专题09 函数的概念6种常见考法归类讲义（65题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题09 函数的概念6种常见考法归类（65题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数关系的判断 考点二 求函数值 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 （二）求抽象函数、复合函数的定义域 （三）实际问题中的定义域 （四）逆用函数的定义域 考点四 区间的应用 考点五 同一个函数的判断 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 （二）根式型值域 （三）分式型值域 （四）根据值域求参数 （五）根据值域求定义域 知识点1：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点2：函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． (3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点3：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 注：函数的值域与定义域、对应关系不是相互独立的，函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了． 知识点4：区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注:区间是数集的另一种表示方法，但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 知识点5：常见函数的值域 （1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. （2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 策略方法 1、理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 2、函数的判断 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 3、函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4、求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 5、用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 6、判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 7.求函数的值域常见的方法有： （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 考点一 函数关系的判断 1．（25-26高一·全国·开学考试）下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 4．（2025高一·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B． C．D． 5．（2025高一·山东潍坊·阶段练习）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 考点二 求函数值 6．（25-26高一·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 7．（2025高二·河南商丘·期末）已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 8．（2025高一·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 9．（2025高二·黑龙江·期末）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025高二·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 11．（25-26高一·全国·单元测试）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 12．（2025高一·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 13．（2025高三·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 14．（25-26高一·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 15．（2025高一·全国·课前预习）函数的定义域是（   ） A． B．C．，且D．，且 （二）求抽象函数、复合函数的定义域 16．（2025高一·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 17．（2025高一·贵州毕节·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．（2025高一·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 19．（2025高一·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 20．（2025高一·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． （三）实际问题中的定义域 21．（2025高一·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 22．（2025高一·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 23．（2025高一·全国·单元测试）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 24．（2025高一·全国·课后作业）已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·全国·课后作业）周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（    ） A． B． C． D． （四）逆用函数的定义域 26．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 27．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 28．（2025高二·江西·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 29．（2025高一·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 30．（2025高一·云南昭通·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 考点四 区间的应用 31．（2025高一·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 32．（2025高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)． 33．（2025高一·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 34．（2025高二·辽宁·期末）集合（   ） A．2 B． C． D． 35．（2025高一·上海浦东新·阶段练习）若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 考点五 同一个函数的判断 36．（2025高一·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 37．（25-26高一·全国·课前预习）下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高一·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 39．（2025高二·吉林·期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 40．（2025高一·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 41．（2025高三·广东汕头·阶段练习）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高一·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 43．（2025高一·北京房山·期中）函数的值域为 . 44．（2025高一·江苏·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 45．（2025高一·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． （二）根式型值域 46．（2025高一·重庆·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 47．（2025高一·辽宁·期中）函数的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 48．（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域． 49．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 50．（2025高一·安徽亳州·期中）函数的值域为 （三）分式型值域 51．（2025高一·四川成都·期中）函数的值域为 ． 52．（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域． 53．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 54．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 55．（2025高一·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． （四）根据值域求参数 56．（2025高一·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．（2025高一·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 58．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（2025高一·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（2025高三·江苏扬州·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （五）根据值域求定义域 61．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 62．（2025高三·全国·对口高考）已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（2025高三·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 64．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）我们规定：与函数的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫的“孪生函数”，那么解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 65．（2025高一·广东深圳·期中）已知函数，其值域是，则其定义域是（    ） A． B． C． D． $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题09 函数的概念6种常见考法归类（65题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数关系的判断 考点二 求函数值 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 （二）求抽象函数、复合函数的定义域 （三）实际问题中的定义域 （四）逆用函数的定义域 考点四 区间的应用 考点五 同一个函数的判断 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 （二）根式型值域 （三）分式型值域 （四）根据值域求参数 （五）根据值域求定义域 知识点1：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点2：函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． (3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点3：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 注：函数的值域与定义域、对应关系不是相互独立的，函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了． 知识点4：区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注:区间是数集的另一种表示方法，但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 知识点5：常见函数的值域 （1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. （2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 策略方法 1、理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 2、函数的判断 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 3、函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4、求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 5、用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 6、判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 7.求函数的值域常见的方法有： （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 考点一 函数关系的判断 1．（25-26高一·全国·开学考试）下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义逐项分析即可判断. 【解析】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意； 对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A. 2．（2025高一·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【解析】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【分析】由知，且不能只，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【解析】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 4．（2025高一·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断. 【解析】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 5．（2025高一·山东潍坊·阶段练习）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【解析】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 考点二 求函数值 6．（25-26高一·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【解析】. 故选：B. 7．（2025高二·河南商丘·期末）已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 【答案】A 【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值. 【解析】令，则， 得． 故选：A． 8．（2025高一·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】令可求出，令、可求出. 【解析】令，则， 令，，则． 故选：C 9．（2025高二·黑龙江·期末）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取，，解方程可求. 【解析】因为， 令，则； 令，则， 联立两式可得， 故选：A. 10．（2025高二·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助赋值法，分别令及，可得求得答案. 【解析】令，得①； 令，得②， 由得. 故选：A. 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 11．（25-26高一·全国·单元测试）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【解析】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 12．（2025高一·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【解析】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 13．（2025高三·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域. 【解析】由，可得， 即，解得， 即函数的定义域为， 故选：C． 14．（25-26高一·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【解析】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 15．（2025高一·全国·课前预习）函数的定义域是（   ） A． B．C．，且D．，且 【答案】C 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【解析】由，解得 故定义域为且. 故选：C． （二）求抽象函数、复合函数的定义域 16．（2025高一·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【解析】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 17．（2025高一·贵州毕节·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可求函数的定义域. 【解析】因为函数的定义域为， 所以，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 18．（2025高一·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【解析】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 19．（2025高一·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【解析】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 20．（2025高一·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案. 【解析】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法， 在函数中，，解得且. 则定义域为. 故选：C. （三）实际问题中的定义域 21．（2025高一·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【解析】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 22．（2025高一·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系即可得到函数的定义域. 【解析】由题知：，， 根据三角形三边关系得到， 所以函数的定义域为. 故选：A 23．（2025高一·全国·单元测试）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【解析】由题设有， 由得，故选A. 【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围. 24．（2025高一·全国·课后作业）已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长的定义和边长的范围可得选项. 【解析】边长为，另一条边长为，得，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域，在求解函数的定义域时，需考虑自变量的实际意义，属于基础题. 25．（2025高一·全国·课后作业）周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设矩形的一边长为x，该边的邻边长为，根据矩形的边长大于零即可求解. 【解析】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为， 由得，故这个函数的定义域是. 故选：D 【点睛】本题考查了函数的定义域，函数的定义域使表达式有意义或满足实际生活中的自变量的取值范围，属于基础题. （四）逆用函数的定义域 26．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域为，意味着根号下的二次函数的值恒大于等于；需要分和两种情况进行讨论. 【解析】由题意可知，对任意，恒成立． （ⅰ）当时，不恒成立，舍去； （ⅱ）当时，应满足，解得． 所以实数的取值范围为． 27．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【解析】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 28．（2025高二·江西·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得在上恒成立，利用数形结合思想列出不等式求解即得. 【解析】因函数的定义域为 则在内恒成立， 故需使，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 29．（2025高一·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】要使函数解析式有意义，则，分类讨论即可得出结论. 【解析】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 30．（2025高一·云南昭通·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得的解为，求解即可. 【解析】因为函数的定义域为， 所以的解为，即的图象与轴没有交点， 当时，函数的图象与轴没有交点，故符合题意； 当时，要使的图象与轴没有交点， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围. 故答案为： 考点四 区间的应用 31．（2025高一·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【解析】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 32．（2025高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据区间的定义直接求解即可. 【解析】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 33．（2025高一·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【解析】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    34．（2025高二·辽宁·期末）集合（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【解析】, 故选：B 35．（2025高一·上海浦东新·阶段练习）若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【解析】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 考点五 同一个函数的判断 36．（2025高一·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可. 【解析】对于A，，A错误； 对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误； 对于C，和的定义域和对应关系都相同，C正确； 对于D，由，解得，故的定义域为， 由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误. 故选：C 37．（25-26高一·全国·课前预习）下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可. 【解析】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数． 故选：A 38．（25-26高一·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【解析】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 39．（2025高二·吉林·期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【解析】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数； 对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同， 故C选项中的两个函数是同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数. 故选：C. 40．（2025高一·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【解析】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 41．（2025高三·广东汕头·阶段练习）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆和函数的性质求出对应集合，再应用集合的交运算求集合. 【解析】表示原点为圆心，半径为的圆， 所以圆上点的横坐标的取值范围为，故. 在函数中，当时，，故， 从而. 故选：C 42．（25-26高一·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合B，再应用交集定义计算求解. 【解析】因为集合，， 则， 则. 故选：B. 43．（2025高一·北京房山·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域 【解析】因为，所以，故函数的值域为. 故答案为：. 44．（2025高一·江苏·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出所有函数值即可得值域； （2）根据二次函数的性质即可得值域. 【解析】（1）因为 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以的值域为. 45．（2025高一·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域. 【解析】令得，，故定义域为， . 故选：A （二）根式型值域 46．（2025高一·重庆·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可． 【解析】根据题意知函数定义域为，令， 所以， 当时，，所以函数的值域为. 故选：C. 47．（2025高一·辽宁·期中）函数的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设，可得，然后配方后利用二次函数的性质求解即可. 【解析】设，则， 即， 因为，所以当时，的最大值为， 故选：B. 48．（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】借助换元法可将原函数化为二次函数，结合二次函数的性质计算即可得. 【解析】设，则， 函数可化为，对称轴为， 所以该函数在上单调递减，所以当时，， 所以原函数的值域为. 49．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】利用函数的单调性来求值域即可． 【解析】因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递减， 所以在定义域上单调递增， 又因为定义域为， 所以． 即函数的值域为. 50．（2025高一·安徽亳州·期中）函数的值域为 【答案】 【分析】令，将原函数转化为关于t的二次函数，然后由二次函数的性质可得. 【解析】令，则， 于是， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，没有最大值，所以函数的值域是. 故答案为： （三）分式型值域 51．（2025高一·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【解析】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 52．（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【解析】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 53．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】利用判别式法求函数值域即可. 【解析】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为：. 54．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域. 【解析】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 55．（2025高一·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得. 【解析】因为， 又，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： （四）根据值域求参数 56．（2025高一·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、及，结合函数值域定义与二次函数性质计算即可得解. 【解析】若函数的值域为， 则内函数有定义，故内函数大于或等于0， 当时，函数其定义域为，值域为符合题意； 当时，函数开口向上，若要满足题意则需，解得； 当时，函数开口向下，不可能符合题意； 综上所述：. 故选：A. 57．（2025高一·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【解析】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 58．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【解析】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 59．（2025高一·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案. 【解析】由题意，令，则为其值域的一个子集， 当时，，令，解得，故当时，； 当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意； 当时，，该函数为开口向上的二次函数，令，则，整理可得，即，解得或，此时符合题意. 综上，可得. 故选：D. 60．（2025高三·江苏扬州·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性可列关于、、的方程组，然后转化为关于或的函数可解决此题． 【解析】由题意得在，上单调递减， 因为函数的值域为，， 所以， ， ，，，， ， ，，结合可得：，， ，． 故选：． （五）根据值域求定义域 61．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域. 【解析】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 62．（2025高三·全国·对口高考）已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图像，数形结合即可判断出答案． 【解析】，画出图像，如图所示，    令，则，解得或， 令，则，解得（舍去）或， 对于A：当时，结合图像，得，故A错误； 对于B：当时，结合图像，得，故B错误； 对于C：当时，结合图像，得，故C错误； 对于D：当时，结合图像，得，故D正确； 故选：D． 63．（2025高三·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【解析】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 64．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）我们规定：与函数的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫的“孪生函数”，那么解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，结合一元二次方程直接求解定义域，即可得到正确选项. 【解析】根据题意，令，解得，令，解得， 故解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”定义域为或，因此只有2个. 故选：B. 65．（2025高一·广东深圳·期中）已知函数，其值域是，则其定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为函数是一对一函数，所以根据值域解定义域，只需解不等式或. 【解析】因为函数是一对一函数，所以可以根据值域解定义域， 由 ，解得， ， ， 定义域是：. 故选D 【点睛】本题考查根据值域求定义域，意在考查函数性质和解不等式，属于基础题型. $$