还需要21块小正方体积木， 故选：B． 2．下列几何体中，属于柱体的有（     ） ①长方体  ②正方体  ③圆锥  ④圆柱  ⑤四棱锥  ⑥三棱柱 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的识别，由“棱柱和圆柱统称为柱体”分析即可． 【详解】解：①长方体 ，②正方体， ④圆柱， ⑥三棱柱是柱体． ③圆锥，⑤四棱锥是锥体． 故选C． 3．下面几何体（    ）符合要求． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是学生的观察能力和空间想象能力．分别根据从正面看、从左面看和从上面看的图形逐个分析即可． 【详解】解：符合从正面看的几何体有选项B、C， 选项B、C中符合从上面看的几何体只有B，且选项B符合从左面看的图形， 故选：B． 4．某物体如图所示，从上面看到的图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从上面看到的平面图形即可得出结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：从上面看到的图是， ， 故选：． 5．如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（    ）． A．B．C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查圆柱的侧面展开图，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A． 6．用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　 　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 7．上午点分时，钟面上时针和分针的夹角为（    ）度 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案，确定时针与分针相距的份数是解题的关键． 【详解】解：点分时，钟面上时针和分针的夹角为， 故选：． 8．中国武术有“枪扎一条线，横扫一大片”说法，这句话用数学知识诠释相对最科学的是（    ） A．两点确定一条直线 B．点的平移 C．旋转成圆 D．点动成线，线动成面 【答案】D 【分析】本题主要考查点、线、面、体的关系，掌握点动成线、线动成面、面动成体是解题的关键． 根据点、线、面之间的关系且结合“枪扎一条线，横扫一大片”说法内容进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，中国武术有“枪扎一条线，横扫一大片”说法，这句话用数学知识诠释相对最科学的是点动成线，线动成面． 故选：D 9．下列说法正确的有（　 　）． 棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）； 点动成线，线动成面，面动成体； 圆锥的侧面展开图是一个圆； 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面都是平行四边形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，几何体的展开图，点、线、面、体，圆锥和棱柱，熟练掌握各概念是解题的关键． 根据立体图形的特征，点、线、面、体，圆锥和棱柱的特征判断即可． 【详解】棱柱有2n个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数），原来的说法错误； 点动成线，线动成面，面动成体，说法正确； 圆锥的侧面展开图是一个扇形，原来的说法错误； 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面都是平行四边形，正确； 故说法正确的有个， 故选：B． 10．下列叙述正确的是（ 　　） A．河道改直可以缩短航程，是因为“经过两点有一条直线，并且只有一条直线” B．在直线上任取4点，以这4个点为端点的线段共有6条 C．画直线 D．若线段，，那么线段或4 【答案】B 【分析】此题考查了两点之间线段最短的性质、线段条数、两点间距离，综合掌握各知识点是解题的关键．根据两点之间线段最短的性质、线段条数、两点间距离，依次分析判断即可． 【详解】解：A．河道改直可以缩短航程，是因为“两点之间线段最短”，故本选项错误； B．在直线上任取4点，以这4个点为端点的线段共有6条，故本选项正确； C．直线没有固定的长度，因此应该画线段，故本选项错误； D．若，，不能确定C在不在直线上，那么不一定为8或4，故本选项错误． 故选：B． 11．将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是点、线、面、体，根据面动成体，所得图形是一个空圆锥和一个圆柱体的复合体确定答案即可． 【详解】解：由图可知，图中绕直线l旋转一周所得图形为： 故选：C． 12．如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（     ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，数形结合是解题的关键； 根据题意写出图中所有线段之和，再分组，利用线段的和与差，将所求结果用含和的式子表示，再代入计算即可． 【详解】记图中所有线段之和等于S，则 ， ， ， ， ． ，， ． 图中所有线段长度之和等于2024． 故选：D． 13．如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握相关知识是解决问题的关键．首先根据，是线段上任意两点，可得，，所以；然后根据，，求出的值，即可求出的值；最后用的值加上的长度，求出线段的长是多少即可． 【详解】解：，是线段上任意两点，是的中点，是的中点， ，， ； ，， ， ， ． 故选：A． 14．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的比较大小，将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：A． 15．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，，先统一单位，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：． 16．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，E为线段上一点，若线段，则的长度为 ． 【答案】7 【分析】本题考查线段和差，利用中点求线段长． 利用线段的中点意义求出，，再由线段和差即可计算． 【详解】解：∵线段，点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：7． 18．数轴上有A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等，点C在线段上，点D在直线上．已知，，若，则点D表示的数是 ． 【答案】或4 【分析】本题考查了有理数的运算，数轴的应用，熟练应用数轴解决问题是解题的关键．根据题意，点D在直线AB上，分两种情况讨论，分别画出数轴，结合数轴上点的位置，求得结果． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图1，点D在点B的右侧， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D表示的数是； 如图2，点D在点B的左侧， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D表示的数是4， 综上，点D表示的数是或4． 故答案为：或4． 19．如图，与相交于点，若，，则的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了角的和差，解决本题的关键是数形结合．根据求解即可． 【详解】， ， 故答案为：． 20．一个正n棱柱有8个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长为，则它的一个侧面的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了棱柱的侧面积计算，先求出棱柱的侧棱数，再求出侧棱长，然后求侧面积即可，正确理解棱柱的有关定义是解题的关键． 【详解】解：因为该正n棱柱有8个面，所以有6个侧面，即有6条侧棱． 因为所有侧棱长的和为， 所以每条侧棱长． 因为底面边长为， 所以它的一个侧面的面积为， 故答案为：60． 21．如图，是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)该几何体的表面积（含下底面）为________； (2)请画出这个几何体分别从正面、左面、上面看到的平面图形； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面和从上面看到的图形不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体； （1）有顺序地计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可； （2）从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，3，2；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可； （3）根据保持这个几何体的主视图和俯视图不变，可知添加小正方体是中间1列前面的2个，依此即可求解． 【详解】（1）解： 所以该几何体的表面积含下底面为28， 故答案为：． （2）如图所示： （3）添加小正方体是中间1列前面的2个，最多可以再添加2个小正方体 故答案为：． 22．如图是一个六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长． (1)这个棱柱共有______个顶点； (2)这个棱柱共有______条棱，所有的棱长的和是______； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和为______． 【答案】(1)12 (2)18， (3) 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握n棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由n棱柱有个顶点即可求解； （2）由n棱柱有条棱求解可得； （3）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 【详解】（1）解：（1）六棱柱有12个顶点； 故答案为：12． （2）这个棱柱有18条棱， 所有的棱长的和是． 故答案为：18，． （3）这个棱柱的所有侧面的面积之和是， 故答案为：． 23．如图，点是线段外一点．请用尺规按下列语句画图： (1)连接； (2)在线段上求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查基本作图，熟练掌握基本作图是解答本题的关键． （1）直接连接即可； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点，则． 【详解】（1）解：如图，线段即为所连； （2）解：如图，点即为所作． 24．如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）； (3)若，． 比较大小线段 ，依据： ； 比较大小： ． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)，由，，则点与的距离大于点与的距离；． 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． （）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （）根据要求画出图形； （）利用测量法解决问题． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如上图，即为所求； （3）解：，依据：由，，则点与的距离大于点与的距离； ， 故答案为：，由，，则点与的距离大于点与的距离；． 25．如图，延长线段到C点，使，点D是线段的中点，若，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义以及线段长度的计算，求解出的长是解决本题的关键． 先由中点的性质求出的长，即可得的长，再结合，可求解的长，由此可求解线段的长． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 26．已知：如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识． （1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数； （2）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再由减去就是的度数． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 能力提升进阶练 1．观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ； （2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点． 【答案】 ①②④ ③ ⑤ ①②⑤ ③④ 【分析】本题考查几何体的分类，掌握知识点是解题的关键． （1）根据柱体，球体，锥体的定义，即可解答； （2）根据柱体，球体，锥体的特征，即可解答 【详解】解：（1）由柱体，球体，锥体的定义，可按形状来划分，柱体有①②④，球体有③，锥体有⑤； （2）由柱体，球体，锥体的特征，可按几何体有无顶点来划分，①②⑤为一类，几何体有顶点；③④为一类． 故答案为：①②④；③；⑤；①②⑤；③④． 2．如图，是由一些大小相同的小立方块组成的几何体从正面看和从左面看得到的形状图，则组成这个几何体的小立方块的个数不可能是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查由三视图来确定正方体的个数，抽象出几何体的形状是解题的关键． 结合几何体从正面看以及从左面看的图形，即可确定正方体的个数． 【详解】解：如图所示 ∴组成这个几何体的小立方块的个数可能是3个，4个，5个，但不可能是6个． 故选D． 3．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱、五棱柱、正方体的表面展开图的特征进行判断即可． 本题考查展开图折叠成几何体，掌握三棱柱、正方体、五棱柱的表面展开图的特征是正确解答的关键． 【详解】解：A选项A中的图形可以折叠成三棱柱，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形可以折叠成五棱柱，因此选项B不符合题意； C．选项C中的图形不能折叠成四棱柱，因此选项C符合题意； D．选项D中的图形可以折叠成正方体，因此选项D不符合题意． 故选：C． 4．把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据立体图形展开成的平面图形底面是三角形，侧面是长方形判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：三棱柱的展开图底面是三角形，侧面是长方形，和给出的立体图形展开成的平面图形一致， ∴这个立体图形是三棱柱； 故选：． 5．“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是 故选：D． 6．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是属于（     ） A．点动成线的实际应用 B．线动成面的实际应用 C．面动成体的实际应用 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体，汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面，正确理解点线面体的概念是解题的关键． 【详解】解：汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面， 故选：B． 7．有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（     ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【答案】C 【分析】本题考查的是几何体的表面积，掌握正方体的特征是解题的关键．一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面． 【详解】解：一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面，因此表面积不变． 故选：C． 8．如图中，甲的表面积（    ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题是考查表面积的区别和求法．根据表面积是指物体所有面的总面积．根据表面积的意义，可知甲的表面积等于乙的表面积． 【详解】解：甲的表面积等于乙的表面积都等于24个小正方形的面积． 故选：C． 9．中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．在舞枪的过程中，枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线；而舞棍的过程中，棍棒在空中移动形成的轨迹是一个面，从数学的角度解释为（     ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体．从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【详解】在舞枪的过程中，枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线，即为点动成线． 舞棍的过程中，棍棒在空中移动形成的轨迹是一个面，即为线动成面． 故选：A． 10．按下面语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，图中正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键．根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：A、点在直线上，也在直线上，不在直线上，但直线、不相交，故本选项不符合题意； B 、直线，，两两相交，且点在直线上，也在直线上，不在直线上，故本选项符合题意； C、直线，，两两相交，但点在直线上，故本选项不符合题意； D、直线，，两两相交，但点在直线上，且不在直线上，故本选项不符合题意． 故选：B． 11．下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键．根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，因此（1）正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段和线段是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线和射线是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线和直线是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（2）（4），共2个， 故选：B． 12．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（    ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，能够利用线段中点的性质求解一些线段之间的关系是解题关键． 由可得，由中点的意义推得，进一步得，①正确；由得，由中点的意义可得结论，②正确；由中点的意义可得，，代入，整理后可得③正确． 【详解】解：，， ， 是线段的中点， ， ， ，故①正确； ， ， ， 、分别是线段，的中点， ，， ，故②正确； 、分别是线段，的中点， ，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 13．下列说法中，正确的个数有（     ） 过不同两点有且只有一条直线；连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离；两点之间，线段最短；不同三点A、B、C在一条直线上，若，则点B 是线段的中点． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查线段，直线，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解∶过不同两点有且只有一条直线， 故正确； 连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，故正确； 两点之间，线段最短，故正确； 不同三点A、B、C在一条直线上，若，则点B 是线段的中点，故正确． 故选：A 14．一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面面积之和为 ，所有棱长和为 ． 【答案】 【分析】本题考查棱柱侧面积计算，熟练掌握几何体表面积计算是解题关键．五棱柱有个面为侧面，然后按照棱柱的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵该棱柱是直五棱柱， ∴这个棱柱的所有侧面面积之和为：， 所有棱长和为 故答案为：，． 15．图中的几何体由 个面围成，面和面相交形成 条线，线与线相交形成 个点． 【答案】 9 16 9 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，仔细观察图形，侧面有几个，底面有几个，面和面相交形成几条线，线与线相交形成几个点解答即可． 【详解】解：图中的几何体由9个面围成，面和面相交形成16条线，线与线相交形成个9点， 故答案为：9，16，9． 16．某品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示（单位：），则此包装盒体积是 （包装材料厚度不计） 【答案】224000 【分析】本题考查图形的展开图，从平面图形到立体图形的思维，根据体积公式解题是关键．从展开图可得包装盒为长方体，先求出底面积，再乘以高计算即可． 【详解】解：包装盒的底面积为，包装盒的高为， 这种牛奶包装盒的体积是． 故答案：224000． 17．如图，已知，C是的中点，D是上一点，，则 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握线段的和差运算是解题的关键． 由中点的定义可得，再根据求出，进而即可求解． 【详解】解：，C是的中点， ， ， ， ， 故答案为：14． 18．如果是的余角的补角，， ，若，则的补角= ． 【答案】 160 20 【分析】本题主要考查了余角和补角的计算，根据互为余角的两个角的和为，互为补角的两个角和为求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为， ∵是的余角的补角， ∴， ∵， ∴的补角， 故答案为：160，20． 19．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据点的位置分两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在的延长线上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 如图，当点在上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 综上可知，线段或， 故答案为：或． 20．如图是由棱长都为的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由 个小立方块构成． (2)请在方格中画出从三个方向看到的该几何体的形状图． 【答案】(1)6 (2)图见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题关键． （1）这个几何体第一层有4个小立方块，第二层有2个小立方块，由此即可得； （2）根据三视图的画法即可得． 【详解】（1）解：观察可知，这个几何体第一层有4个小立方块，第二层有2个小立方块， 所以这个几何体由6个小立方块构成， 故答案为：6． （2）解：在方格中画出从三个方向看到的该几何体的形状图如下： ． 21．一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体；由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，3；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，1．据此可画出图形． 【详解】解：如图所示： 22．如图，在平整的地面上，10个完全相同的棱的小正方体堆成一个几何体．在下面的网格中画出从左面看和从上面看的形状图． 【答案】图见详解 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，解题的关键是熟悉几何体的特征；根据几何体的特征可直接进行作图． 【详解】解：所作图形如下： 23．某种产品形状是长方体，长为，它的表面展开图如图所示． (1)求长方体的体积． (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装2件这种产品，要求设计时不计空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(纸箱表面积尽可能小)，并请求出你设计的纸箱的表面积． 【答案】(1)该长方体的体积为 (2)将的面重叠在一起所用材料最少，此时纸箱的表面积为 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，一元一次方程的应用； （1）设该长方体的高为，则根据题意得，，再解方程进一步求解即可； （2）分三种情况求解表面积：方案一：的面重叠在一起：方案二：的面重叠在一起：方案三：的面重叠在一起：再比较即可． 【详解】（1）解：设该长方体的高为， 则根据题意得，， 解得：， 宽为：， ∴该长方体的体积为：， 答：该长方体的体积为． （2）解：方案一：的面重叠在一起： 表面积为：， 方案二：的面重叠在一起： 表面积为：， 方案三：的面重叠在一起： 表面积为：； ∵， ∴方案一所用材料最少，此时纸箱的表面积为． 答：将的面重叠在一起所用材料最少，此时纸箱的表面积为． 24．作图与画图： 如图，已知线段，请用无刻度的直尺和圆规，按照下列步骤作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） ①反向延长线段至点C，使得； ②作射线，使得； ③在射线上截取； ④连接，． 根据所作的图形，请测量____°． 【答案】图见解析，90 【分析】本题考查了画线段，射线，角的度量，掌握基本作图以及角的度量是解题的关键． 根据题意作出图形，再用量角器测量角度即可求解；仿照例题画出图形即可求解． 【详解】解：如图所示， 测量得：， 故答案为：90． 25．已知射线和点，画线段，并利用尺规作图法在射线上作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是画线段，作一条线段等于已知线段，先连接，再在射线上截取线段即可. 【详解】解：如图所示，线段，线段即为所求； 26．如图，已知线段． (1)读语句画图：延长线段到点C，使得； (2)在（1）的条件下，若点P是线段的中点，求线段的长； (3)若点D是线段延长线上一点，点M是线段的中点，点N是的中点，请在备用图中画出图，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点，掌握知识点是解题的关键． （1）先根据，，求出的长，再延长线段到点C即可； （2）在线段上标出点P，根据即可得出结论； （3）根据线段中点的性质，可得，根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点C的位置如图所示 （2）如图 ∵， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴． （3） 如图 ∵点M是线段的中点，点N是的中点， ∴， 由线段的和差，得 ， ∵， ∴． 27．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，根据角度关系，列出方程，进行求解即可． （1）根据三角板的直角顶点落在直尺上，得出即可； （2）设，则，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵三角板的直角顶点落在直尺上， ∴； （2）解：设，则，根据题意得： ， 解得：， 即． 28．如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了角平分线的定义和角度的和差、余角和补角等知识． （1）根据平角的定义，角平分线的意义进行计算即可； （2）根据互余的意义和等量代换可得答案； （3）根据补角的定义和等量代换得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （2）∵分别是的角平分线 ∴， ， 又∵， ∴， ∴的余角为， 故答案为： ； （3）∵， ∴， 即的补角为， 故答案为：． 29．如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的认识（复习讲义） 1.知道几何图形包括平面图形与立体图形,能说出常见的立体图形和平面图形的名称. 2.知道线段、射线、直线和角的表示方法,会进行度、分、秒的换算;会作一条线段等于已知线段. 3.知道线段中点及角平分线的含义,会进行相关的计算. 4.熟记两个基本事实,并能应用它们解决实际问题. 5.线段中点、角平分线的概念,线段和角的有关计算.（重点） 6.熟练地进行线段和角的计算.（难点） 1.几何图形的概念及分类 从各式各样的物体外形中抽象出来的图形统称为几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、点、线段、三角形等. 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形.如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等. 棱柱、棱锥底面都是多边形，底面是几边形就叫几棱柱（锥）. 平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形.如点、线段、直线、三角形、四边形、圆等. 注：球是立体图形，而圆是平面图形. 2.正方体的表面展开图 正方形展开图的知识要点： （1）正方体的表面展开图一共有11种可能。 第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型” 第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型” 第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型” 第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型” 注：正方体展开图中不能出现“7”字，“凹”字，“田”字形，如下图： 正方体展开图找相对面的方法： （1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面； （2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面； （3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。 3.直线、射线、线段 直线：一根拉得很紧的线， 就给我们以直线的形象， 直线是直的， 并且是向两方无限延伸的； 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线， 这个点叫做射线的端点； 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段， 这两个点叫做线段的两个端点； 表示方法：在几何里， 我们常用字母表示图形： ①一个点可以用一个大写字母表示； ②一条直线可以用一个小写字母表示； ③一条射线可以用端点和射线上另一点来表示； ④一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示； 直线性质：①直线上有无穷多个点； ②过一点的直线有无数条； ③两条不同的直线至多有一个公共点； 点和直线的位置关系有两种：①点在直线上， 或者说直线经过这个点； ②点在直线外， 或者说直线不经过这个点； 直线位置关系：在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两种： 相交或平行； 直线公理：经过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线) ； 线段公理：连接两点的所有连线中， 线段最短， 简述为： 两点之间线段最短； 线段中点：线段的中点到两端点的距离相等。 