5.2.1等差数列（第一课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

5.2.1 等差数列（一） 1 一个剧场设置了20排座位，这个剧场从第一排起，每一排的座位数量组成下列数列： 36,38,40,42,44,46,48，…… 你能说出第八排座位数吗？ 趣味情景 50 在过去300多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷彗星： 1682,1758,1834,1910,1986 你能预测出下一次的大致时间吗？ 趣味情景 2062 通常情况下，从地面到6公里的高空，气温随高度的变化而变化，下面是某地高山气温随海拔高度的变化 高度 / km 1 2 3 4 5 6 气温 / °C 28 21.5 15 8.5 2 -4.5 你能预测一下此高山7公里海拔处的温度吗？ 趣味情景 趣味情景 -11°C 观察下面几个数列，这些数列有何特点？ （1）1，3,5,7,9,11，…… （2）1,1,1,1,1,1,1,1，…… （3）3,0，-3，-6，-9，…… 对于数列（1），从第二项起，每一项与它前一项的差都等于2 对于数列（2），从第二项起，每一项与它前一项的差都等于0 对于数列（3），从第二项起，每一项与它前一项的差都等于-3 特点：从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数 新知探究一：等差数列的定义 一般地，如果数列{}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，即 恒成立，则称{}为等差数列，其中称为等差数列的公差. 新知探究一：等差数列的定义 后一项 — 前一项 可正 可负 可为0 例1.判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由. （1）7，13，19，25，31； （2）2，4，7，11； （3）-1，-3，-5，-7. 是，公差为6 新知探究一：等差数列的定义 不是，4−2≠7−4 是，公差为-2 问题：设一个等差数列{𝑎_𝑛 }的首项为𝑎_1，公差为𝑑，你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 根据等差数列的定义， 𝑎2−𝑎1=𝑑，得+ 𝑎3−𝑎2=𝑑，得+ =(+ ) + + 2 𝑎4−𝑎3=𝑑，得+ =(+ ) + + 3 …… 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑑 (𝑛≥2)，得+() (n) 当n时，+() ，符合上式， ∴ 新知探究二：等差数列的通项公式 归纳法 根据等差数列的定义, 𝑎2−𝑎1=𝑑， 𝑎3−𝑎2=𝑑， 𝑎4−𝑎3=𝑑， …… 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑑 (𝑛≥2)， 将上述n-1个式子相加得 ∴ 当n=1时，符合上式， ∴ 累加法 新知探究二：等差数列的通项公式 一般地,若等差数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1,公差为𝑑，则通项公式为 a1，d， n，an，如果知道了其中任意三个量，就可由通项公式求出第四个量. 新知探究二：等差数列的通项公式 知3求1 例 2.已知等差数列10，7，4，…， （1）求这个数列的第10项； （2） -56是不是这个数列中的项？-40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 新知探究二：等差数列的通项公式 解：(1)记数列{an}，则由题意知，， 因此数列的通项公式为， 当时，有因此第10项为. 新知探究二：等差数列的通项公式 解：(2)设-56是数列中的第 项，则，解得 所以-56是数列的第23项. 设-40是数列中的第 项，则， 解得所以-40不是数列中的项. 例 2.已知等差数列10，7，4，…， （1）求这个数列的第10项； （2） -56是不是这个数列中的项？-40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 思考：在等差数列的通项公式中， an与𝑛的关系与以前学过的什么函数有关? 新知探究三：等差数列的函数实质 因为+() 所以如果记 则可以看出 （1）当公差时， 是常数函数，此时数列是常数列 （2）公差时，是一次函数， 当时，是增函数，是递增数列， 当时，是减函数，是递减数列. 一次函数 这也说明，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一定在一条直线上 思考：数列是等差数列的充要条件是其中是常数.（为公差）吗？ 新知探究三：等差数列的函数实质 证明：an=kn+b an+1=k(n+1)+b 所以an+1 - an=k(n+1)+b - (kn+b)=k 所以an=kn+b是等差数列，公差为k 是 等差数列通项公式的一种形式： an=kn+b (k,b是常数). 例3.已知数列{an}的通项公式为判断这个数列是否是等差数列，如果是，求出公差，如果不是说明理由. 新知探究三：等差数列的函数实质 解：因为 所以数列{an}是等差数列，且公差为-2. 例4.已知等差数列 {an}的公差为d,求证：对于任意的正整数m,n,有 新知探究三：等差数列的函数实质 证明： 所以 课堂小结 等差数列 定义 通项公式 函数实质 （知三求一）推导公式： $