专题25 诱导公式6种常见考法归类讲义（33题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题25 诱导公式6种常见考法归类（33题） （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 给角求值 考点二 给值(式)求值 考点三 利用互余互补关系求值 考点四 化简求值 考点五 三角恒等式的证明 考点六 诱导公式在三角形中的应用 知识点1：诱导公式二：角与角的终边关于原点对称 ， ， ，其中 知识点2：诱导公式三：角与角的终边关于轴对称 ， ， ， 其中 知识点3：诱导公式四：角与角的终边关于轴对称 ， ， ，其中 知识点4：诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 知识点5：诱导公式拓展 注：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. 知识点6：诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 策略方法 1、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 2、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 3、解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 4、三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan . 5、利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． (3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等． 6、三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 7、诱导公式的综合应用 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式． 考点一 给角求值 1．（2025高一·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的奇偶性、周期性和特殊角的三角函数值直接求解即可. 【解析】， 故选：B 2．（2025高一·广东汕头·期末）=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【解析】. 故选：A 3．（25-26高一·全国·课前预习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【解析】． 故选：D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知角终边上A点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式先化简，进而得α的终边在第二象限，利用三角函数的定义得即可求解. 【解析】，， 即α的终边在第二象限，又，且， 所以． 故选：D. 5．（25-26高一·全国·课前预习）求下列三角函数值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】利用诱导公式可求各式的值. 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）． 考点二 给值(式)求值 6．（25-26高一·全国·课前预习）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交点求出，结合选项验证即可. 【解析】由题得．所以，A错误； ，B错误；，C正确；，D错误． 故选：C 7．（2025高一·河南驻马店·开学考试）已知，且是第二象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求的值. 【解析】因为，且是第二象限角，故， 故， 故选：A. 8．（2025高三·全国·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简条件可得，再结合诱导公式求结论. 【解析】因为，， 所以 所以， 故选：B 9．（25-26高一·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式计算即可. 【解析】由得． 故选：A 10．（2025高一·山东东营·期末）若，且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式结合同角三角关系可得，再利用诱导公式运算求解. 【解析】因为，即， 且是第三象限角，则， 所以. 故选：B. 考点三 利用互余互补关系求值 11．（2025高一·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式对目标式合理变形，得到，再结合得到，进而利用同角三角函数的基本关系求出，最后得到即可. 【解析】由题意结合诱导公式得， 因为，所以，则， 因为，所以， 解得（负根舍去），可得，故B正确. 故选：B 12．（2025高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则的值等于 . 【答案】 【分析】利用三角函数诱导公式即可求解. 【解析】因为，所以. 故答案为：. 13．（25-26高三·重庆九龙坡·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解. 【解析】, 由于，所以，结合 故，所以， 故选：A 14．（2025高一·全国·专题练习）已知，（），求的值． 【答案】 【分析】寻找与之间的关系，发现和为定值，因此将转化为，再利用诱导公式求值． 【解析】因为， 所以． 因为，所以， 所以． 15．（2025高二·全国·专题练习）已知，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由诱导公式和角之间的关系结合平方关系即可计算求解. 【解析】因为， 又，所以， 所以. 故答案为： 考点四 化简求值 16．（25-26高二·北京·开学考试）化简（    ） A． B． C．-1 D．1 【答案】D 【分析】利用诱导公式对分子和分母进行化简，然后约去相同项，从而得到化简结果。 【解析】原式 故选： 17．（2025高一·全国·周测）已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义可得出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【解析】由题意，点为角终边上一点，由三角函数定义可得， 所以． 故选：B． 18．（2025高一·全国·周测）已知的终边上有一点，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简求值. 【解析】因为的终边上有一点，所以，， 所以， 故选：C. 19．（2025高一·广东·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简，再根据同角三角函数的商数关系即可求解． 【解析】， 故选：C． 20．（25-26高三·天津·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求解. （2）由（1）的结论，利用诱导公式化简即得. 【解析】（1）依题意，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 所以. 21．（25-26高一·全国·课前预习）已知． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式对函数进行化简，然后根据及同角三角函数关系即可求解； （2）利用诱导公式并且对角进行构造即可求解，． 【解析】（1）， ∵，， ∴ ． （2）∵， ∴， 则． 22．（2025高一·江苏南通·阶段练习）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义先计算出的值，然后利用齐次式的运算化简原式，代入的值即可求解； （2）利用诱导公式直接化简原式，然后代入的值即可求解. 【解析】（1）∵角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点， ∴，∴. （2） . 23．（2025高一·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简，并由弦化切法求值即可. 【解析】（1）因为，所以， 所以 ； （2） . 【点睛】方法点睛：已知角的正切值或已知和构成的代数式易求得角的正切值， ①求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值． ②求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值； ③求形如的整式的值，可将整式看成分母为1的分式，再将分母1变形为，转化为形如的分式求解. 24．（2025高一·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式列式计算得解. （2）利用诱导公式化简，再利用齐次式法计算得解. 【解析】（1）依题意，，由是第二象限角，得， 又，解得，所以. （2）． 25．（2025高一·四川广安·阶段练习）平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (1)求和的值 (2)若，化简并求值 【答案】(1)，； (2)，4. 【分析】（1）根据三角函数的定义及已知终边上的点求对应三角函数值； （2）应用诱导公式化简函数式，由弦化切及（1）中结果求值即可. 【解析】（1）由题设，， 所以； （2）由题设. 考点五 三角恒等式的证明 26．（2025高三·浙江·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用切化弦和诱导公式进行化简，即可证明等式； 【解析】左边＝ ＝右边． 故原式得证． 【点睛】本题考查诱导公式的综合运用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数符号的正负. 27．（2025高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【解析】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 28．（2025高一·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【解析】左边右边， 所以． 29．（2025高一·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【解析】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 30．（2025高一·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可证明； 【解析】证明：左边 =右边，所以原式成立． 考点六 诱导公式在三角形中的应用 31．（2025高一·四川资阳·期中）在△ABC中，，，则为 三角形． 【答案】直角 【分析】先根据诱导公式化简，再根据特殊角三角函数值得角，最后根据三角形内角关系求得结果. 【解析】在中， 由，得，即， 又，∴， 又，，即， 又，∴， ∴， ∴为直角三角形． 故答案为：直角. 32．（2025高一·上海虹口·期中）在△中，若，则该三角形是 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】根据得到或，即可判断三角形的形状. 【解析】因为， 所以或. 即：或. 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 【点睛】本题主要考查三角函数的形状的判断，熟记公式是解题的关键，属于简单题. 33．（2025高三·西藏林芝·阶段练习）  则此三角形为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由诱导公式和三角函数公式可得，进而可得，由三角形的 内角和定理可得，可得是等腰直角三角形． 【解析】由题意可知，， 及诱导公式， 可得，， 所以，即， 因为，所以． 所以， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选: C. $【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题25 诱导公式6种常见考法归类（33题） （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 给角求值 考点二 给值(式)求值 考点三 利用互余互补关系求值 考点四 化简求值 考点五 三角恒等式的证明 考点六 诱导公式在三角形中的应用 知识点1：诱导公式二：角与角的终边关于原点对称 ， ， ，其中 知识点2：诱导公式三：角与角的终边关于轴对称 ， ， ， 其中 知识点3：诱导公式四：角与角的终边关于轴对称 ， ， ，其中 知识点4：诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 知识点5：诱导公式拓展 注：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. 知识点6：诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 策略方法 1、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 2、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 3、解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 4、三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan . 5、利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． (3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等． 6、三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 7、诱导公式的综合应用 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式． 考点一 给角求值 1．（2025高一·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·广东汕头·期末）=（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·课前预习）（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知角终边上A点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一·全国·课前预习）求下列三角函数值． (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二 给值(式)求值 6．（25-26高一·全国·课前预习）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·河南驻马店·开学考试）已知，且是第二象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025高一·山东东营·期末）若，且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 考点三 利用互余互补关系求值 11．（2025高一·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 12．（2025高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则的值等于 . 13．（25-26高三·重庆九龙坡·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025高一·全国·专题练习）已知，（），求的值． 15．（2025高二·全国·专题练习）已知，且，则 ． 考点四 化简求值 16．（25-26高二·北京·开学考试）化简（    ） A． B． C．-1 D．1 17．（2025高一·全国·周测）已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 18．（2025高一·全国·周测）已知的终边上有一点，则的值为（   ） A． B． C． D．4 19．（2025高一·广东·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高三·天津·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. (1)求，的值； (2)求的值. 21．（25-26高一·全国·课前预习）已知． (1)若，求； (2)若，求． 22．（2025高一·江苏南通·阶段练习）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 23．（2025高一·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 24．（2025高一·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 25．（2025高一·四川广安·阶段练习）平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (1)求和的值 (2)若，化简并求值 考点五 三角恒等式的证明 26．（2025高三·浙江·专题练习）求证：. 27．（2025高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 28．（2025高一·上海·课堂例题）证明：． 29．（2025高一·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 30．（2025高一·全国·课后作业）求证：． 考点六 诱导公式在三角形中的应用 31．（2025高一·四川资阳·期中）在△ABC中，，，则为 三角形． 32．（2025高一·上海虹口·期中）在△中，若，则该三角形是 33．（2025高三·西藏林芝·阶段练习）  则此三角形为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 $