4.线段长短的比较方法 线段AB的长度记作AB或 . ①度量法：用刻度尺分别测量出两条线段的长度，由长度的大小，比较线段的长短； ②叠合法：把两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一侧，从而直观地比较出两条线段的长短.（利用尺规作图） 图形 线段AB与CD的关系 记作 A B DC C B AB小于CD AB<CD A DC C B AB等于CD AB=CD DC C A AB大于CD AB>CD A B C 如右图： 线段AC是线段AB与线段BC的和，记作AC=AB＋BC， 线段BC是线段AC与线段AB的差，记作BC=AC-AB. 5.线段的基本事实及线段的中点 两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短； 线段的中点： 把一条线段分成长度相等的两条线段的点，叫作线段的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. C B A 如右图： 点C是线段AB的中点，则AC=BC= AB，也可以表示为AB=2AC=2BC. 几何语言：因为C是线段AB的中点， 所以AC=BC= AB，AB=2AC=2BC. 注：线段的中点有且只有一个，且在线段上. 6.角 角的分类：按大小分, 周角(360°)>平角(180°)>钝角(90°<钝角<180°)>直角(90°)>锐角(<90°); 余角： 如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角叫做另一个角的余角; 性质： 同角(或等角) 的余角相等； 补角： 如果两个角的和是一个平角， 那么这两个角叫做互为补角， 其中一个角叫做另一个角的补角； 性质： 同角(或等角) 的补角相等； 注：互为补角、互为余角是相对两个角而言， 由它们的数量关系来定义的， 只与角的度数有关，与角的位置无关； 角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示，； 有以下四种表示方法； ①用数字表示单独的角; ②用小写的希腊字母表示单独的一个角； ③用一个大写英文字母表示一个独立的角(在一个顶点只有一个角)； ④用三个大写英文字母表示任一个角； 注意： 用三个大写英文字母表示角时， 一定要把顶点字母写在中间， 边上的字母写在两侧； 角的单位： 1周角=360°, 1平角=180°, 1°=60', 1'(分)=60"(秒), 角的度、分、秒是60 进制; 角的性质：①角的大小与边的长短无关， 只与构成角的两条射线的幅度大小有关； ②角的大小可以度量， 可以比较， 比较方法： 叠合法；度量法； 7.角平分线 定义：一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线； 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 逆定理：在角的内部， 到角两边距离相等的点在角平分线上(判定角平分线)； 题型一 常见的几何体 【例1】如图所示为某几何体的展开图，则该几何体的名称是（　　） A．三棱柱 B．三棱锥 C．球 D．圆柱 【变式1-1】下列标注的图形名称与图形不相符的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图是一个直三棱柱的展开图，其中三个面被标示为甲、乙、丙．将此展开图折成直三棱柱后，判断下列叙述正确的是（     ） A．甲与乙平行，甲与丙垂直 B．甲与乙平行，甲与丙平行 C．甲与乙垂直，甲与丙垂直 D．甲与乙垂直，甲与丙平行 题型二 几何体折叠与展开应用 【例2】兰兰摆出一个立体图形，从左面、右面看到的图都是，那么兰兰摆出的图形可能是（    ）图形． A． B． C． D．以上答案都不对 【变式2-1】4．观察如图几何体，从上面看到的形状是（　　 ） A． B． C． D． 【变式2-2】15．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如下图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①~④中的（    ）号面可以使其折成一个完整的正方体． A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-4】如图，裁掉甲、乙、丙、丁中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型三 立体图形的计算问题 【例3】如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【变式3-1】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（     ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【变式3-2】17．如下图所示的是一个长方体纸盒的展开图，求这个纸盒的表面积和体积（纸的厚度不计）． 【变式3-3】如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长． (1)这个五棱柱有多少个侧面？侧面形状分别是什么？ (2)这个五棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 题型四 点、线、面之间的关系应用 四 【例4】下列现象，说明“点动成线”的是（    ） A．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹 B．流星划过夜空留下的痕迹 C．酒店旋转门运动的痕迹 D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹 【变式4-1】将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式4-2】固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 【变式4-3】下列说法：①三棱锥的底面是三角形；②棱柱有个面，个顶点，条棱；③若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面的面积也相等；④圆锥有两个面，底面与侧面相交形成曲线；⑤时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了点动成线；⑥如果用一个平面去截八棱柱，截面形状一定不是九边形．