6.8 余角和补角-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 6.8余角和补角 山基础进阶 闺素能攀升 1.下列叙述中，正确的是 6.已知∠a与∠3的度数分别是(2m一19)°和 A.180°是补角 (77-m)°，且∠a与∠3都是∠y的补角，则 B.120°和60°互为补角 ∠a与∠B的关系是 () C.30°和60°是余角 A.不互余且不相等 D.90°是余角 B.不互余但相等 2.(2024·温州期末)将一副三角尺按如图所示 C.互为余角但不相等 的方式摆放，已知∠α的度数为55°，则∠3的 D.互为余角且相等 度数为 ( 7.(2024·杭州西湖期末)已知∠1与 A.35° B.45° C.55° D.60° ∠2互为余角，∠1与∠3互为补角， 北A 有下列三个结论：①∠3=90°十 B、 西 一东 ∠2；②∠3=2∠1+∠2；③∠3-∠1>∠2. 0 南 其中，正确的是 () (第2题) (第4题) 3.(2024·金华东阳期末)已知一个角的补角是这 A.①③ B.① 个角的3倍，则这个角的余角的度数是( ) C.③ D.①②③ A.22.5°B.45° C.60° D.75 8.如图，甲从点A出发向北偏东62°方向走到 4.如图，OA是北偏东30°方向上的一条射线， 点B,乙从点A出发向南偏西18°方向走到 若射线OB与OA所夹的角为直角，则OB 点C,则∠BAC的度数为 必 所表示的方向是 5.如图，∠AOB=120°，OF平分∠AOB, 2∠1=∠2. 0 (1)∠1与∠2互余吗？请说明理由， (第8题) (第9题) (2)∠2与∠AOB互补吗？请说明理由. 9.如图，O为直线AB上一点，ON平分 B ∠BOC,OM平分∠AOC,则图中互余的角 共有 对. 0 10.如图，∠EOC是平角，∠BOC=50°，OD平 (第5题) 分∠BOC.若在平面内画一条射线OA,使 ∠AOC和∠COD互余，则∠AOB的度数为 (第10题) 114 第6章图形的初步知识 1.已知一个角的余角比它的补角的号小50， 份思维拓展 13.已知O是直线AB上一点， 求这个角的度数 ∠BOC<180°，OD在∠BOC的内 部，OE平分∠BOC. (1)如图①，当∠AOC=40°，∠COD=60° 时，∠DOE的度数是 (2)如图②，OF平分∠BOD. ①试说明：∠COD=2∠EOF. ②若∠COF与∠DOE互为补角，求∠COD 的度数 B A (第13题) 12.如图，∠AOB,∠COD均为平角，OF平分 ∠AOE,∠COF=90°. (1)写出图中所有与∠AOD互补的角. (2)若∠AOE=120°，求∠BOD的度数 D (第12题) 115所以∠COD=∠COE 所以OC是∠DOE的平分线. (2)小明的猜想正确 理由：设∠AOC=a,则∠AOB=3a. 因为OE平分∠AOB, 1 3 所以∠AOE=2∠AOB=2a 所以∠COE=∠AOE-∠AOC= 20 因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠c0D∠A0C=0 所以∠COD=∠COE. 所以OC平分∠DOE 所以当∠AOB=3∠AOC时，OC一 定平分∠DOE,即小明的猜想正确. 6.8 余角和补角 1.B2.C 3.B解析：设这个角的度数为x,则 它的补角的度数为180°一x.根据题 意，得180°-x=3.x,解得x=45°，所 以这个角的度数是45°，它的余角的度 数是90°-45°=45°. 4.北偏西60 5.(1)∠1与∠2互余 理由：因为∠AOB=120°，OF平分 ∠AOB, 所以∠2=2∠A0B=60 因为2∠1=∠2， 所以∠1=30°. 所以∠1+∠2=90°，即∠1与∠2 互余 (2)∠2与∠AOB互补. 理由：因为∠2+∠AOB=60°+ 120°=180°， 所以∠2与∠AOB互补， 6.D解析：由∠α与∠B都是∠y的 补角，得∠a=∠3，即2m一19=77 m,解得m=32.所以∠a=∠3 (2m-19)°=45°.所以∠a+∠3 90°.所以∠α与∠3互为余角且相等. 7.A解析：因为∠1与∠2互为余 角，∠1与∠3互为补角，所以∠1十 ∠2=90°，∠1+∠3=180°.所以 ∠1=90°-∠2，∠3=180°-∠1.所 以∠3=180°-(90°-∠2)=∠2+十 90°.故①正确.因为∠3=180° ∠1=2（∠1+∠2）-∠1=2∠1+ 2∠2-∠1=∠1+2∠2，所以∠3> ∠1+∠2，即∠3-∠1>∠2.故②错 误，③正确， 8.136°解析：如图，由题意可知， ∠MAB=62,∠NAC=18, ∠PAM=∠PAN=90°，所以 ∠BAC=∠BAP+∠PAN+ ∠NAC=(90°-62)+90°+18°= 136. 北 M B AP东 C (第8题) 9.4解析：因为ON平分∠BOC, OM平分∠AOC,所以∠AOM= ∠COM= ∠A0C,∠B0N= ∠CON=号∠B0C.所以∠COM+ ∠CON=号（∠A0C+∠B0C)= 2×180=90,同理，可得∠00M+ ∠BON=90°，∠AOM+∠CON= 90°，∠AOM+∠BON=90°.所以互 余的角有∠COM与∠CON,∠COM 与∠BON,∠AOM与∠CON,∠AOM 与∠BON,共4对. 10.15或115°解析：因为OD平分 ∠BOC,∠BOC=50°，所以∠COD= 2∠B00=3×50=25因为 ∠AOC和∠COD互余，所以 ∠AOC=90°-25°=65°.所以当射线 OA,OD在射线OC的两侧时， ∠AOB=∠AOC+∠BOC=65°+ 50°=115°；当射线OA,OD在射线 OC的同侧时，∠AOB=∠AOC ∠BOC=65°-50°=15°.综上所述， 41 ∠AOB的度数为15°或115° 11.设这个角的度数为x,则它的余 角的度数为90°一x,它的补角的度数 为180°-x. 由题意，得90-2=号（180-x) 50°，解得x=60°. 所以这个角的度数为60， 12.(1)因为∠AOB,∠COD均为 平角， 所以∠AOC,∠BOD均与∠AOD 互补 因为OF平分∠AOE, 所以∠AOF=∠EOF. 因为∠COF=90, 所以∠DOF=180°-∠COF=90. 所以∠AOF+∠AOC=∠EOF+ ∠DOE=90. 所以∠DOE=∠AOC. 所以∠DOE与∠AOD互补 所以与∠AOD互补的角有∠AOC, ∠BOD,∠DOE. (2)因为∠AOE=120°， 所以∠BOE=180°-∠AOE=60°. 又因为∠DOE与∠BOD都是 ∠AOD的补角， 所以∠BOD=∠OE=2∠BOE=3. 13.(1)10°.解析：因为O是直线 AB上一点，所以∠AOC+∠BOC= 180°.因为∠AOC=40°，所以∠BOC= 180°-∠AOC=140°.因为OE平分 1 ∠B0C,所以∠COE=2∠BOC= 70°.因为∠COD=60°，所以∠DOE= ∠COE-∠COD=10. (2)①因为OE平分∠BOC, 所以∠COE=∠BOE. 因为OF平分∠BOD, 所以∠DOF=∠BOF. 因为∠COD=∠COE+∠DOE, 所以∠COD=∠BOE+∠DOE= ∠DOE+∠DOF+∠BOF+∠DOE= ∠DOE+∠DOF+∠DOF+∠DOE= 2∠DOE+2∠DOF=2(∠DOE+ ∠DOF)=2∠EOF ②因为∠COF与∠DOE互为补角， 所以∠COF+∠DOE=180°. 所以∠COD+∠DOF+∠DOE 180°，则∠COD+∠EOF=180°. 所以2∠EOF+∠EOF=180°，则 3∠EOF=180. 所以∠EOF=60°. 所以∠COD=2∠EOF=120. 专题特训十三角的 常用模型 1.C解析：因为OM平分∠AOC, ∠AOM=20°，所以∠AOC=2× 20°=40°.所以∠C0B=180°-40°= 140°.因为∠BON:∠CON=1:4, 所以∠B0N=140X号=28 2.因为∠AOC=40°，∠B0C=2∠AOC, 所以∠BOC=80° 所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=120°， 因为OD平分∠AOB, 所以∠A0D=∠AOB=60 所以∠COD=∠AOD-∠AOC=20. 3.(1)题图①中，∠B0C=∠AOC ∠AOB=70°-50°=20 因为OD是∠BOC的平分线， 1 所以∠COD=2∠B0C=10. 所以∠AOD=∠AOC-∠COD=60°. 题图②中，∠BOC=∠AOC+ ∠AOB=70°+50°=120°. 因为OD是∠BOC的平分线， 所以∠BOD=2∠B0C=60 所以∠AOD=∠BOD-∠AOB=10°. (2)当OB在∠AOC的内部时， ∠A0D-(): 当OB在∠AOC的外部时，∠AOD 2） 4.(1)150°.解析：因为∠AOB= 90°，∠AOC=60°，所以∠BOC ∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°. (2)45.解析：因为OD平分 ∠BOC,OE平分∠AOC,所以 1 ∠COD=2∠B0C=75,∠COE= ∠A0C=30.所以∠D0E= 1 ∠COD-∠COE=45. (3)能. 因为∠AOB=90°，∠AOC=2a, 所以∠BOC=90°+2a. 因为OD平分∠BOC,OE平分 ∠AOC, 1 所以∠COD=2∠B0C=45°+a, 1 ∠C0E=2∠A0C=a. 所以∠DOE=∠COD-∠COE=45°. 5.50°或10°解析：分两种情况讨 论：如图①，当∠AOM=3∠AOB 时，∠BOM= 2 ∠AOB.因为 ∠A0B=120,所以∠B0M=号× 120°=80°.因为∠BO℃=30°，所以 ∠MOC=∠BOM-∠BOC=50°.如 图②，当∠OM=子∠A0B时，因为 ∠AOB=120°，所以∠BOM= 日∠A0B=日×12m=40,因为 ∠BOC=30°，所以∠MOC= ∠BOM-∠BOC=10°.综上所述， ∠MOC的度数为50或10°. ① 0 -B ② (第5题) 6.(1)因为OB是∠AOC的平分线， 所以∠BOC=∠AOB=50°. 因为OD是∠COE的平分线， 42 所以∠COD=∠DOE=30°. 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=80°， (2)因为OB平分∠AOC,OD平 分∠COE, 所以∠AOB=∠BOC,∠DOE= ∠COD. 设∠DOE=∠COD=x. 因为∠BOE=100°， 所以∠AOB=∠BOC=(100-2x)°. 因为∠COD+∠BOC+∠AOB= ∠AOD=110°， 所以x+100-2x+100-2.x=110, 解得x=30,即∠DOE=∠COD=30°. 所以∠AOE=∠AOD+∠DOE= 110°+30°=140. (3)设∠EOD=∠DOC=x°， ∠AOB=∠BOC=y°. 依题意可知，x°十y°十y°=n°，x°十 x°+y°=(150-n)°，则3x°+ 3y°=150°， 所以x°+y°=50°. 所以∠BOD=50. 7.(1)因为∠AOC+∠BOD=100°， 所以∠AOC+∠COD+∠BOC= 100°，即∠AOD+∠BOC=100①. 因为∠AOB+∠COD=40°， 所以∠AOD-∠BOC=40②. ①+②，得2∠AOD=140°， 所以∠AOD=70. 所以∠B0C=∠AOD-40°=30°. (2)因为射线OM,ON分别为 ∠AOB,∠COD的平分线， 1 所以∠CON=2∠COD,∠BOM= 2∠AOB. 所以∠MON=∠CON+∠BOM+ ∠0C=2(∠cOD+∠A0B)+ ∠0c-7×4+30=50 (3)∠POQ的大小不变. 因为OP平分∠EOD,OQ平分∠AOF, 所以∠POD=7∠BOD,∠A00