6.7 角的和差-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 6.7角的和差 山基础进阶 闺素能攀升 1.如图，下列式子错误的是 5.如图所示为一副特制的三角尺，用它们可以 A.∠AOD=∠AOC+∠COD D 画出一些特殊角.下列选项中，不能用这副三 B.∠AOD=∠AOB+∠BOD 角尺画出的角度是 () C.∠BOC=∠BOD-∠COD A.18 B.108° C.82° D.117 D.∠BOC=∠AOC-∠COD (第1题) Q369 72y 2.如图，OC是∠AOB内的一条射线，则下列条 0 件中，不能判定OC是∠AOB的平分线的是 45入 () (第5题) (第6题) 6.如图，点A,O,B在同一条直线上，OC平分 A.∠AOC=∠BOC ∠DOB.若∠AOE=30°30'，∠D0℃=64°15'， B.∠AOB=2∠AOC 则∠DOE的度数是 C.∠AOC+∠COB=∠AOB A.72°B.80° C.78°D.82 D.∠B0C-2∠A0B (第2题) 7.如图，O为直线AB上一点，将三角 3.如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOD, 尺MON的直角顶点放在点O处， 且∠BOD=30°，则∠BOC= 若OC是∠MOB的平分线，则下列 结论中，正确的是 D M 0 B (第3题) 0 4.如图，∠AOB=165°，OD平分∠AOC. (第7题) (1)若∠AOD=50°，求∠BOC的度数， A.∠AOM=3∠CON (2)若∠BOD=110°，则OC是∠BOD的平 B.∠AOM=2∠CON 分线吗？请说明理由， C.2∠AOM=3∠CON D.3∠AOM=5∠CON 8.(2023·金华婺城期末)如图，将一副三角尺 B 0 的顶点重合放置，将三角尺AOB绕点O按 (第4题) 顺时针方向旋转.当∠B0C=号∠COD时， ∠AOD的度数为 0 (第8题) 112 第6章图形的初步知识 9.如图，O为直线AB上一点，射线OD,OC,OE 思维拓展 位于直线AB的上方，OD在OE的左侧， 11.如图，OC是∠AOB内部的一条射 ∠A0C=120°，∠DOE=50°，射线OD,OE分 线，且∠AOC<∠BOC,OE是 别在∠AOC,∠BOC的内部.设∠BOE=n. ∠AOB的平分线，OD是∠AO℃ (1)若n=43°，求∠COD的度数 的平分线 (2)当∠AOD=3∠COE时，求∠COD的 (1)若∠AOB=108°，∠AOC=36°，则OC 度数. 是∠DOE的平分线吗？ (2)小明由(1)得出猜想：当∠AOB= 3∠AOC时，OC一定平分∠DOE.小明的 B (第9题) 猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正 确，请求出当∠AOB和∠AOC满足什么条 件时，OC一定平分∠DOE,并说明理由. B (第11题) 10.(2023·台州天台期末)如图，在∠AOB的 内部引两条射线OC,OD,满足∠BOD= 2∠AOC. (1)若∠AOC=20°，∠COD=60°，求∠BOC 的度数 (2)若∠AOB=110°，∠BOC-∠AOD= 18°，求∠COD的度数. (第10题) 113所以日（∠a十∠B)一定大于30且小 于60°.所以46正确： 9.①解析：因为∠AOB=45°， ∠COD=50°，所以∠AOB<∠COD. 所以将这两个角的顶点重合，边OB 与OD重合，边OA和OC置于重合 边的同侧，此时边OA在∠COD的内 部.故①正确，②③错误。 10.题图①：30°×5=150°： 题图②：0°； 题图®：30×(6+需) =167.5: 题图④：30°×4=120°. 0°<120°<150°<167.5° 11.(1)∠A=30°，∠B=90°， ∠BCD=150°，∠D=45 (2)∠A<∠D∠B<∠BCD (3)锐角：∠A,∠D: 直角：∠B: 钝角：∠BCD, 12.C解析：如图，取线段DE上一 点P,连结BC,AC,BD,AD,BP, AP,AE,BE,通过测量可知，∠ACB< ∠ADB=∠AEB<∠APB,所以最 好的射点在线段DE上（异于端点）. C -M-- 三为 A田B (第12题) 13.(1)当∠DBA是钝角时， ∠DBA>∠DBC. (2)当∠DBA是直角时， ∠DBA=∠DBC. (3)当∠DBA是锐角时， ∠DBA<∠DBC 6.7角的和差 1.D2.C3.105 4.(1)因为OD平分∠AOC, ∠AOD=50°， 所以∠COD=∠AOD=50 所以∠BOC=∠AOB-∠AOD ∠C0D=165°-50°-50°=65 (2)OC是∠BOD的平分线. 理由：因为∠AOB=165°，∠BOD=110°， 所以∠AOD=∠AOB-∠BOD= 165°-110°=55° 因为OD平分∠AOC, 所以∠COD=∠AOD=55. 所以∠BOC=∠BOD-∠COD= 110°-55°=55 所以∠BOC=∠COD. 所以OC是∠BOD的平分线 5.C解析：90°，45°，36°，72°为已知 角，这些角经过和差计算，可以得出 18°，108°，117°的角，无法得出82 的角 6.D解析：因为OC平分∠DOB, ∠DOC=64°15'，所以∠BOD= 2∠D0C=12830.因为点A,O,B在 同一条直线上，所以∠AOD=180°- ∠BOD=180°-128°30=51°30'.所 以∠DOE=∠AOD+∠AOE= 5130′+3030=82. 7.B解析：因为∠MON=90°，所以 ∠AOM=90°-∠BON.所以 2∠BON=180°-2∠AOM.因为OC 是∠MOB的平分线，所以∠MOC ∠OC=2∠MOB.所以∠AOM= 180°-2∠BOC=180°-2∠BON 2∠CON.所以∠AOM=180°一 (180°-2∠AOM)-2∠CON.所以 ∠AOM=2∠CON. 8.130或170°解析：因为∠COD= 60°，所以∠BOC= ∠0D=× 1 60°=20°.分两种情况讨论：①当OB 在∠COD的内部时.因为∠AOB= 90°，∠COD=60°，所以∠AOD= ∠AOB+∠COD-∠BOC=90°+ 60°-20°=130°.②当OB在∠COD 的外部时，如图.因为∠AOB=90°， ∠COD=60°，所以∠AOD= ∠AOB+∠COD+∠BOC=90°+ 60°+20°=170°.综上所述，∠AOD的 40 度数为130°或170°. (第8题) 9.(1)因为∠AOC=120°， 所以∠BO0℃=180°-∠AOC=60°. 由n=43°，可得∠COE=∠BOC- ∠BOE=17° 所以∠COD=∠DOE-∠COE=33° (2)因为∠AOD=3∠COE,∠AOD+ ∠DOE-∠COE=∠AO℃=120°， ∠DOE=50°， 所以3∠COE+50°-∠COE=120°， 解得∠COE=35. 所以∠COD=∠DOE一∠COE= 50°-35°=15 10.(1)因为∠AOC=20°， 所以∠BOD=2∠AOC=40°. 因为∠COD=60°， 所以∠BOC=∠BOD+∠COD= 40°+60°=100. (2)因为∠BOC-∠AOD=18°， 所以∠BOC=∠AOD+18. 所以∠BOC-∠COD=∠AOD ∠COD+18° 所以∠BOD=∠AOC+18. 因为∠BOD=2∠AOC, 所以2∠AOC=∠AOC+18, 所以∠AOC=18°」 所以∠BOD=36」 又因为∠AOB=110°， 所以∠COD=∠AOB-∠AOC ∠B0D=110°-18°-36°=56. 11.(1)因为OE是∠AOB的平分 线，∠AOB=108°， 所以∠AOE=∠AOB=5N 又因为∠AOC=36°， 所以∠COE=∠AOE-∠AOC=18. 因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠00D=2∠A0C=18 所以∠COD=∠COE 所以OC是∠DOE的平分线. (2)小明的猜想正确 理由：设∠AOC=a,则∠AOB=3a. 因为OE平分∠AOB, 1 3 所以∠AOE=2∠AOB=2a 所以∠COE=∠AOE-∠AOC= 20 因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠c0D∠A0C=0 所以∠COD=∠COE. 所以OC平分∠DOE 所以当∠AOB=3∠AOC时，OC一 定平分∠DOE,即小明的猜想正确. 6.8 余角和补角 1.B2.C 3.B解析：设这个角的度数为x,则 它的补角的度数为180°一x.根据题 意，得180°-x=3.x,解得x=45°，所 以这个角的度数是45°，它的余角的度 数是90°-45°=45°. 4.北偏西60 5.(1)∠1与∠2互余 理由：因为∠AOB=120°，OF平分 ∠AOB, 所以∠2=2∠A0B=60 因为2∠1=∠2， 所以∠1=30°. 所以∠1+∠2=90°，即∠1与∠2 互余 (2)∠2与∠AOB互补. 理由：因为∠2+∠AOB=60°+ 120°=180°， 所以∠2与∠AOB互补， 6.D解析：由∠α与∠B都是∠y的 补角，得∠a=∠3，即2m一19=77 m,解得m=32.所以∠a=∠3 (2m-19)°=45°.所以∠a+∠3 90°.所以∠α与∠3互为余角且相等. 7.A解析：因为∠1与∠2互为余 角，∠1与∠3互为补角，所以∠1十 ∠2=90°，∠1+∠3=180°.所以 ∠1=90°-∠2，∠3=180°-∠1.所 以∠3=180°-(90°-∠2)=∠2+十 90°.故①正确.因为∠3=180° ∠1=2（∠1+∠2）-∠1=2∠1+ 2∠2-∠1=∠1+2∠2，所以∠3> ∠1+∠2，即∠3-∠1>∠2.故②错 误，③正确， 8.136°解析：如图，由题意可知， ∠MAB=62,∠NAC=18, ∠PAM=∠PAN=90°，所以 ∠BAC=∠BAP+∠PAN+ ∠NAC=(90°-62)+90°+18°= 136. 北 M B AP东 C (第8题) 9.4解析：因为ON平分∠BOC, OM平分∠AOC,所以∠AOM= ∠COM= ∠A0C,∠B0N= ∠CON=号∠B0C.所以∠COM+ ∠CON=号（∠A0C+∠B0C)= 2×180=90,同理，可得∠00M+ ∠BON=90°，∠AOM+∠CON= 90°，∠AOM+∠BON=90°.所以互 余的角有∠COM与∠CON,∠COM 与∠BON,∠AOM与∠CON,∠AOM 与∠BON,共4对. 10.15或115°解析：因为OD平分 ∠BOC,∠BOC=50°，所以∠COD= 2∠B00=3×50=25因为 ∠AOC和∠COD互余，所以 ∠AOC=90°-25°=65°.所以当射线 OA,OD在射线OC的两侧时， ∠AOB=∠AOC+∠BOC=65°+ 50°=115°；当射线OA,OD在射线 OC的同侧时，∠AOB=∠AOC ∠BOC=65°-50°=15°.综上所述， 41 ∠AOB的度数为15°或115° 11.设这个角的度数为x,则它的余 角的度数为90°一x,它的补角的度数 为180°-x. 由题意，得90-2=号（180-x) 50°，解得x=60°. 所以这个角的度数为60， 12.(1)因为∠AOB,∠COD均为 平角， 所以∠AOC,∠BOD均与∠AOD 互补 因为OF平分∠AOE, 所以∠AOF=∠EOF. 因为∠COF=90, 所以∠DOF=180°-∠COF=90. 所以∠AOF+∠AOC=∠EOF+ ∠DOE=90. 所以∠DOE=∠AOC. 所以∠DOE与∠AOD互补 所以与∠AOD互补的角有∠AOC, ∠BOD,∠DOE. (2)因为∠AOE=120°， 所以∠BOE=180°-∠AOE=60°. 又因为∠DOE与∠BOD都是 ∠AOD的补角， 所以∠BOD=∠OE=2∠BOE=3. 13.(1)10°.解析：因为O是直线 AB上一点，所以∠AOC+∠BOC= 180°.因为∠AOC=40°，所以∠BOC= 180°-∠AOC=140°.因为OE平分 1 ∠B0C,所以∠COE=2∠BOC= 70°.因为∠COD=60°，所以∠DOE= ∠COE-∠COD=10. (2)①因为OE平分∠BOC, 所以∠COE=∠BOE. 因为OF平分∠BOD, 所以∠DOF=∠BOF. 因为∠COD=∠COE+∠DOE, 所以∠COD=∠BOE+∠DOE= ∠DOE+∠DOF+∠BOF+∠DOE= ∠DOE+∠DOF+∠DOF+∠DOE= 2∠DOE+2∠DOF=2(∠DOE+