10.2二项式定理课时作业-2026届高三数学一轮复习

10.2　二项式定理 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.二项式的展开式中的系数是(　　) A.-80 B.80 C.-10 D.10 2.若实数a=2-，则a12-2a11+22a10-…+212等于(　　) A.-32 B.32 C.-64 D.64 3.(x-2y)(2x-y)5的展开式中的x3y3的系数为(　　) A.-200 B.-120 C.120 D.200 4.(2024·南京模拟)的展开式中x3y3的系数为(　　) A.30 B.-30 C.20 D.-20 5.已知(2x+3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，则a1+a2++++++等于(　　) A.215 B.216 C.217 D.218 6.在的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的项是(　　) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第3项 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知展开式中各项二项式系数之和为128，则(　　　　) A.n=7 B.展开式的各项系数之和是-1 C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D.展开式中无常数项 8.已知f(x)=(2x-m)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7，若a0+++…+=128，则下列说法正确的是(　　　　) A.m=1 B.a3=160 C.f(3)除以6所得余数为5 D.a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7=14 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·榆林模拟)已知二项式的展开式中存在常数项，则正整数n的一个可能的值为　　　　. 10.(x+2)(1-2x)5的展开式中x3的系数为　　　　　　.(用数字作答)  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为-1. (1)求n和a的值；(3分) (2)求展开式中x-4项的系数；(4分) (3)求的展开式中的常数项.(6分) 12.(14分)已知(n∈N*). (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求n的值；(3分) (2)当n=6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值；(5分) (3)当n=6，a=-2时，求二项式的展开式中系数最大的项.(6分) 【提升练】 13.已知(1+x)(n∈N*，n<10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 14.(2024·沈阳模拟)已知a=1.20.1，b=1.10.2，c=1.02，则下列大小关系正确(　　) A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 15.(多选)(2024·株洲模拟)设(n∈N*)的整数部分为an，小数部分为bn，则下列说法中正确的是(　　) A.数列{an＋bn}是等比数列 B.数列{an}是递增数列 C.bn(an＋bn)＝1 D.(1－bn)(an＋bn)＝1 16.a1，a2，…，a10是一个1，2，3，…，10的排列，要求ai－1和ai＋1一定有一个大于ai(i＝2，3，…，9)，则满足的排列的总数为　　　　.  答案精析 1.A　2.D　3.A 4.D　[从5个含有x2，-x，y的括号中，其中1个括号中取x2，1个括号中取-x，3个括号中取y，乘在一起构成x3y3这一项，这一项为·x2··(-x)··y3=-20x3y3，所以x3y3的系数为-20.] 5.D　[对(2x+3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8两边求导， 得16(2x+3)7=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6+8a8x7. 令x=得a1+a2++++++=16×47=218.] 6.A　[由可得x>0， 当0<x<1时，x< 则= 其展开式的通项为Tr+1=(-x)r=(-1)r 令=3，(-1)r=15， 解得n=6，r=4； 当x≥1时，x≥ 则= 其展开式的通项为Tk+1 =xn-k=(-1)k 令n-=3，(-1)k=15， 解得n=6，k=2. 综上所述，n=6，所以展开式共有7项，展开式中二项式系数最大的项是第4项.] 7.ACD　[由题意可知2n=128，则n=7，故A正确； 令x=1，则=1，故B错误； 因为n=7，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，即第4，5项二项式系数最大，分别为故C正确； 展开式的通项为Tk+1=·(2x)7-k·=·27-k·(-1)k·x7-3k(k∈Z，0≤k≤7)，显然7-3k=0无整数解，故D正确.] 8.ACD　[令x=得f=(3-m)7=a0+++…+=128，所以m=1，所以A正确； 令x-1=t，所以(2t+1)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7，所以a3=23=280，所以B错误； 由A知f(x)=(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7，所以f(3)=(6-1)7=·67-·66+·65-…+·6-所以f(3)除以6的余数为5，所以C正确； 由(2t+1)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7， 两边求导可得7(2t+1)6·2=a1+2a2t+…+7a7t6， 令t=-1，得a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7=14，所以D正确.] 9.4(答案不唯一) 解析　二项式的展开式的通项为Tk+1==x3n-4k，要使展开式中存在常数项，只需3n-4k=0，0≤k≤n，k∈Z，n∈N*有解即可，则n可取4. 10.-120 解析　(1-2x)5的展开式的通项为Tk+1=·15-k(-2x)k，k=0，1，2，3，4，5， 当k=2时，T3=40x2，当k=3时，T4=·(-2x)3=-80x3， (x+2)(1-2x)5=x(1-2x)5+2(1-2x)5， 故(x+2)(1-2x)5的展开式中x3的系数为40-2×80=-120. 11.解　(1)由已知条件可得 解得 (2)由(1)知 =. ∵的展开式的通项为 Tk+1= =(-2)7-kx14-3k，k=0，1，2，…，7， ∴当14-3k=-4，即k=6时，x-4项的系数为×(-2)=-14. (3) =(2x-x-2) =2x-x-2 ∴①当14-3k=-1，即k=5时， 2x·(-2)2x-1=168； ②当14-3k=2，即k=4时，-x-2·(-2)3x2=280. ∴所求的常数项为168+280=448. 12.解　(1)展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故n=8. (2)当n=6时，二项式为 展开式的通项 Tk+1=x6-k =(-a)k(k=0，1，…，6)， 令6-=3，得k=2， 所以A=a2=15a2， 令6-=0，得k=4， 所以B=a4=15a4， 又B=4A，解得a=0(舍去)或a=2或a=-2， 所以a=2或a=-2. (3)当n=6，a=-2时，二项式为 展开式的通项Tk+1=x6-k=2k(k=0，1，…，6)， 设第k+1项系数最大， 则 即故k=4， 所以二项式的展开式中系数最大的项为T4+1=24=240. 13.B　[因为(1+x) =x+(n∈N*，n<10)的展开式中没有常数项的展开式的通项为Tk+1=xn-k=xn-3k(k∈N，k≤n)， ①当的展开式中无x-1时，n-3k≠-1； ②当的展开式中无常数项时，n-3k≠0， 结合选项，只有B项同时满足上面两个条件.] 14.B　[因为b=1.10.2=(1.12)0.1=1.210.1， 又y=x0.1在(0，+∞)上单调递增， 所以1.20.1<1.210.1，即b>a； 又=1.21， 1.0210=(1+0.02)10=1+×0.02+×0.022+…+×0.0210 =1+0.2+0.018+…+×0.0210>1.218， 所以1.0210> 则1.02>1.210.1，即c>b. 所以c>b>a.] 15.ABC　[由·21＋…＋22n＋1， ·21＋…－22n＋1， 则＝2[·21＋·23＋…＋22n＋1] ＝2(5n·21＋5n－1·23＋…＋22n＋1)， 由5n·21＋5n－1·23＋…＋22n＋1为整数，且0<<1，故的整数部分即为， 小数部分即为，即an＝，bn＝. 又an＋bn＝，所以数列{an＋bn}是以为首项，为公比的等比数列， 由＋2>1，0<－2<1，得数列{an}是递增数列，故A，B正确； bn(an＋bn)＝·(＋2)2n＋1＝＝1，故C正确； (1－bn)(an＋bn)＝[1－－1≠1，故D错误.] 16.512 解析　若ai<ai＋1，考虑ai＋1(i≤8)，必有ai＋1<ai＋2，可知从第i项开始，数列开始递增；再考虑ai前面的项，若ai－1>ai⇒ai－2>ai－1，说明此情况下数列在第1项到第i项递减.若ai－1<ai，则将原来的i改为i－1同理考虑即可.由以上分析可知，该数列只有三种情况：单调递减，单调递增或先减后增，故排列总数为＋…＋＝(1＋1)9＝29＝512. 学科网（北京）股份有限公司 $