第十四章 全等三角形 单元培优练习题 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第14章 全等三角形 单元培优练习题 一．选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．三个角对应相等的三角形是全等三角形 C．周长相等的等边三角形都是全等三角形 D．两个面积相等的等腰三角形是全等三角形 2．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，AE＝CF，要使△ADF≌△CBE，不能添加的一个条件是（　　） A．∠A＝∠C B．DF＝BE C．AD∥BC D．DF∥BE 3．如图，△ABC≌△AED，点D在BC边上，若∠CAD＝50°，则∠ADC的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 4．如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论不一定成立的是（　　） A．△ABC≌△CDE B．CE＝BE C．AB⊥CD D．∠CAB＝∠ECD 5．如图，AE、BD是△ABC的角平分线，AE、BD交于点O，OF⊥AB，∠C＝60°，以下结论错误的是（　　） A．∠AOB＝120° B．连接OC，则OC平分∠ACB C．AD+BE＝AB D．若△ABC的周长为m，OF＝n，则S△ABC＝mn 6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝4，S△BDC＝2，则AD＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，△ABC≌△DEF，若∠B＝125°，∠F＝35°，则∠A的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 8．如图所示，若AC＝DB，∠1＝∠2，则可判定△ABC≌△DCB，这是根据（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 9．如图，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的数量关系是（　　） A．2∠P﹣∠B+∠D＝180° B．2∠P﹣∠B﹣∠D＝180° C．2∠P+∠B﹣∠D＝180° D．2∠P+∠B+∠D＝360° 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，点F在AC上，点G在AB上，BE＝CF．FD平分∠CFG，下列结论中正确的个数（　　）①DC＝DE；②GD平分∠FGE；③∠CAB+2∠FDG＝180°；④S△FDG＝S△CDF+S△DEG． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 11．如图，M是∠AOB的平分线上一点，过点M作MC⊥OA，垂足为C．若MC＝3，D是OB上任意一点，则MD的最小值为　 　 ． 12．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是 　 　 ． 14．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠E，若要证明△ABC≌△ADE，需要补充的一个条件是 　 　 ．（写出一个即可） 15．如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P．PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为9，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝ 　 　 ． 16．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是　 　 ． 三．解答题 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，F是BC上的一点，BD⊥AF于点D，CE⊥AF的延长线于点E，AD＝CE， （1）求证：△ABD≌△AEC． （2）判断BD，DE，CE这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 18．如图，E是线段AC上一点，点D在BC的延长线上，连接BE，ED，且∠ABC＝∠ACB，∠EBD＝∠D． （1）尺规作图：在射线CA的左侧作∠ACF，使得∠ACF＝∠ABE，交AB于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：FC∥ED． 证明：∵∠ACF＝∠ABE，①　 　 （已知）， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF（②　 　 ）， 即∠EBD＝∠BCF， ∵∠EBD＝∠D（已知）， ∴③　 　 （等量代换）， ∴FC∥ED（④　 　 ）． 19．如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF． （1）求证：∠1＝∠3； （2）若AM＝4cm，求AN的长度． 20．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，且DE＝BF． （1）求∠D的度数； （2）求证：CE＝CF． 21．如图，BD在∠ABC的内部，点E，D在BD上，连接AE，CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F，G，且F，G恰好是AE和CE的中点，DG＝DF． （1）求证：EF＝EG； （2）求证：BD平分∠ABC． 22．已知：△ABC是等边三角形，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，且PA＝QB．连接AQ、CP交于点M． （1）如图1，当点P是AB边的中点时，∠CMQ＝　 　 °； （2）在P、Q运动过程中，∠CMQ的大小是否变化？请利用图2证明你的结论． 23．综合探究 问题情境：△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AD＝CE，连接AE、DE． 猜想证明：（1）如图1，当点D是AC的中点时，DB 　 　 DE；（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）若点D为AC边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与△CDE全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作DF∥BC，交AB于点F．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图3，当点D是AC边上任意一点时，取BD的中点F，连接AF．求∠FAE的度数． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B D D D D B D 二．填空题 11．解：如图，过M点作作MD⊥OB于点D， 由垂线段的性质可得，当MD⊥OB时，MD最短， ∵OM是∠AOB的平分线，MC⊥OA， ∴MD＝MC， ∵MC＝MD＝3， 故答案为：3． 12．解：如图所示： 由题意可得：∠1＝∠3， 则∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°． 