第九章 统计-【创新教程】2026年辽宁省普通高中学业水平合格考数学热点专练（山东省通用）

第九章 统 计 考点典例 考点1随机抽样 例1下列抽样试验中，适合用抽签法的是 () A.从某工厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某工厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量 检测 C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质 量检验 D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 考点2用样本的频率分布估计总体分布 例2(1)某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收入，并根据 调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层 对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1000 人中抽出100人做电话询访，则(30,35]（百元）月工资收入段应 抽出 人 频率/组距 0.05 0.04 0.02 0.01- 010152025303540月工资（百元） (2)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10,20) [20,30)[30,40) 频数 2 3 4 分组 [40,50) [50,60) [60,70) 频数 5 4 则样本数据落在区间[10,40)内的频率为 A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65 考点3用样本的数字特征估计总体的数字特征 例3(1)(2025·全国二卷，1)样本数据2,8,14,16,20的平均 数为 () A.8 B.9 C.12 D.18 32— 名师点津 1.基础题两种抽样方法的优缺点 抽样 优点 缺点 试用范围 方法 总体量较大适用于总体 抽签法 简单易行 时，操作起 中个体数不 来比较麻烦多的情形 简单易行，总体量很大， 它很好地解 样本量也很 总体量较大 随机 决了总体量 大时，利用 数法 样本量较小 较大时用抽随机数法抽 的情形. 签法制签困 取样本仍不 难的问题 方便 2.中档题(1)由频率分布直方图 进行相关计算时，需掌握下列关系 式 ×组距=频率. (2)先统计出样本数据落在[10， 40)内的频数，然后由“频率= 释架黎正部。 3.基础题(1)考查对数据的理解 和样本数字特征（中位数、众数、平 均数、方差、标准差)的确定和 计算. (2)在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分 布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是 ( 频率 组距 0.02 0.015 0.01 0.005 0 20406080100成绩 A.35 B.40 C.45 D.50 (3)为了了解某地高一年级学生的体能状况，某校抽取部分学生 进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图 (如图)，则x= ;估计被抽取的学生跳绳次数的中位数 是 频率 组距 0.025 0.022 0.019 0.010 0.005 0.004 0 V90100110120130140150160次数 考点4总体百分位的估计 例4(1)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列 为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则 该组数据的第75百分位数为 ,第86百分位数为 (2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩（成 绩均为整数)整理后画出频率分布直方图（如图），则此班的模拟 考试成绩的80%分位数是 .(结果保留两位小数) +频率 组距 0.030------ 0.0225 0.0150--- 0.0100 0.0050 0.0025-士----- 08090100110120130140150分数 33 (2)用样本估计总体时，一方面可 以由图形得到相应的样本数据，再 计算数字特征；另一方面，可以从 图形直观分析样本数据的分布情 况，大致进行判断 (3)中档题根据样本频率分布直 方图，可以分别估计总体的众数、 中位数和平均数。 ①众数：最高矩形下端中点的横 坐标； ②中位数：直方图面积平分线与横 轴交点的横坐标. ③平均数：每个小矩形的面积与小矩 形底边中点的横坐标的乘积之和. 4.基础题（1)可以通过下面的步 骤计算一组n个数据的第p百分 位数： 第1步，按从小到大排列原始数位 据； 第2步，计算i=nXp%; 第3步，若i不是整数，而大于i的 比邻整数为，则第p百分位数为 第j项数据，若i是整数，则第p百 分位数为第i项与第(i十1)项数据 的平均数. (2)频率分布直方图中第力百分位 数的求解方法可以模仿中位数的 求解思路： ①确定第p百分位数所在的区间 [a,b). ②确定小于a和小于b的数据所 占的百分比分别为f。%,f6%,则 第p百分位数为a十p%一f% f%%-f。% ×(b-a)..平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1. A1C∩平面ABC1D1=Q, .Q∈平面ABCD1. 又A1CC平面A1BCD1,.Q∈平面A1BCD1. 点Q在平面A1BCD1与平面ABCD1的交线上，即Q ∈BD1, 故B,Q,D1三点共线 例7解析：(1)，B1D1∥BD,BDC平面BDC1,B1D1丈平面 BDC.B1D1∥平面BDC1. (2)A中的两直线也可能相交、异面，A错：B中的该直线 也可能与平面内的直线异面，B错；C中的该直线也可能 在其中一个平面内，C错；只有D正确. 答案：(1)D(2)D 例8解：(1)连接DE,OF,设AF=tAC,则BF=BA十AF 1-BA+:BC0=-BA+2. BF⊥AO, 则BF.AO=[1-)BA+BC]· (-BA+7BC)-(-1BA+BC =4(t-1)+4t=0, 解得1=子，则F为AC的中，点，由D,E,O,F分别为PB, PA,BC,AC的中点， 于是DE/AB,DE=2AB.OF/AB, OF=2AB,即DE∥OF,DE=OF, 则四边形ODEF为平行四边形， EF∥DO,又EF丈平面ADO,DOC平面ADO,所以EF ∥平面ADO. (2)过P作PM垂直FO的延长线交于，点M, 因为PB=PC,O是BC中点，所以POLBC, 在R△PBO中，PB=6,B0=2BC=E, 所以PO=√PB2-OB=√6-2=2， 因为AB⊥BC,OF∥AB,所以OF⊥BC, 又PO∩OF=O,PO,OFC平面POF, 所以BC⊥平面POF,又PMC平面POF, 所以BC⊥PM,文BC∩FM=O,BC,FMC平面ABC, 所以PM⊥平面ABC, 即三棱锥P-ABC的高为PM, 因为∠POF=120°，所以∠POM=60°， 女 所以PM=POsin60°=2x5-5. 2 又SaMr=AB·BC=7 X2X22=2E, 所以Vp-ABC= saw·PM=gx2Ex6-2 3 P∽ 例9解析：，m∥，n⊥3，∴.m⊥. 又mCa,∴.a⊥B. 答案：C 例10解：(1)证明：PA=PD,且E为AD中，点， PE⊥AD, ,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD= AD,PEC平面PAD, PE⊥平面ABCD, :BCC平面ABCD, PE⊥BC. (2),四边形ABCD为矩形， ∴.CD⊥AD, 平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, CDC平面ABCD, .CD⊥平面PAD, ,PAC平面PAD, .CD⊥PA. PA⊥PD,且CD,PDC平面PCD,CD∩PD=D, .PA⊥平面PCD, PAC平面PAB, .平面PAB⊥平面PCD 第九章统计 例1解析：选项B中总体量和样本量都不大，采用抽签法 答案：B 例2解析：(1)月工资收入落在(30,35]（百元）内的频率为 1-(0.02+0.04+0.05+0.05+0.01)×5=1-0.85= 0.15,所以在(30,35]（百元）工资收入段应抽出的人数为 100×0.15=15(人). (2)样本数据落在区间[10,40)内的频数为2十3十4=9， 样本容量为20，故样本数据落在区间[10,40)内的频率为 20=0.45. 答案：(1)15(2)B 例3解析：1)平均数为号(2+8+14+16+20) =1×60=12. 5 (2)低于60分的频率为0.005×20+0.01×20=0.30， :该班的学生人数为=40人 0.30 (3)(0.004+0.019+0.022+0.025+x+0.01+0.005) ×10=1, 解得x=0.015, 因为(0.004+0.019+0.022)×10=0.45<0.5， 0.45+0.025×10=0.7>0.5, 所以中位数在区间(120,130)中， 设中位数为y, 则(0.004+0.019+0.022)×10+(y-120)×0.025=0.5, 解得y=122, 即中位数为122. 答案：(1)C(2)B(3)0.015122 例4解析：(1)75%×20=15， 第75百分位教为14生5-15. .86%×20=17.2, .第86百分位数为第18个数据17. (2)由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所 占的比例为(0.01+0.15+0.15+003)×10×100%= 70%,分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01+ 0.015+0.015+0.03+0.0225)×10×100%=92.5% 因此，80%分位数一定位于[120,130)内. 因为120+0209×101244， 所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44. 答案：(1)14.517(2)124.44 第十章概率 例1解析：(1)要明确在试验中，虽然随机事件发生的频率 m不是常数，但它具有稳定性，且总是接近于某个常数， 在其附近波动，这个常数叫做频率，所以随机事件发生的 频率和它的概率是不一样的.由此可知①②③都是不正 确的. (2)连续授篮两次，共有结果3种，即恰有一次投中，两次 都投中，两次都不中，所以至少一次投中的互斥事件为两 次都不中 答案：(1)A(2)D 例2解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分 别为3,1,2 (2)(ⅰ)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所 有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A), (A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3, A4),(A3,A),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A)共 15种. (ⅱ)编号为A;和A,的两名运动员中至少有1人被抽到 的所有可能结果为(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5),(A2, A6),(A3A5),(A3,Ae),(A4,A5),(A4,A),(A5,A)共 9种 因此：李件A支生的机车PA=是一昌 例3解析：(1)由题意知“出现奇数点”的概率是事件A的概 率，“出现2点”的概率是事件B的概率，事件A,B互斥， 则“出现奇载点或2点”的概率为P(A十P(B)=合十日 (2)设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支 付，则P(AUB)=P(A)+P(B)+P(AB),因为P(A)= 0.45,P(AB)=0.15,P(AUB)=0.45+P(B)+0.15 1,所以P(B)=0.4. 答案：号(2B 例4解析：(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对 这道题”分别为事件A,B,C,设乙答对这道题的概率 P(B)=x,由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A, B,C是相互独立事件.由题意可知，P(A)=子，PAB)= PAPB)=(-是）×1-)=立解得x=号，所以 乙答对这道题的概率为P(B)=2 3 (2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件 M,丙答对这道题的概率P(C)=y,由题可知，P(BC)= PB·PO=号Xy子解得y=景所以PO)=是 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P(ABC)= P(A)P(B)P(C)=(1-)×-号)×(-)=品 所以“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”的概率 为P(M0=1-96-96: 591