第八章 立体几何初步-【创新教程】2026年辽宁省普通高中学业水平合格考数学热点专练（山东省通用）

必修第二册 第七章复数 例1解析：1)：复数=m+m一6+(m2-2m)i为纯虚 m≠0， 数， m2+m-6=0,解得m=-3. m2-2m≠0 (2)若a=0,则x=bi, .2=(bi)2=一b2为实数， ∴.a=0→x2为实数； 若x2为实数，(a+bi)2=(a2-b)+2abi, 则有2ab=0,∴.a=0或b=0, ∴.2为实数羚a=0, ∴“a=0”是“2为实数”的充分不必要条件. 答案：(1)B(2)A 例2解析：(1)由题知(1十3i)(3-i)=3-i+9i-32=6十8i, 所以该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象 限.故选A. (2)因为x+xi=1+yi,所以x=y=1, 所以|x+yi川=|1+il=√/12+12=√2. 答案：(1)A(2)B 例3解析：(1)由(1+5i)i=一5+i,即知虚部为1，选C. (2)x1-x2=(7-6i)-(4-7i)=(7-4)+ [-6-(-7)]i=3+i, 答案：(1)C(2)A 例4解析：(1)(3十2i)i=3i+2=一2+3i. (2)因为= +会一所以区=所以g一8=i 故选A. 答案：(1)B(2)A 第八章立体几何初步 例1解析：(1)根据棱柱的结构特征知①，④正确；由棱台的 结构特征知②，③不正确， (2)可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折 成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不 能折成正四面体， 答案：(1)A(2)C 例2解析：(1)因为∠D'A'B′=45°，由斜二测画法规则知 ∠DAB=90°，又因四边形A'B'C'D'为平行四边形，且 AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形. (2)因为A'D'∥y轴，A'B'∥CD',A y外D B'≠CD',所以原图形是一个直角梯 形，如图所示 A 又A'D'=4, 所以原直角梯形的上、下底及高分别0E 是2.5,8，此共面报为S=合×(2+5) ×8=28. 答案：(1)正方形(2)28 例3解析：(1)圆柱的轴截面是面积为8的正方形，设圆柱的 底面半径为R,高为h,则(2R)2=8,∴.R=√2，h=2R= 2√2.∴.该圆柱的表面积为2·πR2+2πRh=2πX(W2)2+ 2π×√2×2√2=12π. （2)设国维的高为h,则号×元×12Xh-云，解得h=3。 3 (3)长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R √/12+22+32=√14， 所以球的表面积S=4πR2=14元. 答案：(1)B(2)B(3)14π 例4解：1如图0C=2×4巨 =2√2，所以棱锥的高为h= M √16-8=2V2. 棱锥的斜高h'=√16-4=2√5， A 所以其表面积为S表=16十4× 2×4X25=16+16E ②)放台的体积为V=号×16×2厄-}×4X厄-答巨 例5解析：(1)三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以 三角形确定一个平面，正确。 (2)对于A,若∥n,则α∥B或&与B相交，故A错误； 对于B,若a⊥B,则m∥n或m与n相交或m,n是异面直 线，故B错误； 对于C,若a∥B,则m∥n或m,n是异面直线，故C错语； 对于D,根据平面与平面垂直的判定定理知，D正确. 答案：(1)A(2)D 例6证明：如图，连接A1B,CD1,显然B∈ 平面A1BCD1, D1∈平面A1BCD1,.BD1C平面 A BCD1. 同理BD1C平面ABC1D1. .平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1. ,A1C∩平面ABC1D1=Q, .Q∈平面ABC1D1. 又A1CC平面A1BCD1,∴.Q∈平面A1BCD1. 点Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q ∈BD1, 故B,Q,D1三点共线. 例7解析：(1)，B1D1∥BD,BDC平面BDC1,B1D1史平面 BDC1∴.B1D1∥平面BDC1. (2)A中的两直线也可能相交、异面，A错；B中的该直线 也可能与平面内的直线异面，B错；C中的该直线也可能 在其中一个平面内，C错；只有D正确. 答案：(1)D(2)D 例8解：(1)连接DE,OF,设AF=tAC,则BF=BA十AF (1-1)BA+i BC.AO--BA+2BC. BF⊥AO, 则BF·AO=[(1-)BA+LBC]· (-BA+7BC)-(-1)BA+BC =4(t-1)+4t=0, 解得1=，则F为AC的中点，由D,E0.F分别为PB, PA,BC,AC的中点， 于是DE∥AB,DE=AB,OF/AB: OF-AB.DE//OF,DE-OF. 则四边形ODEF为平行四边形， EF∥DO,又EF丈平面ADO,DOC平面ADO,所以EF ∥平面ADO. (2)过P作PM垂直FO的延长线交于点M, 因为PB=PC,O是BC中点，所以POLBC, 在R△PB0中，PB=6,B0=2BC=E. 所以PO=√PB2-OB2=√6-2=2， 因为AB⊥BC,OF∥AB,所以OF⊥BC, 又PO∩OF=O,PO,OFC平面POF, 所以BC⊥平面POF,又PMC平面POF, 所以BC⊥PM,文BC∩FM=O,BC,FMC平面ABC, 所以PM⊥平面ABC, 即三棱锥P一ABC的高为PM, 因为∠POF=120°，所以∠POM=60°， 所以PM=POsin60°=2X5=5, 又5aAc=2AB·BC=2×2X22=2VE, 所以Vp-ABC= Saw·PM=}×22X5=2后 3 例9解析：m∥n,n⊥B,∴m⊥B. 又mCa,a⊥B. 答案：C 例10解：(1)证明：PA=PD,且E为AD中点， .PE⊥AD .'平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD= AD,PEC平面PAD .PE⊥平面ABCD, ,BCC平面ABCD, .PE⊥BC (2).·四边形ABCD为矩形， .CD⊥AD :平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, CDC平面ABCD, .CD⊥平面PAD, PAC平面PAD, .CD⊥PA. :PA⊥PD,且CD,PDC平面PCD,CD∩PD=D. ∴.PA⊥平面PCD .PAC平面PAB, .平面PAB⊥平面PCD 第九章统计 例1解析：选项B中总体量和样本量都不大，采用抽签法】 答案：B 例2解析：(1)月工资收入落在(30,35]（百元）内的频率为 1-(0.02+0.04+0.05+0.05+0.01)×5=1-0.85= 0.15,所以在(30,35]（百元）工资收入段应抽出的人数为 100×0.15=15(人).第八章 立体 考点典例 考点1空间几何体的结构 例1(1)下列说法中正确的是 () ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底 面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯 形；④棱柱的侧面是平行四边形. A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ (2)如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥） 的展开图的是 ① A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 考点2直观图 例2(1)如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原 图形四边形ABCD的形状为 y D∠ C 1 A'2 B' (2)如图是四边形ABCD水平放置的直观图A'B'CD', 则原四边形ABCD的面积是 y D' 4 2 一B' A'5 0'E 考点3空间几何体的表面积与体积 例3(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过 直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的 正方形，则该圆柱的表面积为 () A.12√2π B.12π C.8√2π D.10π (2)已知圆锥的底面半径为1，体积为5，则该圆锥的 3 高是 ( A.1 B.√3 C.2 D.3 (3)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一 个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积 为 28 何初步 名师点津 1.(1)基础题判断一个几何体是何种几何 体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征， 注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如 棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公 共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”等. (2)中档题绘制多面体的表面展开图要结 合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或 者是亲手制作多面体模型，在解题过程中， 常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体 的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可 得到其表面展开图 2.(1)基础题由直观图还原平面图形关键 有两点： ①平行x'轴的线段长度不变，平行y轴线段 扩大为原来的2倍： ②对于相邻两边不与x'、y轴平行的顶点， 由x'轴，y'轴平行线变换确定其在xOy中 的位置 (2)基础题解答直观图计算问题时，一要 注意角度的变化；二要注意长度的变化. 3.(1)基础题先画出几何体，再由表面积 公式计算. (2)基础题把握圆锥的体积公式V圆锥= 3x,2·h是计算圆锥体积的关键，设出需求 1 的量，代入公式求解即可 (3)中档题求组合体的表面积与体积的 方法 ①分析结构特征 弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何 体的关键量. ②设计计算方法 根据组成形式，设计计算方法，特别要注意 “拼接面”面积的处理.利用“切割”、“补形” 的方法求体积. ③计算求值. 例4如图，已知四棱锥P-ABCD的底面边长与侧棱的长度都是4， ABCD是正方形. (1)求该四棱锥高和表面积： (2)若M为棱锥的高PO的中点，过点M作平行于棱锥底面的截 面，求截得的棱台的体积. 考点4空间点、直线、平面之间的位置关系 例5(1)在空间中，下列结论正确的是 () A.三角形确定一个平面 B.四边形确定一个平面 C.一个点和一条直线确定一个平面 D.两条直线确定一个平面 (2)已知m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，mCa,nC B,则 () A.若m∥n,则a∥3 B.若a⊥B,则m⊥n C.若a∥3，则m∥n D.若m⊥B,则a⊥3 —29 4.中档题求几何体体积时需 注意的问题： 柱、锥、台的体积的计算，一般要 找出相应的底面和高，要充分利 用截面、轴截面，求出所需要的 量，最后代入公式计算. 5.(1)基础题在处理点线共 面、三点共线及三线共点问题 时，初步体会三个基本事实的作 用，突出先部分再整体的思想 (2)中档题判断空间点、线、面的 位置关系应注意： ①注意判定定理与性质定理中 易忽视的条件，如线面平行的条 件中线在面外易忽视 ②结合题意构造或绘制图形，结 合图形作出判断. ③会举反例或用反证法推断命 题是否正确、 例6如图，在正方体ABCD一A1B1CD1中，设A1C与平面 ABC1D1交于点Q,求证：B,Q,D1三点共线. 考点5平行关系 例7(1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列与平面 BDC1平行的直线是 () D B A.AA B.AC C.BC D.BD (2)下列结论正确的是 A.平行于同一个平面的两条直线平行 B.一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平 行 C.与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面 D.平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这 个平面平行 -30 6.证明点共线的方法 证明三个或三个以上的点在同 一条直线上，常用以下两种方 法： (1)先找出两个平面，然后证明 这些点都是这两个平面的公共 点，确定这些点都在这两个平面 的交线上； (2)选择其中两点确定一条直 线，然后证明其他点也在这条直 线上. 7.(1)基础题考查线面平行的 判定定理， (2)如果已知条件中给出线面平 行或隐含线面平行，那么在解决 过程中，一定会用到线面平行的 性质定理.在应用性质定理时， 关键是过已知直线作辅助平面 与已知平面相交，所得交线与已 知直线平行. 例8如图，在三棱锥P一ABC中，AB⊥BC, AB=2,BC=2√2，PB=PC=√6，BP,AP, BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上， BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO: (2)若∠POF=120°，求三棱锥P一ABC的 体积. 考点6垂直关系 例9对于直线m,n和平面a,B,能得出a⊥3的一个条件是() A.m⊥n,m∥a,n∥B B.m⊥n,a∩B=m,nCa C.m∥n,n⊥β，mCa D.m∥n,m⊥a,n⊥3 例10如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证：PE⊥BC; (2)求证：平面PAB⊥平面PCD; E -31- 8.中档题应用判定定理证明 面面平行的关键在于： (1)准确探寻某一平面内的两条 相交直线，这有赖于问题的分 析、图形的观察； (2)将面面平行问题直接转化为 线线平行问题 9.基础题考查线线、线面 垂直的判定，注意垂直关系的相 互转化. 10.中档题当直线和平面垂直 时，该直线垂直于平面内的任意 一条直线，常用来证明线线 垂直.