其中正确的有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-4】如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 题型五 画一条线段等于已知线段 四 【例5】下列语句正确的是（     ） A．可以用直线上的一个点来表示该直线 B．画出4厘米长的直线 C．“射线”也可以写成“射线” D．点A一定在直线上 【变式5-1】根据“点P是直线a外的一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q”画图，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 【变式5-3】读下列语句，在图中画出图形： (1)画射线； (2)画线段； (3)画直线与线段相交于点O； (4)画射线与射线相交于点E． 【变式5-4】根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 【变式5-5】16．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)连接，并反向延长至点，使． 题型六 求线段的长度 加法运算五四 【例6】以下四把直尺都只有三个刻度，若要画出5个单位长度的线段，下列直尺中不能使用的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，线段，点D为的中点，，那么 ． 【变式6-3】14．如图，点D、B在线段上，点E在上，已知，，则线段的长为 ． 【变式6-4】如图，，，是线段的中点，，分别是线段、上的点，， (1)线段的长为 ． (2)求线段的长． 题型七 角的度量与比较 六五四 【例7】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，，，点B，O， D在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】计算： ； ． 【变式7-5】如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 题型八 角的平分线的应用 六五四 【例8】已知，，平分，平分，则的度数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-1】如题，使用剪刀时会张开一定的角度，已知，平分，则的度数是 （     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么 （用含的式子表示）． 【变式8-3】9．已知，过O作射线，使，若射线是的平分线，则的度数是 ． 【变式8-4】如图，直线与相交于点，． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，且平分，求的度数． 基础巩固通关测 1．如图是由若干块小正方体积木搭成的立体模型．在此形状上要把它搭成一个大正方体，至少还需要（    ）块这样的小正方体． A．20 B．21 C．22 D．23 2．下列几何体中，属于柱体的有（     ） ①长方体  ②正方体  ③圆锥  ④圆柱  ⑤四棱锥  ⑥三棱柱 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下面几何体（    ）符合要求． A． B． C． D． 4．某物体如图所示，从上面看到的图是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（    ）． A．B．C． D． 6．用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　 　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 7．上午点分时，钟面上时针和分针的夹角为（    ）度 A． B． C． D． 8．中国武术有“枪扎一条线，横扫一大片”说法，这句话用数学知识诠释相对最科学的是（    ） A．两点确定一条直线 B．点的平移 C．旋转成圆 D．点动成线，线动成面 9．下列说法正确的有（　 　）． 棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）； 点动成线，线动成面，面动成体； 圆锥的侧面展开图是一个圆； 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面都是平行四边形． A．个 B．个 C．个 D．个 10．下列叙述正确的是（ 　　） A．河道改直可以缩短航程，是因为“经过两点有一条直线，并且只有一条直线” B．在直线上任取4点，以这4个点为端点的线段共有6条 C．画直线 D．若线段，，那么线段或4 11．将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（　　 ） A． B． C． D． 12．如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（     ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 13．如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 14．若，，，则（     ） A． B． C． D． 15．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 16．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 17．如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，E为线段上一点，若线段，则的长度为 ． 18．数轴上有A，B两点（A在B的左侧）到原点O的距离相等，点C在线段上，点D在直线上．已知，，若，则点D表示的数是 ． 19．如图，与相交于点，若，，则的度数是 ． 20．一个正n棱柱有8个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长为，则它的一个侧面的面积为 ． 21．如图，是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)该几何体的表面积（含下底面）为________； (2)请画出这个几何体分别从正面、左面、上面看到的平面图形； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面和从上面看到的图形不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 22．