10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征课时作业-2026届高三数学一轮复习

10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 2.已知离散型随机变量X的分布列P=ak(k=1，2，3，4，5)，则P等于(　　) A. B. C. D. 3.小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则E(X)等于(　　) A.176 B.182 C.184 D.186 4.随机变量ξ的分布列如表： ξ 0 1 2 P 2a-b a a+b 则D(ξ)的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 5 P a 2a+0.2 a+0.2 2a 则下列说法正确的是(　　) A.a=0.1 B.D(X)=1.84 C.E(X)=2 D.E(2X+6)=9 6.一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中不正确的是(　　) A.P(X=1)= B.X+Y=4 C.E(X)>E(Y) D.E(Z)= 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.随机变量Y的分布列如表，且E(Y)=3，则D(3Y-5)=　　　　　　.  Y 0 2 a P m 8.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值为　　　　.  四、解答题(共28分) 9.(13分)(2024·重庆模拟)甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5. (1)求比赛只进行了三局就结束的概率；(5分) (2)已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.(8分) 10.(15分)猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的奖励基金如表： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.5 0.5 获得的奖励基金金额/元 1 000 2 000 3 000 (1)若甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，求至少猜对两首歌曲歌名的概率；(5分) (2)甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.(10分) 【提升练】 11.设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中错误的是(　　) X 1 2 3 4 5 6 P p1 p2 p3 p4 p5 p6 A.P(X≥4)=1-P(X≤3) B.随机变量X的数学期望E(X)可以等于3.5 C.当pn=(n=1，2，3，4，5)时，p6= D.数列{pn}的通项公式可以为pn=(n=1，2，3，4，5，6) 12.(2025·沈阳模拟)某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则ab的最大值为　　　　　　. 答案精析 1.C　[选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12.] 2.A　[由已知离散型随机变量X的分布列 P＝ak(k＝1，2，3，4，5)， 则a+2a+3a+4a+5a＝1， 解得a＝， 由<X<可得X＝或X＝， 故P＝P+P.] 3.B　[依题意可得X的可能取值为200，180，160. P(X＝200)＝0.4， P(X＝180)＝0.3， P(X＝160)＝0.3， 则X的分布列为 X 200 180 160 P 0.4 0.3 0.3 所以E(X)＝200×0.4+(180+160)×0.3＝182.] 4.D　[因为2a－b+a+a+b＝1， 所以a＝， 又因为 解得－<b<， 所以E(ξ)＝a+2a+2b＝+2b， D(ξ)＝+ ×+ ＝－4b2+b+ ＝－4， 因为－<b<， 所以D(ξ)的取值范围是 .] 5.AC　[由分布列的性质知6a+0.4＝1，解得a＝0.1，故A正确； 故E(X)＝0×0.1+1×0.4+2×0.3+5×0.2＝2，D(X)＝0.1×22+0.4×12+0.3×02+0.2×32＝2.6，故B错误，C正确； 由离散型随机变量期望的性质可得，E(2X+6)＝2E(X)+6＝10，故D错误.] 6.AC　[由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以X+Y＝4，故B正确； 又X的可能取值为0，1，2，3，4， 所以P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， P(X＝4)＝， 可知A错误； Y的可能取值为0，1，2，3，4， 且P(Y＝0)＝P(X＝4)＝， P(Y＝1)＝P(X＝3)＝， P(Y＝2)＝P(X＝2)＝， P(Y＝3)＝P(X＝1)＝， P(Y＝4)＝P(X＝0)＝， 则E(X)＝， E(Y)＝， 所以E(X)<E(Y)，故C错误； 因为Z＝2X+Y＝2X+(4－X)＝X+4，所以E(Z)＝E(X+4) ＝E(X)+4＝+4 ＝，故D正确.] 7.45 解析　由题意得+m+＝1， 解得m＝， 所以E(Y)＝0×+2×a＝3，解得a＝6， 所以D(Y)＝(0－3)2×+(2－3)2×+(6－3)2×＝5， 所以D(3Y－5)＝32D(Y)＝9×5＝45. 8.3 解析　由题意可知P(X<300)＝0.3， P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900) ＝1－0.9＝0.1. 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 所以E(Y)＝0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1＝3，所以工期延误天数Y的均值为3. 9.解　(1)比赛只进行三局，则都是甲赢或都是乙赢， 所以概率为0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4＝0.18+0.08＝0.26. (2)设比赛进行的局数为X， 则X所有可能的取值为3，4，5. 当X＝3时，则前三局都是甲赢， P(X＝3)＝0.5×0.6＝0.3， 当X＝4时，则可能的情况是 甲 乙 甲 乙 乙胜 甲 乙 乙 乙 甲胜 甲 甲 乙 甲 甲胜 甲 乙 甲 甲 P(X＝4)＝0.5×0.4×0.5+0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5＝0.35， P(X＝5)＝1－P(X＝3)－ P(X＝4)＝1－0.3－0.35＝0.35， 故E(X)＝3×0.3+4×0.35+5×0.35＝4.05. 10.解　(1)由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌曲的歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，这两种情况不会同时发生. 设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌曲的歌名”为事件E， 由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得P(E)＝P(AB+ABC) ＝0.8×0.5×(1－0.5)+0.8×0.5×0.5＝0.4. (2)甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为X， 则X的所有可能取值为0，1 000， 3 000，6 000， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝1 000)＝0.8×(1－0.5) ＝0.4， P(X＝3 000)＝0.8×0.5×(1－0.5)＝0.2， P(X＝6 000)＝0.8×0.5×0.5 ＝0.2， 所以E(X)＝0×0.2+1 000×0.4+3 000×0.2+6 000×0.2＝2 200. 甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为Y， 则Y的所有可能取值为0，3 000， 5 000，6 000， P(Y＝0)＝1－0.5＝0.5， P(Y＝3 000)＝0.5×(1－0.5) ＝0.25， P(Y＝5 000)＝0.5×0.5×(1－0.8)＝0.05， P(Y＝6 000)＝0.5×0.5×0.8＝0.2， 所以E(Y)＝0×0.5+3 000×0.25+5 000×0.05+6 000×0.2 ＝2 200. 方法一　D(X)＝(0－2 200)2×0.2+(1 000－2 200)2×0.4+ (3 000－2 200)2×0.2+(6 000－2 200)2×0.2＝4 560 000， D(Y)＝(0－2 200)2×0.5+ (3 000－2 200)2×0.25+ (5 000－2 200)2×0.05+ (6 000－2 200)2×0.2＝5 860 000， 由于E(X)＝E(Y)， D(Y)>D(X)，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名. 方法二　甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名. 11.D　[A选项，由已知p1+p2+p3+p4+p5+p6＝1，则P(X≥4)＝p4+p5+p6＝1－(p1+p2+p3)＝1－P(X≤3)，A选项正确； B选项，当p1＝p2＝p3＝p4＝p5＝p6＝时，期望为E(X)＝1×+2×+3×+4×+5×+6×＝3.5，B选项正确； C选项，由pn＝(n＝1，2，3，4，5)，则p6＝1－(p1+p2+…+p5) ＝1－ ＝1－，C选项正确； D选项，由pn＝(n＝1，2，3，4，5，6)，则其前6项和为1－+…+≠1，D选项错误.] 12. 解析　记比赛两局的得分为X，则X所有可能的取值为0，1，2，3，4，6， P(X＝0)＝c2，P(X＝1)＝2bc， P(X＝2)＝b2，P(X＝3)＝2ac， P(X＝4)＝2ab，P(X＝6)＝a2， 又a+b+c＝1， 则E(X)＝2bc+2b2+6ac+8ab+6a2＝2b(1－a－b)+2b2+6a(1－a－b)+8ab+6a2＝6a+2b＝2， 则3a+b＝1≥2， 得ab≤， 当且仅当3a＝b， 即a＝，b＝时，等号成立， 所以ab的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $