第五章 三角函数-【创新教程】2026年辽宁省普通高中学业水平合格考数学热点专练（山东省通用）

例9解析：(1)令f(.x)=3r一(3-x), .f(0)=30-(3-0)=-2<0, f(1)=31-(3-1)=1>0,.f(0)·f(1)<0, .方程3r=3一x的根所在区间为(0,1). (2)由题意知，函数零，点在区间(1.5562,1.5625)内，又 零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. (3)区同1，)的中点a1告号 fa)=f()(受)-（侵）-6=- 答案：B(21.56(8)-号 例10解：(1)最初的质量为500g, 经过1年，w=500(1-10%)=500×0.91, 经过2年，w=500×0.92, ……, 由此推出，t年后，w=500×0.9. (2)解方程500×0.9=250. 0.9=0.5,lg0.9=lg0.5, 1089品66… 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年 第五章三角函数 例1解析：(1)利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是 负角，又网角为360°，所以360X2=60°.即分针走过的角 度是一60°.故选D. (2)因为a是第三象限的角，则2十<a<26x+径，k∈乙， 所以-红十晋<x-a<-kx十受k∈Z,故元-2a是 第一或第三象限角」 (3》由题意及三角画款的定义，可得n&=骨0月=一是， 5 所以smms2×（）= 3.故选B. 1 答案：(1)D(2)B(3)B 例2解析：(1)由cos0tan00, (cos 0 (cos <0 ,或 ,日在第三、四象限. ltan 0<otan o0 (2)11.2,1.5均在(0，）内，正弦函数y=sinx在 (0,受）内是增函数…sin1.5>sin1.2>sin1. 答案：(1)C(2)C 3 例3解：(1)-2sin10cos10 sin10°-√/1-sin210 √(cos10°-sin10)z_|cos10°-sin10°1 sin10°-√/cos210 sin10°-cos10 cos10°-sin10 sin10°-cos10 =-1. (2)由于sina·tana<0,则sina,tana异号，∴a是第二、 三象限角，c0sa<0, 1-sin a 1+sina」 /(1-sina)2 (1+sin a)2 1+sin a 1-sin a 1-sin a 1-sin a 11-sin al1+sin al1-sin a+1+sin a 2 Icos al I cos al -coS a cos a. 例4解析：I):△ABC中，cos(B+C)=2 1 =-cos A, 即msA=一号A-经 31 (2)原式= sin a-cos a -2sin a+cos a =tana-1=2-1_1 1-2tana1-4 -3 答案：1肾(2②)司 例5解析：1)要得到y=3sin(x-变)的图象，只需将y 3sinx的图象上所有点向右平移个单位. (2)画数fx的最小正周期T=2红=4元 1 (3)国为f)=sim(否-2x）所以f)= m(2a-晋)因为x∈[0，x],所以2x- 6 6 3 6 函教f)=sm(答-2x(x∈[0，])的单调递增区间是 [紧]故选C 答案：(1)D(2)C(3)C 例6解析：(1)sin acos 5 .a+54 +2kx,或a+=3r+2km,k∈Z, 4 +2成。-贵+∈Z 即a=20 令k=0,则a=20 11π (2)sin75°=sin(30°+45)=sin30cos45°+cos30°sin45° 2十2人2 4 (3)y=2sin x-cos x=v5sin(x+o). ”x十g=受十2kxk∈Z)时，sinx十g)=1, .原函数的最大值为√5. 答案：(1)B(2)2+6 (3)√5 4 2x(号) 例7解析：(1)tan2a= 2tan a 12 1-tana 1-() (2)0s25°-sin25 -cos10° c0s10°=2. sin40°cos40° 1 2sin80° 2cos10° 故选B （3)原式=ir15+caw215+n15cos15°=1+分n30 =1+- 答案：(1)B(2)B(3)C 例8解：0<a<受， co(a-t）=至+sin&sin =4x2+3×2_72 5252=10 9解折：ma-=25(-吾<eK0. 5 sin 2a=3 v10 10 ,∴.cos(a十B)=cos[2a-(a-3)] =cos 2acos(a-B)+sin 2asin(a-B) :a+8e(0x)∴a+B=3平 答案： 例10解：1f)=5inx+2osx+号-sin(e+晋)十 令x十答=x十受(k∈Z),整理得x=kx十号(k∈ Z),所以画数图象的对称轴方程为x=x十于（∈Z). (2)由1)得fx)=sim(r+吾)十 由于x∈[一元，0]，所以 6 则-1≤sim(+吾)<2，所以-2<fx)≤1， ÷画数f)的值城为[一1小 第六章平面向量 例1解析：对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方 向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误； 对于③，由a=|b,只能说明a,b的长度相等，确定不了 它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误. 对于⑤，当b=0是不正确. 答案：A 例2解析：(1)若]入<0，使m=入n,即两向量反向，夹角是 180°，那么m·n=mlnl cos180°=-mn<0,若m· <0,那么两向量的夹角为(90°，180]，并不一定反向，即 不一定存在负数入，使得m=,所以是充分不必要条件， 故选A. (2):AB=2AD, ∴CD=AD-AC=2AB-AC 答案：(1)A(2)A 例3解：1)廷长AD到G,使市-号 AG,连接BG,CG,得到平行四边形B ABGC, 所以AG=a十b, A市-=(a+b, A应-号A方=号a+b, A京-2AC-2b: B成-A正-A店=号(a+b)-a=子h-2a, 亦-A求-Ai=号b-a=2b-2a. (2)证明：由()可知B正-号B, 又因为BE,BF有公共点B, 所以B、E、F三点共线第五章 考点典例< 考点1任意角和弧度制 例1(1)喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟， 则10分钟时间钟表的分针走过的角度是() A.30° B.-30 C.60° D.-60° (2)若e是第三象限的角，则x一：是 () A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角 (3)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的 始边，如果角α，3的终边分别与单位圆交于点 张)知-音·)那么nasg ( A.95 B昌 c清 D. 65 考点2任意角的三角函数 例2(1)已知cos0·tan0<0,那么角0是() A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C,第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 (2)比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系是() A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5 考点3同角三角函数的基本关系 例3化简下列各式： (1)V1-2sin10°cos10 sin10°-√/1-sin210° (2) 1-sin a 于sina,其中sina·tana<0. 1+sin a1-sin a —20 角函数 名师点津 1.(1)基础题要确定一个角的大小，不仅要看 它的始边与终边的位置，而且要看它是如何旋 转而成的.显然正角大于零角，零角大于负角. (2)基础题解决此类问题，明确α的取值范围 之后，进一步确定出ma或&的取值范围，再根 m 据k与m的关系进行讨论. (3)基础题利用定义求出α的三角函数值，其 关键是求出终边上的点P到原点的距离r.由三 角函数定义得na=,c心a一，ana=兰 2.(1)基础题由三角函数符号确定角α的终边 所在象限时，应首先依据题目中所有三角函数 值的符号，分别确定角α的终边所在的象限，则 它们的公共部分即为所求. (2)基础题利用三角函数图象比较三角函数 值的大小时，一般分三步： ①角的位置要“对号入座”；②确定三角函数在所 给区间上的单调性；③确定三角函数值的大小. 3.中档题化简三角函数式的常见方法有： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数. 从而减少函数名称，达到化简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方 式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于 因式分解，或构造sin2a十cos2a=1,以降低函 数次数，达到化简的目的. 