如图是一个六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长． (1)这个棱柱共有______个顶点； (2)这个棱柱共有______条棱，所有的棱长的和是______； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和为______． 23．如图，点是线段外一点．请用尺规按下列语句画图： (1)连接； (2)在线段上求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 24．如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）； (3)若，． 比较大小线段 ，依据： ； 比较大小： ． 25．如图，延长线段到C点，使，点D是线段的中点，若，求线段的长． 26．已知：如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 能力提升进阶练 1．观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ； （2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点． 2．如图，是由一些大小相同的小立方块组成的几何体从正面看和从左面看得到的形状图，则组成这个几何体的小立方块的个数不可能是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ） A． B． C． D． 4．把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（ ） A． B． C． D． 5．“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（    ） A． B． C． D． 6．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是属于（     ） A．点动成线的实际应用 B．线动成面的实际应用 C．面动成体的实际应用 D．以上答案都不对 7．有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（     ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 8．如图中，甲的表面积（    ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 9．中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．在舞枪的过程中，枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线；而舞棍的过程中，棍棒在空中移动形成的轨迹是一个面，从数学的角度解释为（     ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 10．按下面语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，图中正确的是（   ） A．B． C． D． 11．下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（    ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 13．下列说法中，正确的个数有（     ） 过不同两点有且只有一条直线；连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离；两点之间，线段最短；不同三点A、B、C在一条直线上，若，则点B 是线段的中点． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面面积之和为 ，所有棱长和为 ． 15．图中的几何体由 个面围成，面和面相交形成 条线，线与线相交形成 个点． 16．某品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示（单位：），则此包装盒体积是 （包装材料厚度不计） 17．如图，已知，C是的中点，D是上一点，，则 ． 18．如果是的余角的补角，， ，若，则的补角= ． 19．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 20．如图是由棱长都为的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由 个小立方块构成． (2)请在方格中画出从三个方向看到的该几何体的形状图． 21．一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． 22．如图，在平整的地面上，10个完全相同的棱的小正方体堆成一个几何体．在下面的网格中画出从左面看和从上面看的形状图． 23．某种产品形状是长方体，长为，它的表面展开图如图所示． (1)求长方体的体积． (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装2件这种产品，要求设计时不计空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(纸箱表面积尽可能小)，并请求出你设计的纸箱的表面积． 24．作图与画图： 如图，已知线段，请用无刻度的直尺和圆规，按照下列步骤作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） ①反向延长线段至点C，使得； ②作射线，使得； ③在射线上截取； ④连接，． 根据所作的图形，请测量____°． 25．已知射线和点，画线段，并利用尺规作图法在射线上作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 26．如图，已知线段． (1)读语句画图：延长线段到点C，使得； (2)在（1）的条件下，若点P是线段的中点，求线段的长； (3)若点D是线段延长线上一点，点M是线段的中点，点N是的中点，请在备用图中画出图，求线段的长． 27．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)________； (2)若与两角之比是，求的度数． 28．如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 29．如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 5 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $