精品解析：辽宁省部分学校2026届高三上学期9月联考数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：概率与统计、数列、集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则（ ） A. 为假命题，的否定为“” B. 为假命题，的否定为“” C. 为真命题，的否定为“” D. 为真命题，的否定为“” 2. 在等差数列中，，.则公差d＝（ ） A. －10 B. －5 C. 10 D. 5 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三个内角分别为，，，且，则“”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是奇函数，当时，，则的极大值点为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，则（ ） A. 曲线在点处的切线斜率为1 B. 曲线上的点到直线的距离的最小值为 C. 当时，曲线与有且只有一条公切线 D. 曲线与可能存在两条公切线 11. 已知是定义在上的函数，，对任意的，且恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小值为______． 13. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：h），其中为常数．在此条件下，训练8000个单位的数据量与训练125000个单位的数据量所需的时间之和为，则___________．在此条件下，当训练个单位的数据量所需的时间为时，___________． 14. 函数的值域为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着我国人工智能的突破性发展，近期许多优秀的人工智能应用软件发布并上线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能应用软件，为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了人，得到如下列联表： 单位：人 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 150 合计 300 （1）求的值； （2）在答题卡中补全列联表，并判断能否有的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用体验是否良好有关. 附：，． 16. 在正项数列中，， （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知函数，且． （1）若，求的值； （2）若与在上的单调性相同，求的取值范围； （3）对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）证明：． （2）若只有一个零点，求的取值范围． （3）设是的两个零点，证明：． 19. 一个盒子中有大小和质地均相同的6个球，其中有3个白球和3个黑球．从中任取1个球，若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1个大小和质地均相同的白球放回盒中，这样的过程称为一次操作．记第次操作后，盒中白球的个数为，期望为． （1）求． （2）当时，证明：． （3）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：概率与统计、数列、集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则（ ） A. 为假命题，的否定为“” B. 为假命题，的否定为“” C. 为真命题，的否定为“” D. 为真命题，的否定为“” 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题描述判断真假，再由存在量词的否定是将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】当时，，所以为真命题， 由存在量词命题的否定是全称量词命题，则的否定为“. 故选：C 2. 在等差数列中，，.则公差d＝（ ） A. －10 B. －5 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式求解即可． 【详解】公差． 故选：D 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在区间是. 故选：B 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式及导数的定义求解. 【详解】由题意得，， 则． 故选：B 5. 已知的三个内角分别为，，，且，则“”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和情况直接判断. 【详解】由题意得， 当为锐角三角形时，，解得， 所以“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件， 故选：A. 6. 已知是奇函数，当时，，则的极大值点为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合奇函数性质求函数在上解析式，再利用导数判断函数的单调性，确定函数的极大值点. 【详解】因为为奇函数，所以， 因为当时， 所以当时，， 当时，， 令，可得或（舍去）， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，， 令，可得或（舍去）， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为， 故选：D 7. 有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，. 【详解】因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 所以，所以，故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简，再分，，和且且四种情形化简，结合交集的定义求结论. 【详解】方程的解集为， 所以 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当且且时，，， 故选：ACD 10. 已知函数，，则（ ） A. 曲线在点处的切线斜率为1 B. 曲线上的点到直线的距离的最小值为 C. 当时，曲线与有且只有一条公切线 D. 曲线与可能存在两条公切线 【答案】AC 【解析】 【分析】由导数的几何意义判断A，根据曲线的切线与直线平行，根据平行线间的距离判断B，设公切线与两曲线的切点坐标，分别利用导数及两点求切线斜率建立方程，转化为，根据讨论的解的情况判断CD. 【详解】由题意得，则， 所以曲线在点处的切线斜率为1，A正确. 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，B错误； ，设曲线，曲线的切点分别为，， 则，得.当时，有唯一解， 所以曲线与有且只有一条公切线，当时，无解， 曲线与没有公切线，C正确，D错误． 故选：AC 11. 已知是定义在上的函数，，对任意的，且恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A；计算可得，结合A可判断B；由已知可得在上单调递增，结合可判断C；计算可得，利用，计算可判断D. 