单元质量评价(四)第13章　勾股定理 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

单元质量评价(四) 第13章 勾股定理 (90分钟 100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1.用下列各组线段为边,能构成直角三角形的是( ) A.1 cm,2 cm,3 cm B. cm, cm, cm C.9 cm,12 cm,15 cm D.2 cm,3 cm,4 cm 2.用反证法证明“m为正数”时,应先假设( ) A.m为负数 B.m为整数 C.m为负数或零 D.m为非负数 3.(2025 厦门期末)如果直角三角形的两条边长分别为2和3,那么它的第三条边长为( ) A.4 B. C. D.或 4.如图,在3 4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中,标记格点A,B,C,D,则下列线段长度为的是( ) A.线段AB B.线段BC C.线段AC D.线段BD 5.(2024 南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n).若小正方形面积为5,(m+n)2=21,则大正方形面积为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 6. ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则 ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 7.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O(如图),向北偏东40 方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即BA=30海里),则另一艘轮船航行的方向是北偏西( ) A.40 B.45 C.50 D.55 8.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( ) A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.你听说过亡羊补牢的故事吗?如图,为了防止羊的再次丢失,小明爸爸要在高0.9 m,宽1.2 m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板,这条木板的长度为 m. 10.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,AC=3,BC=4,P为直线AB上一动点,连结PC,则线段PC长度的最小值是 . 11.(2025 宜宾期末)如图,《九章算术》中记载:今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽.问索长几何.译文:今有一竖直着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺(绳索比木柱长3尺),牵着绳索退行,在距木柱底部8尺(BC=8)处时而绳索用尽,则木柱长为 尺. 12.如图, ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D是AB边上的一个动点,则线段CD的最小值为 . 13.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于O,若AB=6,CD=8,则AD2+BC2= . 14.(2025 青岛期末)如图,已知一个长方体的底面边长分别为6 cm和6 cm,高为7 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm. 三、解答题(共52分) 15.(8分)如图,在 ABC中,点D在边BC上,连结AD,过点D作DE⊥AC于点E,CE=2,DE=4,AE=8.试说明∠ADC=90 . 16.(8分)用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知:如图,∠1是 ABC的一个外角. 求证:∠1=∠A+∠B. 17.(8分) (2025 上海期末)已知:如图,在 ABC中,∠ABC=90 ,AC=10,BC=6,CD平分∠ACB交AB于点D.求AD的长. 18.(8分)(2025 深圳期末)物理课上,老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上,另一端拴在物体C上,滑块B放置在水平地面的直轨道上,通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降. 实验初始状态如图1所示,物体C静止在直轨道上,物体C到滑块B的水平距离是6 dm,物体C到定滑轮A的垂直距离是8 dm.(实验过程中,绳子始终保持绷紧状态,定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计.) (1)求绳子的总长度; (2)如图2,若物体C升高7 dm,求滑块B向左滑动的距离. 19.(10分)如图,每个小正方形的边长都为1. (1)填空:BC= ,AB= ; (2)∠BCD是直角吗?如果是,请证明,如果不是,请说明理由; (3)直接写出点D到AB的距离.(精确到0.1) 20.(10分)一座浮桥位于黄河之上,大观楼耸立在黄河北边,与浮桥相互映衬,形成美丽的文化风景带.在浮桥旁边有一艘游船,如图所示,在离水面高度为5 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13 m,此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的,结果保留根号) 【附加题】(10分) (2025 南通期末)在 ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且c≥b≥a. (1)当 ABC是锐角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2.以下是他的证明过程: 小明的证明过程 如图①,过点A作AD⊥CB,垂足为D.设CD=x. ∵在Rt ADC中,AD2=b2-x2, 在Rt ADB中,AD2= , ∴b2-x2= . 化简得,a2+b2-c2=2ax. ∵a>0,x>0,∴ >0. ∴a2+b2-c2>0. ∴a2+b2>c2. 其中,①是 ;②是 . (2)如图②,当 ABC是钝角三角形时,猜想a2+b2与c2之间的关系并证明. 学科网(北京)股份有限公司 $ 单元质量评价(四) 第13章　勾股定理 （90分钟 100分） 一、选择题(每小题3分,共24分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1.用下列各组线段为边,能构成直角三角形的是(C) A.1 cm,2 cm,3 cm B. cm, cm, cm C.9 cm,12 cm,15 cm D.2 cm,3 cm,4 cm 2.用反证法证明“m为正数”时,应先假设(C) A.m为负数 B.m为整数 C.m为负数或零 D.m为非负数 3.(2025·厦门期末)如果直角三角形的两条边长分别为2和3,那么它的第三条边长为(D) A.4 B. C. D.或 4.如图,在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中,标记格点A,B,C,D,则下列线段长度为的是(B) A.线段AB B.线段BC C.线段AC D.线段BD 5.(2024·南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n).若小正方形面积为5,(m+n)2=21,则大正方形面积为(B) A.12 B.13 C.14 D.15 6.△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是(D) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 7.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O(如图),向北偏东40°方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即BA=30海里),则另一艘轮船航行的方向是北偏西(C) A.40° B.45° C.50° D.55° 8.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是(C) A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.你听说过亡羊补牢的故事吗?如图,为了防止羊的再次丢失,小明爸爸要在高0.9 m,宽1.2 m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板,这条木板的长度为　1.5　m.  10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,P为直线AB上一动点,连结PC,则线段PC长度的最小值是 　.  11.(2025·宜宾期末)如图,《九章算术》中记载:今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽.问索长几何.译文:今有一竖直着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺(绳索比木柱长3尺),牵着绳索退行,在距木柱底部8尺(BC=8)处时而绳索用尽,则木柱长为 　尺.  12.如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D是AB边上的一个动点,则线段CD的最小值为 　.  13.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于O,若AB=6,CD=8,则AD2+BC2=　100　.  14.(2025·青岛期末)如图,已知一个长方体的底面边长分别为6 cm和6 cm,高为7 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则这只蚂蚁爬行的最短路程为　25　cm.  三、解答题(共52分) 15.(8分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,连结AD,过点D作DE⊥AC于点E,CE=2,DE=4,AE=8.试说明∠ADC=90°. 【解析】∵DE⊥AC,∴∠AED=∠CED=90°, 在Rt△ADE中,∠AED=90°,∴AD2=AE2+DE2=82+42=80, 同理:CD2=20,∴AD2+CD2=80+20=100, ∵AC=AE+CE=8+2=10,∴AC2=100, ∴AD2+CD2=AC2,∴△ADC是直角三角形,即∠ADC=90°. 16.(8分)用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知:如图,∠1是△ABC的一个外角. 求证:∠1=∠A+∠B. 【证明】假设∠1≠∠A+∠B, 如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠2=180°,∴∠A+∠B=180°-∠2, ∵∠1+∠2=180°,∴∠1=180°-∠2,∴∠1=∠A+∠B,与假设相矛盾, ∴假设不成立,∴原命题成立,即∠1=∠A+∠B. 17.(8分) (2025·上海期末)已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,BC=6,CD平分∠ACB交AB于点D.求AD的长. 【解析】过D作DE⊥AC于点E. ∵在△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,BC=6, ∴AB==8, ∵DB⊥BC,DE⊥AC,CD平分∠ACB, ∴DE=DB, ∵∠DBC=∠DEC=90°,CD=CD, ∴Rt△CBD≌Rt△CED(HL), ∴BC=EC=6,∴AE=4. 设AD=x,则DE=DB=8-x, 在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2, 即x2=42+(8-x)2, 解得x=5.故AD的长是5. 18.(8分)(2025·深圳期末)物理课上,老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上,另一端拴在物体C上,滑块B放置在水平地面的直轨道上,通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降. 实验初始状态如图1所示,物体C静止在直轨道上,物体C到滑块B的水平距离是6 dm,物体C到定滑轮A的垂直距离是8 dm.(实验过程中,绳子始终保持绷紧状态,定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计.) (1)求绳子的总长度; (2)如图2,若物体C升高7 dm,求滑块B向左滑动的距离. 【解析】(1)根据题意得AC=8 dm,BC=6 dm,∠ACB=90°, ∴AB==10 dm, ∴AB+AC=10+8=18(dm), 答:绳子的总长度为18 dm. (2)如图, 根据题意得∠ADB=90°,AD=8 dm,CD=7 dm,AB=10+7=17(dm), ∴BD===15(dm), ∴BE=BD-DE=15-6=9(dm), 答:滑块B向左滑动的距离为9 dm. 19.(10分)如图,每个小正方形的边长都为1. (1)填空:BC=2,AB=;  (2)∠BCD是直角吗?如果是,请证明,如果不是,请说明理由; (3)直接写出点D到AB的距离.(精确到0.1) 【解析】(1)由题意得,BC==2,AB==. (2)∠BCD是直角,证明如下:由题意得CD2=12+22=5,BD2=32+42=25, ∵CD2+BC2=5+20=25=BD2,∴△BCD是直角三角形,即∠BCD=90°,∴∠BCD是直角; (3)设点D到AB的距离为h,由题意得,S△ABD=5×4-×1×4-×3×4-×1×5=,∴AB·h=,∴·h=,∴h≈3.7,∴点D到AB的距离约为3.7. 20.(10分)一座浮桥位于黄河之上,大观楼耸立在黄河北边,与浮桥相互映衬,形成美丽的文化风景带.在浮桥旁边有一艘游船,如图所示,在离水面高度为5 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13 m,此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的,结果保留根号) 【解析】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=13 m,AC=5 m, ∴AB===12(m), ∵此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置, ∴CD=13-0.5×10=8(m), 在Rt△ACD中,AD===(m), ∴BD=AB-AD=(12-)m. 答:船向岸边移动了(12-)m. 【附加题】(10分) (2025·南通期末)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且c≥b≥a. (1)当△ABC是锐角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2.以下是他的证明过程: 小明的证明过程 如图①,过点A作AD⊥CB,垂足为D.设CD=x. ∵在Rt△ADC中,AD2=b2-x2, 在Rt△ADB中,AD2=①, ∴b2-x2=①. 化简得,a2+b2-c2=2ax. ∵a>0,x>0,∴②>0. ∴a2+b2-c2>0. ∴a2+b2>c2. 其中,①是c2-(a-x)2;②是2ax.  (2)如图②,当△ABC是钝角三角形时,猜想a2+b2与c2之间的关系并证明. 【解析】(1)如图①,过点A作AD⊥CB,垂足为D,设CD=x, ∵在Rt△ADC中,AD2=b2-x2, 在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,∴b2-x2=c2-(a-x)2, 化简得,a2+b2-c2=2ax,∵a>0,x>0,∴2ax>0, ∴a2+b2-c2>0,∴a2+b2>c2. 其中,①是c2-(a-x)2;②是2ax; (2)a2+b2<c2,证明如下: 如图, 过点A作AD⊥BC的延长线,垂足为D,设CD=x, ∵在Rt△ADC中,AD2=b2-x2, 在Rt△ADB中,AD2=c2-(a+x)2, ∴b2-x2=c2-(a+x)2, 化简得,a2+b2-c2=-2ax, ∵a>0,x>0, ∴-2ax<0, ∴a2+b2-c2<0, ∴a2+b2<c2. 学科网（北京）股份有限公司 $