6.6&6.7角的大小比较&角的和差（7大题型题分练）（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第6章 图形的初步知识》 6.6&6.7 角的大小比较&角的和差 知识点一 用量角器作一个角等于已知角 条件 已知∠α ，用量角器作一个角，使它等于∠α . 图形 作法 （1）用量角器量得∠α =70^∘ 。 （2）作射线OA . （3）用量角器作射线OB，使∠AOB=70°. ∠AOB=70°=∠α ，∠AOB 就是所求作的角. 知识点二 角的大小比较 ◆1、角的比较有两种方法： 方法一：度量法，用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小. 方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较. ①若边OB在内部，则∠AOB ＜ ∠A'O'B'. ②若边OB与重合，则∠AOB ＝∠A'O'B'. ③若边OB在外部，则∠AOB ＞ ∠A'O'B'. 知识点三 角的分类 角的名称 定义 各种角之间的大小关系 直角 等于90°的角 （1）锐角＜ 直角（直角可以用Rt∠ 表示，画图时常在直角的顶点处加上符号“┐ ”来表示这个角是直角）< 钝角< 平角< 周角. （2）1周角=2平角=4 直角=36°; 1平角=2直角=180^∘ ； 1直角=90 . 锐角 小于9° 的角 钝角 大于直角而小于平角的角 知识点四 角的和差 概念 表式 图示 两个角的和 如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和. ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和 ，记作:∠AOC = ∠AOB +∠BOC； 两个角的差 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差. ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差， 记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； ∠BOC是∠AOC与∠AOB的差， 记作∠BOC =∠AOC－∠AOB . 知识点五 用量角器作两个角的和差 条件 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2 的和 图形 做法 用量角器量得∠1=60°，∠2=45°， 计算：∠1+∠2=60°+45°=105°， 用量角器作∠AOB=105°. ∠AOB=∠1+∠2，∠AOB 就是所求作的角. 知识点六 角平分线 ◆1、角的平分线： 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 如图，射线 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC. 【注意】角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线. ◆2、角的三等分线： 如图,射线OC,OD在∠AOB的内部,如果∠AOD=∠DOC=∠COB ,那么射线OC,OD是∠AOB 的三等分线.类似地,从一个角的顶点出发，把这个角分成n个相等的角的射线，叫作这个角的n 等分线，如四等分线、五等分线等. 题型一 角的大小比较 解题技巧提炼 角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． 1．（2023春•岱岳区期末）在∠AOB内取一点C，作射线OC，则一定成立（　　） A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC 【分析】由角的大小比较方法，即可判断． 【解答】解：A、只有OC平分∠AOB时，∠AOC＝∠BOC，故A不符合题意； B、∠AOC不一定大于∠BOC，故B不符合题意； C、∠BOC不一定大于∠AOC，故C不符合题意； D、∠AOB＞∠AOC，正确，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查角的大小比较，关键是掌握角的大小比较方法． 2．（2024秋•滦州市期中）已知OB是∠AOC内部一条射线，按如图所示的方式作图，得到射线OD，则（　　） A．∠AOC＞∠DOB B．∠AOC＜∠DOB C．∠AOC＝∠DOB D．∠AOC与∠DOB无法比较大小 【分析】根据角的和差关系即可解答． 【解答】解：当∠AOB＝∠COD时，∠AOC＝∠BOD， 所以∠AOC与∠DOB无法比较大小； 故选：D． 【点评】此题主要考查了角的大小比较，关键是掌握等式的性质． 3．（2023秋•呼和浩特期末）如图所示，正方形网格中有∠α和∠β，如果每个小正方形的边长都为1，估测∠α与∠β的大小关系为（　　） A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．无法估测 【分析】将∠α平移，让∠α与∠β两个角的顶点重合，即可解答． 【解答】解：将∠α平移，使∠α与∠β两个角的顶点重合， 可得：∠α在∠β的内部， 所以∠α＜∠β， 故选：A． 【点评】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键． 4．（2023秋•红桥区期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的 是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 【分析】由图知/A∠45°，∠B＞45°，故可比较大小． 【解答】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形， ∴∠A＜45°，＜B＞45°， ∴∠A＜∠B， 故选：B． 【点评】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 5．（2023秋•长安区校级期末）用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置即可判断． 【解答】解：根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D． 故选：D． 【点评】本题考查了角的大小比较，解决本题的关键是掌握用“叠合法”比较∠1与∠2的大小． 6．（2024春•海阳市期末）若∠A＝60°27′25″，∠B＝60.45°，则（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定 【分析】根据度、分、秒进行转化计算即可解决问题． 【解答】解：∵∠B＝60.45°＝60°27′，∠A＝60°27′25″， ∴60°27′25″＞60°27′， 即∠A＞∠B． 故选：A． 【点评】本题主要考查了角的大小比较及度分秒的换算，熟知1度等于60分，1分等于60秒是解题的关键． 7．（2024春•莘县期末）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下面说法正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等 【分析】据观察题中的角表示方法，只要把∠1转化为度的形式，即可比较三个角的大小． 【解答】解：∵∠1＝25°＝25.2°， ∴∠1＝∠3． 故选：C． 【点评】本题主要考查比较的大小，把∠1转化为度的形式是解本题的关键． 8．（2023秋•八步区期末）若∠A＝25°18′，∠B＝25°19′1″，∠C＝25.31°，则（　　） A．∠B＞∠C＞∠A B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠B＞∠C D．∠B＞∠A＞∠C 【分析】把25.31°化为25°18′36″，再比较大小即可． 【解答】解：因为∠C＝25.31°＝25°18′36″，25°19′1″＞25°18′36″＞25°18′， 所以∠B＞∠C＞∠A． 故选：A． 【点评】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握角的单位换算是解答本题的关键． 9．（2023春•莱西市期中）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB 　 　∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】连接OE，根据题意可得：∠COE＝∠AOB，然后进行比较即可解答． 【解答】解：如图：连接OE， 由题意得：∠COE＝∠AOB， ∵∠COE＞∠COD， ∴∠AOB＞∠COD， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了角的大小比较，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．（2024春•冠县期中）对于如图所示的各个角，用“＞”、“＜”或“＝”填空： （1）∠AOB 　 　∠AOC； （2）∠DOB 　 　∠BOC； （3）∠BOC 　 　∠AOD； （4）∠AOD 　 　∠BOD． 【分析】根据各角之间的大小关系判断即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC， ∴∠AOB＜∠AOC． 故答案为：＜． （2）∵∠DOB＝∠DOC+∠BOC， ∴∠DOB＞∠BOC． 故答案为：＞． （3）∵∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD， ∴∠BOC＜∠AOD． 故答案为：＜． （4）∵∠AOD＝∠BOD+∠AOB， ∴∠AOD＞∠BOD． 故答案为：＞． 【点评】本题考查角的大小比较，利用角之间的数量关系比较它们的大小是本题的关键． 题型二 角的分类 解题技巧提炼 直角：等于90°的角； 锐角：小于直角的角； 钝角：大于直角而小于平角的角. 1．（2023秋•灌阳县期末）下列各角中，为锐角的是（　　） A．平角 B．周角 C．直角 D．周角 【分析】根据周角、平角的意义分别进行计算即可． 【解答】解：∵1平角＝180°，1周角＝360°， ∴平角180°＝90°，结果是直角，因此选项A不符合题意； 周角360°＝72°，因此选项B符合题意； 直角90°＝135°，因此选项C不符合题意； 周角，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查角的概念，掌握平角、周角的定义是解决问题的前提． 2．下列各角中，是锐角的是（　　） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 【分析】根据周角、平角的意义分别进行计算即可． 【解答】解：∵1平角＝180°，1周角＝360°， ∴周角360°＝90°，结果是直角，因此选项A不符合题意； 周角360°＝240°＞180°，因此选项B不符合题意； 平角180°＝120°＞90°，因此选项C不符合题意； 平角180°＝45°＜90°，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查角的概念，掌握平角、周角的定义是解决问题的前提． 3．下列各角中，是钝角的是（　　） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【分析】由钝角的概念，即可选择． 【解答】A、周角＝90°，故A不符合题意； B、平角＝150°，故B符合题意； C、周角＝288°，故C不符合题意； D、平角＝90°，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于90度小于180度的角． 4．在12：15、6：45、9：00、2：20、6：48各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个数之比为（　　） A．3：1：1 B．2：1：2 C．4：1：0 D．1：3：1 【分析】首先分别求得12：15、6：45、9：00、2：20、6：48各时刻，时针与分针所成角的度数，继而可求得锐角、直角、钝角的个数之比． 【解答】解：∵12：15时针与分针所成角是：82.5°， 6：45时针与分针所成角是：67.5°， 9：00时针与分针所成角是：90°， 2：20时针与分针所成角是：50°， 6：48时针与分针所成角是：84°， ∴锐角有：12：15，6：45，2：20，6：48， 直角有：9：00， 钝角没有． ∴锐角、直角、钝角的个数之比为：4：1：0． 故选：C． 【点评】此题考查了钟面角问题．注意在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 5．（2023秋•拱墅区期末）在综合与实践课上，将∠A与∠B两个角的关系记为∠A＝n∠B（n＞0），探索n的大小与两个角的类型之间的关系．（　　） A．当n＝2时，若∠A为锐角，则∠B为锐角 B．当n＝2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角 C．当n时，若∠A为锐角，则∠B为锐角 D．当n时，若∠A为锐角，则∠B为钝角 【分析】根据∠A＝n∠B，当n＝2时，则∠A＝2∠B，由∠A为锐角得0°＜2∠B＜90°，进而得0°＜∠B＜45°，由此可对选项A进行判断；根据∠A为钝角得90°＜2∠B＜180°，进而得45°＜∠B＜90°，由此可对选项B进行判断；当n时，则∠A∠B，根据∠A为锐角得0°∠B＜90°，进而得0°＜∠B＜180°，据此可对选项C，选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵∠A＝n∠B， 当n＝2时， ∴∠A＝2∠B， 又∵∠A为锐角， ∴0°＜∠A＜90°， ∴0°＜2∠B＜90°， ∴0°＜∠B＜45°， ∴∠B为锐角， 故选项A正确， ∵∠A为钝角， ∴90°＜∠A＜180°， ∴90°＜2∠B＜180°， ∴45°＜∠B＜90°， ∴∠B是锐角， 故选项B不正确； 当n时， ∴∠A∠B， 又∵∠A为锐角， ∴0°＜∠A＜90°， ∴0°∠B＜90°， ∴0°＜∠B＜180°， ∴∠B可能是锐角也可能是钝角， 故选项C，选项D不正确． 故选：A． 【点评】此题主要考查了锐角，钝角的定义，不等式的应用，理解锐角，钝角的定义，熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键． 题型三 角的和、差、倍、分 解题技巧提炼 角的和、差、倍、分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC． ②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． 1．（2023秋•驻马店期末）如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（　　） A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA 【分析】根据角平分线的性质，可得答案． 【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正确； B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正确； C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正确； D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D错误； 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的定义，利用了角平分线的性质． 2．（2023春•阳谷县期中）如图∠AOB，以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝2∠AOB，那么下列说法正确的是（　　） A．∠AOC＝3∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOC＞∠BOC D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB 【分析】一种可能OA是∠COB的角平分线，另一种可能是OA在∠COB的外边． 【解答】解：如图：有两种可能： ① ； ② ； ∠AOC＝3∠AOB不一定，故A选项错误，不符合题意； ∠AOC＝∠AOB不一定，故B选项错误，不符合题意； ∠AOC可能等于∠BOC，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题关键考虑到两种可能的情况，再对选项一一判断． 3．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，OB平分∠AOC，则∠AOD﹣∠BOC等于（　　） A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC 【分析】根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可． 【解答】解：∵OB平分∠AOC， ∴∠AOB＝∠BOC， ∴∠AOD﹣∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB＝∠BOD， 故选：A． 【点评】本题考查角平分线，理解角平分线的定义，掌握图形中角的和差关系是正确解答的前提． 4．（2024•东莞市模拟）如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．若∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α），则∠COD为（　　） A．α﹣β B．2α﹣β C．2α﹣2β D．2β﹣α 【分析】由∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD可得结论． 【解答】解：设∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α）， 而∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD， ∴α＝β+β﹣∠COD， ∴∠COD＝2β﹣α， 故选：D． 【点评】本题考查的是角的和差运算，解题的关键是正确推理． 5．（2023秋•肥西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（　　） A．∠COD∠AOB B．∠AOD∠AOB C．∠BOD∠AOD D．∠BOC∠AOD 【分析】根据角平分线定义，得出角与角的关系．再根据选项选取正确答案． 【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOC＝∠AOC∠AOB，∠BOD∠AOC∠BOC， ∴∠BOC∠AOD， 故选：D． 【点评】根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解． 6．（2023秋•宣化区期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝60°，则∠AOD与∠COB一定满足的关系为（　　） A．∠AOD＝∠COB B．∠AOD+∠COB＝180° C．∠AOD∠COB D．∠AOD+∠COB＝120° 【分析】根据角的和差，可得∠AOD+∠COB＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠DOB＝∠AOB+∠COD，再代入计算即可求解． 【解答】解：∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∠COB＝∠COD+∠DOB， ∴∠AOD+∠COB＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠DOB， ＝∠AOC+∠COD+∠DOB+∠COD ＝∠AOB+∠COD ∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°， ∴∠AOD+∠COB＝120°+60°＝180°． 故选：B． 【点评】本题考查了角的计算．解题的关键是利用了角的和差关系求解． 7．（2023秋•松桃县期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC 【分析】先求出2∠BON＝180°﹣2∠AOM，利用角平分线的定义再求解，∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，从而可得答案． 【解答】解：∵∠MON＝90°， ∴∠AOM＝90°﹣∠BON， ∴2∠BON＝180°﹣2∠AOM， ∵OC是∠MOB的平分线， ∴∠MOC＝∠BOC∠MOB， ∴∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON， ∴∠AOM＝180°﹣（180°﹣2∠AOM）﹣2∠CON， ∴∠AOM＝2∠NOC， 故选：B． 【点评】本题考查了角的和差运算，角的平分线定义，熟练运用角的和差关系探究角与角之间的关系是解题的关键． 8．（2023秋•闽清县期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，以下四个结论：①；②2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF； ③∠AOD＝∠BOC；④．其中正确的结论有 　 （填序号）． 【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，即可得出结论；③无法证明∠AOD＝∠BOC；④根据，得出∠EOF＝∠COD，∠COF+∠BOF＝2∠COD，即可得出结论． 【解答】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB， ∴，， ， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB， ∴， 即，故①正确； ②∵∠DOF＝∠DOE﹣∠EOF， ， ∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC， ∴2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF，故②正确； ③∠AOD与∠BOC不一定相等，故③错误； ④根据解析②可知，， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠COF+∠DOF＝∠COD， ∵∠COF+∠BOF＝∠COF+∠AOF＝∠AOC＝2∠COD， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题的关键． 题型四 量角器测量角 解题技巧提炼 本题主要考查角的定义以及量角器的使用方法，熟练掌握量角器的使用方法是解决本题的关键． 1．（2023秋•平泉市期末）用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据量角器的使用方法解答． 【解答】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了角的概念，用量角器度量角的度数，量角器的正确、熟练使用是关键． 2．（2023秋•宽城县期末）用量角器测量∠MON的度数，操作正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据用量角器度量角的步骤，即可解答． 【解答】解：用量角器测量∠MON的度数，操作正确的是， 故选：D． 【点评】本题考查了角的度量，熟练掌握度量角的步骤是解题的关键． 3．（2023•高碑店市模拟）如图，∠AOB的大小为（　　） A．100° B．80° C．50° D．30° 【分析】先找出这个角两边所对应的度数，然后相减即可求解． 【解答】解：∵OA边对应刻度是80°，OB边对应的刻度是30°， ∴∠AOB＝80°﹣30°＝50°． 故选：C． 【点评】本题考查了角的度量，找到角两边对应的刻度值是求解的关键． 4．（2023秋•霸州市期末）如图，将∠MON按如图所示的方式摆放在量角器上，其中点O为量角器的中心，射线OM，ON都在整10的刻度线上，则∠MON＝（　　） A．130° B．70° C．60° D．50° 【分析】先根据量角器读出OM边所在的角度，以及ON边所在的角度，用大角减去小角即可得到结果． 【解答】解：由图可得，从右边开始读数， 可得到边OM所在的角度为：50°， 边ON所在的角度为：110°， ∴∠MON＝110°﹣50°＝60°， 故选：C． 【点评】本题考查了通过几何图形得到角度，角的和差运算；正确读出度数是解题的关键． 5．（2024•邯郸模拟）如图，某同学利用量角器测量∠AOB的度数，已知OA，OB经过的刻度分别是70°，115°，则∠AOB＝（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【分析】依题意得∠COA＝70°，∠COB＝115°，再根据∠AOB＝∠COB﹣∠COA可得出答案． 【解答】解：如图所示： 依题意得：∠COA＝70°，∠COB＝115°， ∴∠AOB＝∠COB﹣∠COA＝115°﹣70°＝45°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了量角器的使用，角的计算，熟练掌握量角器的使用，角的计算是解决问题的关键． 题型五 角的平分线的应用 解题技巧提炼 1、角平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 2、性质：若OC是∠AOB的平分线： 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． 1．（2024春•潍城区期中）如图，已知OB是∠AOC内部的一条射线，下列说法一定正确的是（　　） A．∠AOC＝2∠BOC B．∠BOC＜∠AOB C．∠AOC可以用∠O表示 D．∠1与∠AOB表示同一个角 【分析】根据角的大小比较及角的概念进行逐一判断即可． 【解答】解：A．∠AOC≠2∠BOC，故本选项不符合题意； B．∠BOC可能大于∠AOB，也可能小于∠AOB，也有可能等于∠AOB，故本选项不符合题意； C．∠AOC不可以用∠O表示，故本选项不符合题意； D．∠1与∠AOB表示同一个角，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查角的大小比较及角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．（2023秋•蚌埠期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC∠AOB，则下列结论成立的是（　　） A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC 【分析】分两种情况，∠BOC在∠AOB的外部，∠BOC在∠AOB的内部． 【解答】解：分两种情况： 当∠BOC在∠AOB的外部，如图： ∵∠BOC∠AOB， ∴∠AOC＝3∠BOC， 当∠BOC在∠AOB的内部，如图： ∵∠BOC∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC， 故选：D． 【点评】本题考查了角的大小比较，根据题目的已知条件画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 3．（2023•大庆开学）如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线，OC为∠BOE 的平分线，∠BOC＝　 　． 【分析】依据题意，设∠BOC＝x°，结合题意，可得∠BOE＝2x°，∠DOE＝90°﹣x°，再由OE是∠BOD的平分线，即可得解． 【解答】解：由题意，设∠BOC＝x°， ∵OC为∠BOE 的平分线， ∴∠COE＝∠BOC＝x°． ∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝2x°． 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝90°﹣x°． 又OE是∠BOD的平分线， ∴∠BOE＝2x°＝∠DOE＝90°﹣x°． ∴x＝30． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，解题时要熟练掌握并理解是关键． 4．（2023秋•南明区期末）如图所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，则∠BOE的大小为 　 　． 【分析】先根据已知的三个角计算∠AOD的度数，再根据角平分线求得∠AOE的度数，最后根据角的和差关系计算∠BOE的大小． 【解答】解：∵∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°， ∴∠AOD＝96°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE96°＝48°， ∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝48°﹣30°＝18°． 故答案为：18°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，注意：角平分线把角分成相等的两个角，这是解题的主要依据． 5．（2023秋•碑林区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝5：3，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°，求∠DOE的度数． 【分析】设∠BOC＝x°，则∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°，再根据角平分线的定义用x表示出∠COE，通过∠BOE＝∠COE﹣∠COB解出值，再根据角的和差关系即可求解问题． 【解答】解：设∠BOC＝3x°，则∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°， ∵OE是∠AOC的平分线， ∴∠COE∠AOC＝4x°． ∵∠BOE＝∠COE﹣∠COB， ∴16°＝4x°﹣3x°，解得x＝16． ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD∠BOC＝1.5x°＝24°． ∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+16°＝40°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，分析出角的和差倍分关系是解题的关键． 6．（2023秋•温江区期末）如图，点A，O，B在同一直线上，∠BOC＝78°，∠DOE＝77°，OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线． ①求∠COE的度数； ②OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【分析】①由题意可得∠COD＝26°，根据∠COE＝∠DOE﹣∠COD可得答案． ②由题意可得∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝51°，则∠AOE＝∠COE，即OE是∠AOC的平分线． 【解答】解：①∵OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线，∠BOC＝78°， ∴∠COD＝26°， ∵∠DOE＝77°， ∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝51°． ②OE是∠AOC的平分线． 理由：∵∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝180°﹣51°﹣78°＝51°， ∴∠AOE＝∠COE， ∴OE是∠AOC的平分线． 【点评】本题考查角的计算，明确角的和差关系是解答本题的关键． 题型六 三角板中角的计算 解题技巧提炼 三角板中的角的计算主要是利用特殊角30°，45°，60°，90°进行相关的计算. 1．（2023秋•广州期末）如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．70° 【分析】因为等腰三角板中的锐角为45°，而直角三角板板中较大的锐角为60°，直接相减就可求得结果． 【解答】解：由图形可知，∠AOB＝60°﹣45°＝15°． 故选：A． 【点评】此题考查了角的计算，关键是掌握三角板各角的度数，每副三角板中，都有一个等腰直角三角板和一个直角三角板，再根据角的度数进行计算． 2．（2023秋•环江县期末）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（　　） A．70° B．90° C．105° D．120° 【分析】∠ABC等于30度角与直角的和，据此即可计算得到． 【解答】解：∠ABC＝30°+90°＝120°． 故选：D． 【点评】本题考查了角度的计算，理解三角板的角的度数是关键． 3．（2023秋•金安区校级期末）如图，一副三角板如图摆放，若∠1＝9°，则∠2的度数为（　　） A．24° B．25° C．26° D．27° 【分析】先利用角的和差关系求出∠ACD，再利用角的和差关系求出∠2． 【解答】解：由直角三角板知∠BCA＝45°，∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠1 ＝45°﹣9° ＝36°． ∴∠2＝∠ECD﹣∠ACD ＝60°﹣36° ＝24°． 故选：A． 【点评】本题考查了角的计算，掌握三角板各个角的度数及角的和差关系是解决本题的关键． 4．（2023春•滕州市校级期末）将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（　　） A．∠CAE+∠DAB＝90° B．∠BAE﹣∠DAC＝45° C．∠BAE+∠DAC＝180° D．∠DAC＝2∠BAD 【分析】根据题意，利用角的和差判断正误． 【解答】解：根据题意可知：∠CAE+∠DAC＝90°，∠BAE﹣∠DAB＝90°，∠BAE+∠DAC＝180°，∠DAC+∠BAD＝90°， ∴A、B、D选项不成立，只有C选项成立， 故选：C． 【点评】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算． 5．（2023秋•荆门期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（60°角和45°角）的顶点O叠放在一起，若∠AOD与∠BOC的和为35°，则∠AOC的度数为（　　） A．55° B．65° C．70° D．75° 【分析】根据题意可得：∠AOB＝60°，∠COD＝45°，从而可得∠AOD＝60°﹣∠DOB，∠BOC＝45°﹣∠DOB，再结合已知可得60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，然后求出∠DOB＝35°，从而求出∠BOC＝10°，最后利用角的和差关系求出∠AOC，即可解答． 【解答】解：由题意得： ∠AOB＝60°，∠COD＝45°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝60°﹣∠DOB， ∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝45°﹣∠DOB， ∵∠AOD+∠BOC＝35°， ∴60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°， ∴∠DOB＝35°， ∴∠BOC＝10°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 6．（2024•任丘市校级四模）如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据题意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOC＝∠BOD，再由∠AOD＝3∠BOD，可得3∠AOC+∠BOC＝180°，即可求解． 【解答】解：根据题意得：∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠COD＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD， ∵∠AOD＝3∠BOD， ∴∠AOD＝3∠AOC， ∴3∠AOC+∠BOC＝180°， ∴2∠AOC+∠AOB＝180°， ∴2∠AOC+90°＝180°， 解得：∠AOC＝45°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了角的和与差，解题的关键是正确推理． 7．（2023秋•青羊区校级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝30°，∠2的大小是　 °． 【分析】先求出∠EAC的度数，再根据余角的概念求出∠2． 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝30°， ∴∠EAC＝60°﹣30°＝30°， ∵∠EAD＝90°， ∴∠2＝90°﹣30°＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查的是角的计算，正确求出∠EAC的度数是解题的关键． 8．（2023秋•江汉区期末）如图，将三角板的直角顶点O放在直线AB上，OE平分∠AOC，绕点O转动三角板，若∠BOD＝20°，则∠AOE＝　 °． 【分析】由题意可得∠COD＝90°，由补角的定义可求解∠AOC＝70°，再由角平分线的定义即可求∠AOE的度数． 【解答】解：由题意得：∠COD＝90°， ∵∠BOD＝20°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝70°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE∠AOC＝35°． 故答案为：35． 【点评】本题主要考查补角，角平分线的定义，解答的关键是明确互补的两角之和为180°． 题型七 角度计算的解答题 解题技巧提炼 角度计算的解答题是综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到角分线的性质。 1．（2023秋•灵宝市期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线． （1）若∠COD＝80°，求∠MON的度数； （2）比较∠DOM和∠CON的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠MOC∠AOC，∠NOD∠BOD，结合图形计算即可； （2）根据角的和差关系解答即可． 【解答】解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线， ∴∠MOC∠AOC，∠NOD∠BOD， ∴∠MON（∠AOC+∠BOD）+∠COD∠COD80°＝50°+80°＝130°； （2）∠DOM＝∠CON，理由如下： ∵∠MOC∠AOC，∠NOD∠BOD，∠AOC＝∠BOD， ∴∠MOC＝∠NOD， ∴∠MON﹣∠NOD＝∠MON﹣∠MOC， ∴∠DOM＝∠CON． 【点评】本题考查的是角的计算，掌握角的和差计算、正确认识图形是解题的关键． 2．（2023秋•金平区期末）如图，射线OC，OD在∠AOB的内部． （1）图中共有 　 　个角；（注：图中所有角均指小于180°的角） （2）若∠COD＝m°，∠AOB＝n°，求（1）中所有角的度数之和．（结果用含m，n的式子表示） 【分析】（1）根据角的数量问题的统计角的个数的方法表示出图中所有的角即可解决问题； （2）把（1）表示出的所有的角相加，变形为能用m，n表示的角后即可求出所有角的度数之和． 【解答】解：（1）图中的角有：∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB，共6个． 故答案为：6； （2）∠AOC+∠AOD+∠AOB+∠COD+∠COB+∠DOB ＝（∠AOC+∠COB）+（∠AOD+∠DOB）+∠AOB+∠COD ＝∠AOB+∠AOB+∠AOB+∠COD ＝3∠AOB+∠COD ∵∠COD＝m°，∠AOB＝n°， ∴（1）中所有角的度数之和为（m+3n）°． 【点评】本题主要考查角的计算和角的数量问题，熟练掌握角的数量问题是解决问题的关键． 3．（2023秋•德惠市期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线． （1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？ （2）在（1）的条件下，如果∠COD＝20°31′，那么∠BOE是多少度？ 【分析】（1）由OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，可得∠COE，然后将∠AOB＝130°代入即可； （2）由∠BOE＝∠EOD＝∠EOC﹣COD，然后将∠COD＝20°31′，∠COE的度数代入即可． 【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线， ∴∠COD＝∠AOC∠AOD，∠DOE＝∠BOE∠BOD， ∴∠COE＝∠COD+∠DOE ＝65°； （2）∵∠COD＝20°31′，∠COE＝65°，∠DOE＝∠COE﹣∠COD， ∴∠DOE＝65°﹣20°31′＝44°29′， ∵∠BOE＝∠DOE， ∴∠BOE＝44°29′． 【点评】此题考查了角的计算，解题的关键是：由角平分线的定义得到∠COE． 4．（2023秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD． （1）求∠AOD的度数； （2）自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度数． 【分析】（1）根据∠AOD＝2∠BOD可得∠AOD∠AOB，代入∠AOB＝120°即可求解； （2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解． 【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD， ∴∠AOD∠AOB， ∴∠AOD∠AOB120°＝80°； （2）当OC在∠AOB内时， ∵∠AOC：∠COB＝1：3， ∴∠AOC∠AOB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC120°＝30°， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝80°﹣30°＝50°； 当OC在∠AOB外时， ∵∠AOC：∠COB＝1：3， ∴∠AOC：∠AOB＝1：2， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC120°＝60°， ∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝80°+60°＝140°， 综上所述，∠COD的度数为50°或140°． 【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键． 5．（2023秋•江源区期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处． （1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由． ②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由． （2）若将这副三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处． ①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由． ②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由． 【分析】（1）①根据角的和的关系解答，②利用周角的定义解答； （2）①根据同角的余角相等解答，②根据图象，表示出∠AOC整理即可得到原关系仍然成立． 【解答】解：（1）①∵∠AOD＝90°+∠BOD ∠BOC＝90°+∠BOD， ∴∠AOD和∠BOC相等． ②∵∠AOC+90°+∠BOD+90°＝360°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°； （2）①∵∠AOD＝90°﹣∠BOD， ∠BOC＝90°﹣∠BOD， ∴∠AOD和∠BOC相等． ②成立． ∵∠AOC＝90°+90°﹣∠BOD， ∴∠AOC+∠BOD＝180°． 【点评】本题主要考查角的和、差关系，理清和或是差是解题的关键． 6．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． （1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝　 　； （2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． （3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2） 中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由． 【分析】（1）由角平分线的定义得出，进而即可求得∠BOC； （2）由角平分线的定义得出，即∠AOE＝2∠BOD； （3）由角平分线的定义得出得出，根据∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，，进而即可求解． 【解答】解：（1）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC， ∴， ∵∠AOE＝140°， ∴， ∵∠COD＝30°， ∴∠BOC＝40°； 故答案为：40°． （2）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． ∴， ∴，即， 即∠AOE＝2∠BOD， （3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下， ∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． ∴， ∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，， ∴∠AOE＝2∠BOD． 【点评】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． 7．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角． （1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数； （2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角； （3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°， 求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可； （3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得． 【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′， ∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′； （2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD； ∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD； （3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角， 设∠AOB＝α， 则∠AOC＝3α，∠COD＝4α， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α， ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α， ∵∠BOD＝90°， ∴6α＝90°， ∴α＝15°， ∴∠BOC＝2α＝30°． 【点评】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键． 8．（2023秋•广陵区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝　 　． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论； （2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出α的值； （3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°； 故答案为：20°． （2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， ∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即63°﹣α， 解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； （3）能，理由如下， 由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下四种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°）， 解得t（秒）； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°）， 解得t＝30（秒）； 如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°， 则∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°）， 解得t＝90（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 【点评】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第6章 图形的初步知识》 6.6&6.7 角的大小比较&角的和差 知识点一 用量角器作一个角等于已知角 条件 已知∠α ，用量角器作一个角，使它等于∠α . 图形 作法 （1）用量角器量得∠α =70^∘ 。 （2）作射线OA . （3）用量角器作射线OB，使∠AOB=70°. ∠AOB=70°=∠α ，∠AOB 就是所求作的角. 知识点二 角的大小比较 ◆1、角的比较有两种方法： 方法一：度量法，用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小. 方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较. ①若边OB在内部，则∠AOB ＜ ∠A'O'B'. ②若边OB与重合，则∠AOB ＝∠A'O'B'. ③若边OB在外部，则∠AOB ＞ ∠A'O'B'. 知识点三 角的分类 角的名称 定义 各种角之间的大小关系 直角 等于90°的角 （1）锐角＜ 直角（直角可以用Rt∠ 表示，画图时常在直角的顶点处加上符号“┐ ”来表示这个角是直角）< 钝角< 平角< 周角. （2）1周角=2平角=4 直角=36°; 1平角=2直角=180^∘ ； 1直角=90 . 锐角 小于9° 的角 钝角 大于直角而小于平角的角 知识点四 角的和差 概念 表式 图示 两个角的和 如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和. ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和 ，记作:∠AOC = ∠AOB +∠BOC； 两个角的差 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差. ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差， 记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； ∠BOC是∠AOC与∠AOB的差， 记作∠BOC =∠AOC－∠AOB . 知识点五 用量角器作两个角的和差 条件 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2 的和 图形 做法 用量角器量得∠1=60°，∠2=45°， 计算：∠1+∠2=60°+45°=105°， 用量角器作∠AOB=105°. ∠AOB=∠1+∠2，∠AOB 就是所求作的角. 知识点六 角平分线 ◆1、角的平分线： 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 如图，射线 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC. 【注意】角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线. ◆2、角的三等分线： 如图,射线OC,OD在∠AOB的内部,如果∠AOD=∠DOC=∠COB ,那么射线OC,OD是∠AOB 的三等分线.类似地,从一个角的顶点出发，把这个角分成n个相等的角的射线，叫作这个角的n 等分线，如四等分线、五等分线等. 题型一 角的大小比较 解题技巧提炼 角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． 1．（2023春•岱岳区期末）在∠AOB内取一点C，作射线OC，则一定成立（　　） A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC 2．（2024秋•滦州市期中）已知OB是∠AOC内部一条射线，按如图所示的方式作图，得到射线OD，则（　　） A．∠AOC＞∠DOB B．∠AOC＜∠DOB C．∠AOC＝∠DOB D．∠AOC与∠DOB无法比较大小 3．（2023秋•呼和浩特期末）如图所示，正方形网格中有∠α和∠β，如果每个小正方形的边长都为1，估测∠α与∠β的大小关系为（　　） A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．无法估测 4．（2023秋•红桥区期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的 是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 5．（2023秋•长安区校级期末）用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•海阳市期末）若∠A＝60°27′25″，∠B＝60.45°，则（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定 7．（2024春•莘县期末）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下面说法正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等 8．（2023秋•八步区期末）若∠A＝25°18′，∠B＝25°19′1″，∠C＝25.31°，则（　　） A．∠B＞∠C＞∠A B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠B＞∠C D．∠B＞∠A＞∠C 9．（2023春•莱西市期中）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB 　 　∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”） 10．（2024春•冠县期中）对于如图所示的各个角，用“＞”、“＜”或“＝”填空： （1）∠AOB 　 　∠AOC； （2）∠DOB 　 　∠BOC； （3）∠BOC 　 　∠AOD； （4）∠AOD 　 　∠BOD． 题型二 角的分类 解题技巧提炼 直角：等于90°的角； 锐角：小于直角的角； 钝角：大于直角而小于平角的角. 1．（2023秋•灌阳县期末）下列各角中，为锐角的是（　　） A．平角 B．周角 C．直角 D．周角 2．下列各角中，是锐角的是（　　） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 3．下列各角中，是钝角的是（　　） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 4．在12：15、6：45、9：00、2：20、6：48各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个数之比为（　　） A．3：1：1 B．2：1：2 C．4：1：0 D．1：3：1 5．（2023秋•拱墅区期末）在综合与实践课上，将∠A与∠B两个角的关系记为∠A＝n∠B（n＞0），探索n的大小与两个角的类型之间的关系．（　　） A．当n＝2时，若∠A为锐角，则∠B为锐角 B．当n＝2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角 C．当n时，若∠A为锐角，则∠B为锐角 D．当n时，若∠A为锐角，则∠B为钝角 题型三 角的和、差、倍、分 解题技巧提炼 角的和、差、倍、分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC． ②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． 1．（2023秋•驻马店期末）如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（　　） A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA 2．（2023春•阳谷县期中）如图∠AOB，以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝2∠AOB，那么下列说法正确的是（　　） A．∠AOC＝3∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOC＞∠BOC D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB 3．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，OB平分∠AOC，则∠AOD﹣∠BOC等于（　　） A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC 4．（2024•东莞市模拟）如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．若∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α），则∠COD为（　　） A．α﹣β B．2α﹣β C．2α﹣2β D．2β﹣α 5．（2023秋•肥西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（　　） A．∠COD∠AOB B．∠AOD∠AOB C．∠BOD∠AOD D．∠BOC∠AOD 6．（2023秋•宣化区期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝60°，则∠AOD与∠COB一定满足的关系为（　　） A．∠AOD＝∠COB B．∠AOD+∠COB＝180° C．∠AOD∠COB D．∠AOD+∠COB＝120° 7．（2023秋•松桃县期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC 8．（2023秋•闽清县期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，以下四个结论：①；②2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF； ③∠AOD＝∠BOC；④．其中正确的结论有 　 （填序号）． 题型四 量角器测量角 解题技巧提炼 本题主要考查角的定义以及量角器的使用方法，熟练掌握量角器的使用方法是解决本题的关键． 1．（2023秋•平泉市期末）用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•宽城县期末）用量角器测量∠MON的度数，操作正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•高碑店市模拟）如图，∠AOB的大小为（　　） A．100° B．80° C．50° D．30° 4．（2023秋•霸州市期末）如图，将∠MON按如图所示的方式摆放在量角器上，其中点O为量角器的中心，射线OM，ON都在整10的刻度线上，则∠MON＝（　　） A．130° B．70° C．60° D．50° 5．（2024•邯郸模拟）如图，某同学利用量角器测量∠AOB的度数，已知OA，OB经过的刻度分别是70°，115°，则∠AOB＝（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 题型五 角的平分线的应用 解题技巧提炼 1、角平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 2、性质：若OC是∠AOB的平分线： 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． 1．（2024春•潍城区期中）如图，已知OB是∠AOC内部的一条射线，下列说法一定正确的是（　　） A．∠AOC＝2∠BOC B．∠BOC＜∠AOB C．∠AOC可以用∠O表示 D．∠1与∠AOB表示同一个角 2．（2023秋•蚌埠期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC∠AOB，则下列结论成立的是（　　） A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC 3．（2023•大庆开学）如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线，OC为∠BOE 的平分线，∠BOC＝　 　． 4．（2023秋•南明区期末）如图所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，则∠BOE的大小为 　 　． 5．（2023秋•碑林区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝5：3，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°，求∠DOE的度数． 6．（2023秋•温江区期末）如图，点A，O，B在同一直线上，∠BOC＝78°，∠DOE＝77°，OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线． ①求∠COE的度数； ②OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 题型六 三角板中角的计算 解题技巧提炼 三角板中的角的计算主要是利用特殊角30°，45°，60°，90°进行相关的计算. 1．（2023秋•广州期末）如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．70° 2．（2023秋•环江县期末）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（　　） A．70° B．90° C．105° D．120° 3．（2023秋•金安区校级期末）如图，一副三角板如图摆放，若∠1＝9°，则∠2的度数为（　　） A．24° B．25° C．26° D．27° 4．（2023春•滕州市校级期末）将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（　　） A．∠CAE+∠DAB＝90° B．∠BAE﹣∠DAC＝45° C．∠BAE+∠DAC＝180° D．∠DAC＝2∠BAD 5．（2023秋•荆门期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（60°角和45°角）的顶点O叠放在一起，若∠AOD与∠BOC的和为35°，则∠AOC的度数为（　　） A．55° B．65° C．70° D．75° 6．（2024•任丘市校级四模）如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．（2023秋•青羊区校级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝30°，∠2的大小是　 °． 8．（2023秋•江汉区期末）如图，将三角板的直角顶点O放在直线AB上，OE平分∠AOC，绕点O转动三角板，若∠BOD＝20°，则∠AOE＝　 °． 题型七 角度计算的解答题 解题技巧提炼 角度计算的解答题是综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到角分线的性质。 1．（2023秋•灵宝市期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线． （1）若∠COD＝80°，求∠MON的度数； （2）比较∠DOM和∠CON的大小，并说明理由． 2．（2023秋•金平区期末）如图，射线OC，OD在∠AOB的内部． （1）图中共有 　 　个角；（注：图中所有角均指小于180°的角） （2）若∠COD＝m°，∠AOB＝n°，求（1）中所有角的度数之和．（结果用含m，n的式子表示） 3．（2023秋•德惠市期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线． （1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？ （2）在（1）的条件下，如果∠COD＝20°31′，那么∠BOE是多少度？ 4．（2023秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD． （1）求∠AOD的度数； （2）自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度数． 5．（2023秋•江源区期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处． （1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由． ②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由． （2）若将这副三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处． ①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由． ②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由． 6．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． （1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝　 　； （2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． （3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2） 中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由． 7．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角． （1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数； （2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角； （3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°， 求∠BOC的度数． 8．（2023秋•广陵区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝　 　． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$