考点4诱导公式 例4(1)已知A、B、C为△ABC的三内角，若cos(B+ C0=2则A= sina-8x)+sin(- (2)已知tana=2,则2sin(x+a)+cos(-a 、1的值 为 考点5三角函数的图象和性质 例5(1)为得到函数y=3simx- π 12 的图象，只需将 函数y=3sinx的图象上所有的点 A.向左平移灭个单位 4 B.向右平移灭个单位 C向左平移2个单位 D.向右平移多个单位 (2)函数fx)=sin2x,z∈R的最小正周期是（） A.π B.2π C.4π D.2 π (3)函数f(x)=sim否-2x(x∈[0，x])的单调递 增区间是 A. B(至 c[,] D.[ 考点6两角和与差的正弦、余弦和正切公式 灭一臣，则a可以是 例6()若sin acos十cos sin- A.9 20 B.20 C.-20 19π 21π D.20 (2)sin75°= (3)函数y=2sinx一cosx的最大值为 21 4.(1)基础题解决给值求值问题，要先分析 “已知角”（给出三角函数值的角）和“被求角” (需求三角函数值的角)之间的关系，设法用“已 知角”表示“被求角”，然后再选择公式化简 求值. (2)中档题本题基本思路： ①利用诱导公式化简. ②运用同角函数关系向已知条件转化. ③代入求值. 5.(1)基础题由y=sinx的图象，通过变换 可得到函数y=Asin(awx十p)(A>0,w>0)的 图象，其变化途径有两条： 相位变换 ①y=sinx 周期变换 y=sin(x+o)- y 振幅变换 =sin(wxo) y=Asin(wx十9). 周期变换 相位变换 ②y=sinx →y=sinw.x y sin[o(x+)]-sin(ox+p)- 振幅变换 ω y=Asin(wx+o). 注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量 也有所不同：一是先相位变换后周期变换，平移 |个单位；二是先周期变换后相位变换，平移 个单位：这是很易出错的地方，应特别注 ω 意. (2)基础题本题考查函数的周期，一般地y= Asin(ar十p的周期T-。 (3)中档题本题主要考查三角函数的单调性， 对于y=sinx,其单调增区间为 [2kx一2,2x+]k∈Z,其单调减区间为 [2r+否，2x+]∈Z.对于y=0sx,在 [一π十2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π +2kπ](k∈Z)上单调递减. 6.(1)基础题该题属于给值求值题，解答此类 题的关键在于先用S。±公式分析一下待求的 问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知的 向已知进行转化.解题过程中须多加注意角的 范围，必要时进行拆分角. (2)基础题本题考查的给角求值问题，其解题 的关键是把非特殊角化为特殊角，再利用和差 公式或倍角公式求解。 (3)基础题把形如y=asin r十bcos x化为y= √a2+bsin(x十p),可进一步研究函数的周期、 单调性、最值与对称性. 考点7二倍角的正弦、余弦、正切公式 例7(1)已知ama=一号，则tan2a的值为 ( A号 B.、12 5 c号 D-器 (2)化简0s25°-sin25° sin40cos40°- A.1 B.2 C.-2 D.-1 (3)c0s275°+c0s215°+c0s75°c0s15°= ( c D.1+3 4 考点8已知函数值求值（或角） 例8已知sima= 3 0a<}: 5 求cosa-平的值。 、例9若cos(a)三5cos2a二。0，并且aB均为锐角且e 3,则a+3的值为 考点9函数的综合应用 例10已知函数fx)-mx+osx+2 (1)求函数f(x)的图象的对称轴方程； (2)求函数f(x)在区间[一π，0]上的值域. 22 7.(1)基础题解决此类题目的关键 是根据所给式子的特征，利用三角公 式化简. (2)基础题根据三角函数式的特征， 经过适当变形，进而利用公式，获得三 角函数式的值，在变形中一定要整体 考虑式子的特征. (3)中档题对含有三角函数的平方的 式子进行处理时，一般要用降幂公式： cosa-1 cos 2a,sina1cos 2a 2 2 8.中档题本题是条件求值问题，条 件求值问题的“三看”原则： 一看角，注意已知角与所求角之间的 关系，恰当地运用拆角、拼角技巧； 二看名，恰当利用同角三角函数关系 进行转换，尽量减少函数名称； 三看式子的结构与特征，恰当选择 公式. 9.中档题此类问题： (1)结合条件求出所求角的一种三角 函数值. (2)利用已知条件确定所求角的范围， (3)运用三角函数的值断定所求角的值. 10.中档题①分析运算条件，确定合 理的运算方向，解决三角函数式的基 本运算，求解时应注意三角函数的符 号. ②对于这种形式的运算，要做到应用 公式准确、计算方法简洁、运算速 度快.