故答案为：135°． 13．解：如图，在△BDE与△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（SAS）， ∴∠BDE＝∠CFD，∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝60°， ∴∠EDF＝60°， 故答案为：60°． 14．证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴要证明△ABC≌△ADE，需要补充的一个条件是BC＝DE（答案不唯一）． 故答案为：BC＝DE（答案不唯一）． 15．解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP， ∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，PE＝2， ∴PF＝PG＝PE＝2， ∵S△BPC＝2， ∴BC×2＝2， 解得：BC＝2， ∵△ABC的周长为9， ∴AC+AB＝9﹣2＝7， ∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BPCAC•PEAB•PG﹣S△BPC7×2﹣2＝5， 故答案为：5． 16．解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB， ∴OA＝OC， 与OA＞OC矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故答案为：①②④． 三．解答题 17．（1）证明：∵BD⊥AF，CE⊥AF的延长线于点E， ∴△ABD和△AEC是直角三角形， 在Rt△ABD和Rt△CAE中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）， 即△ABD≌△AEC； （2）解：BD＝DE+CE，理由如下： ∵△ABD≌△AEC， ∴BD＝AE， ∵AE＝AD+DE，AD＝CE， ∴BD＝DE+CE． 18．（1）解：如图，∠ACF即为所求． （2）证明：∵∠ACF＝∠ABE，∠ABC＝∠ACB（已知）， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF（等式的性质）， 即∠EBD＝∠BCF， ∵∠EBD＝∠D（已知）， ∴∠BCF＝∠D（等量代换）， ∴FC∥ED（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①∠ABC＝∠ACB；②等式的性质；③∠BCF＝∠D；④同位角相等，两直线平行． 19．（1）略 （2）解：由（1）得Rt△ABE≌Rt△ACF，∠1＝∠3， ∴AE＝AF， 在△AEM和△AFN中， ， ∴△AEM≌△AFN（ASA）， ∴AM＝AN． ∵AM＝4cm， ∴AM＝AN＝4cm， ∴AN的长度是4cm． 20．（1）解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BCA＝∠DCA，∠DAC＝∠BAC， ∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°， ∴，， ∵∠D+∠DAC+∠DCA＝180°， ∴∠D＝180°﹣30°﹣60°＝90°； （2）证明：由题意知：∠CBF+∠ABC＝180°， ∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°， ∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°． ∴∠D＝∠CBF． 在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（SAS）． ∴CE＝CF． 21．证明：（1）略 （2）由（1）得Rt△EFD≌Rt△EGD， ∴∠DEF＝∠DEG， ∵∠AEB+∠DEF＝180°，∠CEB+∠DEG＝180°， ∴∠AEB＝∠CEB， ∵F，G分别是AE，CE的中点， ∴EFAE，EGCE， ∴AECE， ∴AE＝CE， 在△AEB和△CEB中， ， ∴△AEB≌△CEB（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴BD平分∠ABC． 22．解：（1）∵△ABC是等边三角形，点P是AB边的中点， ∴CP⊥AB，APAB， ∴∠APM＝90°， ∵PA＝QB， ∴QBABBC，且AB＝AC， ∴∠BAQ∠BAC＝30°， ∴∠AMP＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CMQ＝∠AMP＝60°， 故答案为：60； （2）∠CMQ的大小不变，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ， ∴△APC≌△BQA（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠CMQ＝∠QAC+∠ACP＝∠QAC+∠BAQ＝∠BAC＝60°． 23．解：（1）当点D是AC的中点时，DB＝DE，理由如下： 如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠60°，AB＝AC＝BC， ∵点D是AC的中点， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°，AD＝CD， ∵AD＝CE， ∴CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠CDE+∠CED＝2∠CED， ∴60°＝2∠CED， ∴∠CED＝30°， ∴∠CBD＝∠CED＝30°， ∴DB＝DE， 故答案为：＝； （2）如图2，过点D作DF∥BC，交AB于点F， ∴∠AFD＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ACB＝60°， ∴∠AFD＝∠ADF＝60°， ∴△AFD是等边三角形， ∴AD＝DF＝AF， ∵AB＝AC， ∴AB﹣AF＝AC﹣AD， ∴FB＝CD， ∵AD＝CE， ∴DF＝CE， 又∵∠AFD＝∠ACB＝60°， ∴∠DFB＝∠ECD＝120°， 在△FBD和△CDE中， ， ∴△FBD≌△CDE（SAS）， ∴DB＝DE； （3）延长AF到G，是FG＝AF，连接BG，如图3所示： ∵点F是BD的中点， ∴FB＝FD， 在△BFG和△DFA中， ， ∴△BFG≌△DFA（SAS）， ∴BG＝AD，∠G＝∠DAF， ∴BG∥AC， ∴∠GBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABG＝∠ABC+∠GBC＝120°， 又∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°， ∴∠ABG＝∠ACE＝120°， 又∵AD＝CE，BG＝AD， ∴BG＝CE， 在△ABG和△ACE中， ， ∴△ABG≌△ACE（SAS）， ∴∠BAG＝∠CAE， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAG＝∠BAC＝60°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/10 15:11:08；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $