四川省成都市石室中学2025-2026学年高一上学期12月数学专项练习

**基本信息** 以函数性质与三角变换为核心，通过分层题型系统整合集合逻辑、不等式应用等模块，提炼定义法、参数分离等可迁移解题方法，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|2题|子集关系判断、充要条件定义法|集合概念→逻辑关系推导| |函数性质|4题|奇偶性定义验证、单调性分析法|函数定义→性质判定→值域求解| |三角变换|3题|周期公式应用、图像变换法则|三角函数定义→图像性质→综合应用| |不等式应用|3题|恒成立问题参数分离、判别式法|不等式性质→含参问题转化→范围确定|

石室中学高2028届数学定时练习 一、单项选择题（本题共7小题，每小题5分，共35分） 1. 若，，，则、、的关系是（     ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（     ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 3. 若，，则（     ） A. B. C. D. 4. 化简（     ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（     ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（     ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（     ） A. 函数是偶函数 B. 函数的值域为 C. 存在实数，使得 D. 函数的图像关于直线对称 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8. 有以下四个结论，其中正确的有（     ） A. B. C. 若，则 D. 9. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则的值可能是（     ） A. B. C. D.2 10. 已知函数，则下列结论正确的是（     ） A. 函数是偶函数 B. 函数的最小正周期为2 C. 函数在区间存在最小值 D. 方程在区间内所有根的和为10 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 已知，则            . 12. 函数的单调递增区间为            . 13. 若对任意实数，恒成立，则的最大值为            . 四、解答题（本题共4小题，14~16题15分，17题17分，共62分） 14. 计算： （1） ； （2） ； 15. 设函数 （1） 求函数的最小正周期和单调递增区间； （2） 求函数的值域 16. 已知函数. （1） 若不等式的解集为，求实数，的值； （2） 当时，对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数的最小正周期为，且点是其图象的一个对称中心。 （1） 求函数的解析式； （2） 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，令再令函数。 （ⅰ） 是否存在实数使得函数的最大值为2？若存在，求出实数的值及此时的取值集合，若不存在，请说明理由； （ⅱ） 若函数在内恰有2027个零点，求实数与的值。 《2025年12月29日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C A B C AB ACD AD 1. 【详解】锐角是第一象限角，而第一象限角不一定是锐角，如角，因此是的真子集，错误； 角是第一象限角，而大于，因此不是的子集，错误； 角是第一象限角且是小于的角，而角不是锐角，，错误； 锐角是大于小于的角，因此是的真子集，，正确. 故选： 2. 【详解】不等式， 因为是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选： 3. 【详解】. 故选： 4. 【详解】原式 . 故选：. 5. 【详解】， 由于，所以，结合， 故，所以， 故选： 6. 【详解】因为，所以； 因为，所以，。 所以。 所以，即。 故选：。 7. 【详解】，， ，即函数的定义域为， ， ， 所以函数是奇函数，选项错误； 令，，， 当时，，，即，， ，， 当时，， 函数在上单调递增，即， 函数，选项错误； ，， ，有解，C选项正确； 此时不恒成立，D选项错误. 故选：C. 10. 【详解】中，，故正确； 中，，故正确； 中，若，则，故错误； 中，，而没有意义，故错误. 故选：. 9. 【详解】依题意可得，且，解得， 所以符合题意. 故选： 10. 【详解】因为， 而，所以是偶 函数，选项正确； 因为，，，所以不是的最小正周期，选项错误； 当时，，所以 因为，所以在区间上单增，在区间上单减， 所以在区间存在最大值，不存在最小值，选项错误； 易知，且的最小正周期为， 当时，，所以 ， 因为， 由，得， 所以，解得， 当时，，所以， 因为， 由，得， 所以或，解得或， 又周期为4， 所以在内有5个根，分别是，，，，， 所以方程在区间内所有根的和为10，选项D正确； 故选：AD. 11. 【详解】。 故答案为：。 12. （开闭均可） 【详解】由，可得， 令， 解得， 即函数在的单调增区间为。 故答案为：（开闭均可） 13. 【详解】注意到中，系数相同，不妨令，得或， 又对任意实数恒成立， 则当时有，当时有，则有。 下面检验是否能取到。 当时， 恒成立， 当时有恒成立，显然不成立， 则，且恒成立， 故，解得，， 此时对任意实数，恒成立，所以。 故答案为：。 14.（1） （2） （1）【详解】原式。 故答案为：。 （2）【详解】 。 故答案为：。 15.（1）； （2） 【详解】（1）， 因为，所以的最小正周期为； 当时，解得， 得的单调递增区间为。 （2） ， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，； 所以的值域为， 即函数的值域。 16.（1）；（2） 【详解】（1）由题意可知，且的两根为和， 由根与系数的关系得，解得； （2）当时，。 所以对恒成立对恒成立， 因为当时，，所以对恒成立， 由一次函数性质得，解得。 故的取值范围为。 17.(1) （2）（i） 存在，答案见解析；（ii） 【详解】（1）由且，得， 故， 因为为函数的一个对称中心， 所以，得， 由于，即，则， 因此。 （2）由题意，函数的图象向右平移个单位，得到的图象， 再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以。 则； （i） ， ①若，即时，，由得， 当时，，解得或，， 当时，，解得或，； ②若，即时，，由得（舍去）； ③若，即时，，由得（舍去） 综上所述：存在实数符合题意， 当时，对应的的取值集合为或，； 当时，对应的的取值集合为或，。 （ii） 因为，令， 设，，则， 该方程的判别式， 所以该方程有实根，设为，，，显然两根异号， ①若，， 则方程，在内都有偶数个根， 所以方程在内总有偶数个根，不符合题意； ②若，，则此时， 当时，只有一个根，有两个根， 所以有三个根，由于， 所以在内有个根， 由于方程在内只有一个实根，没有实根， 所以方程在内有个实根，在 内有个实根，不符合题意； ③若，，则此时， 当时，只有一个根，有两个根， 所以有三个根，由于， 所以在内有个根， 由于方程在内没有实根，有两个实根， 所以在内有个实根，此时， ，符合题意； ④若，， 此时方程在总有偶数个根，不合题意； 综上，，。 （另解）由（i）知，令， 当，即时，，从而不是方程的 解， 方程等价于方程，。 令，， 的图象在区间内关于直线对称，则的图象在区间内关 于直线对称，， 则时，直线与曲线在区间内总有偶数个交点； 的图象在区间内关于直线对称，则的图象在区间 内关于直线对称，， 则时，直线与曲线在区间内总有偶数个交点。 所以当时，直线与曲线在区间内总有偶数个交点，从而不 存在正整数，使得直线与曲线在区间内恰有个零点； 当或时，直线与曲线在内有个交点（在两个 区间内为或个）， 由周期性，， 当时，由于直线与曲线在内有个交点，在 内有个交点，在内有个交点，此时不满足题意； 当时，由于直线与曲线在内有个交点，在 内有个交点，所以在内有个交点，此时，满足 题意。 综上，当，时，函数在区间内恰有个 零点。 学科网（北京）股份有限公司 $