【详解】由题意得，则，故A正确． 由，得， 点和点不关于点对称，故B错误． 由题意得在上单调递增，且,故在恒成立， 由， 所以在上单调递增，依次类推， 在上单调递增，故C正确． 由题意得， 得，则的周期为8． 因为， 当，即时，． 综上，当时，，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由，利用基本不等式求解即可． 【详解】，当且仅当时取等号，故函数的最小值为6， 故答案为6． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数能否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 13. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：h），其中为常数．在此条件下，训练8000个单位的数据量与训练125000个单位的数据量所需的时间之和为，则___________．在此条件下，当训练个单位的数据量所需的时间为时，___________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】根据给定的函数模型及已知求得，再由训练个单位的数据量所需的时间为列方程求参数值. 【详解】由题设， 则，可得，所以， 若，可得. 故答案为：6， 14. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得替换化简结合分式不等式解得函数值域. 【详解】由题意得得则， 得，解得或． 故函数的值域为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着我国人工智能的突破性发展，近期许多优秀的人工智能应用软件发布并上线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能应用软件，为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了人，得到如下列联表： 单位：人 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 150 合计 300 （1）求的值； （2）在答题卡中补全列联表，并判断能否有的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用体验是否良好有关. 附：，． 【答案】（1）; （2） 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 合计 有的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用性状是否良好有关. 【解析】 【分析】（1）根据表中已有数据列出方程组，解方程组即可求得； （2）在独立性检验中，先进行零假设，然后将表中数据代入公式计算，最后比较与的大小关系即可得到结论. 【小问1详解】 由已知得青年用户的人数为, 则,解得. 【小问2详解】 列联表如下： 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 合计 零假设为：这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验不存在差异， 由题意可知. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立, 所以有的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用性状是否良好有关． 16. 在正项数列中，， （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）将递推公式化简，然后结合等差数列的定义以及通项公式代入计算，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得，得， 由，得，则是首项为，公差为2的等差数列． 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 17. 已知函数，且． （1）若，求的值； （2）若与在上的单调性相同，求的取值范围； （3）对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将自变量依次代入对应解析式，得到关于的方程，即可求参数； （2）由二次函数、指数函数的性质列不等式求参数范围； （3）由题设，讨论参数求的区间最值、的单调性，分别列不等式求参数范围，即可得. 【小问1详解】 由题设，即，解得（负根舍去）． 【小问2详解】 由题意图象的对称轴为直线且开口向上，易得在上单调递减， 所以，解得，所以的取值范围为； 【小问3详解】 因为对于任意的，总存在，使得， 所以， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， ①当时，单调递增，的值域为， 所以或或， 解得或或，则； ②当时，单调递减，的值域为， 所以，不等式组无解， 综上，的取值范围为． 18. 已知函数． （1）证明：． （2）若只有一个零点，求的取值范围． （3）设是的两个零点，证明：． 【答案】（1） 证明：． 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以， 所以，故． （2） （3） 证明：因为是的两个零点，所以， 则，则， 因为，所以， 所以． 设， 则，当时，，当时，， 所以， 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）利用导数计算函数的最值，进而得证； （2）把零点转化为两函数相等，构造函数，利用导数计算得参数的取值范围； （3）根据题意可得，结合基本不等式变形为．构造函数结合导数计算函数的最值得证结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得． 设，则， 当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为在处取得极小值，且极小值为， 当时，，当时，． 若只有一个零点，则的取值范围是． 【小问3详解】 略 19. 一个盒子中有大小和质地均相同的6个球，其中有3个白球和3个黑球．从中任取1个球，若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1个大小和质地均相同的白球放回盒中，这样的过程称为一次操作．记第次操作后，盒中白球的个数为，期望为． （1）求． （2）当时，证明：． （3）求. 【答案】（1）； （2） 每次操作后盒中球的总个数始终是6． 第次操作后盒中有个白球的情况有两种： ① 第次操作后盒中有个白球，即盒中有个白球、个黑球， 第次取出的是白球，其发生的概率为； ② 第次操作后盒中有个白球，即盒中有个白球、个黑球， 第次取出的是黑球，其发生的概率为， 所以当时，. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）利用全概率公式计算得证. （3）由（1）求出，再利用期望公式求出与递推关系，再利用构造法求出公式. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， ， ， 当时，的可能取值为3，4，5，6， ，由（2）得， ， 当或2时，上述4个等式也成立， 因此 ， 由，得， 因此数列是首项为，公比为的等比数列． 则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $