第四章 指数函数与对数函数-【创新教程】2026年辽宁省普通高中学业水平合格考数学热点专练（山东省通用）

第四章 指数函数与对数函 考点典例 考点1指数与对数的运算 例1计算5×1.5×12的结果为 A.6 B.2√3 C.3√3 D.3 例21g√2+1g√5= 1 A.0 B.2 C.1 D.2 考点2指数函数 例3(2025·上海卷，14)设a>0,s∈R,下列各项中，能推出a>a的 一项是 () A.a>1,且s>0 B.a>1,且s<0 C.0<a<1,且s>0 D.0<a<1,且s<0 例4已知实数a>0,定义域为R的函数f()=3+是偶函数. a (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性并用定义证明； (3)是否存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t一2)<f(2t一 m)恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 考点3对数函数 例5(1)已知函数f(x)=log(x-m)+n的图象恒过定点(3,5)，则 lgm十lgn的值是 (2)函数f(x)=logs(2x+1)的单调增区间是 17 数 名师点津 1.基础题用分数指数幂进行 根式运算，应先将根式化为分数 指数幂，再根据运算性质计算. 2.基础题对数运算的一般思 路是利用幂的运算把底数或真 数进行变形，化成分数指数幂的 形式，使幂的底数最简，然后正 用对数运算性质化简合并. 3.中档题根据指数函数的单 调性判断求解即可. 4.难题(1)利用偶函数定义求a. (2)判断函数在(0，+∞)上的单 调性. (3)根据函数单调性和奇偶 性，将函数符号∫去掉，得到 关于t的不等式，由恒成立问 题求解即可. 5.(1)求对数型函数图象所过定 点时，只需令真数等于1，求出 对应的x和y的值，即可得函数 的图象所过的定点 (2)由单调性，求参数范围，分解 复合函数为基本函数，分析出含 参数的基本函数单调性问题，注 意定义域 例6已知函数f(x)=1g(1一x)-1g(1+x). (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论； (3求证：fa)+f0)-f(牛 考点4方程的根与函数的零点 例7(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x,f(x)的对应 值表： 2 3 6 f(x) 15 10 7 6 -5 则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (2)设函数f(x)= 仁生若方和)有三个不问 的实数解，则实数k的取值范围是 () A.(-4,0] B.[-4,0) C.[-4,-3) D.(-4,-3] (3)函数f(x)=a.x十1一2a在区间(-1,1)上存在一个零点，则实数 a的取值范围是 例8已知函数f(x)=x2+.x一3(m∈R)的图象过点(2，一3).求： (1)m的值； (2)f(x)的零点. -18 6.难题(1)定义域关于原点对 称是函数具备奇偶性的前提. (2)利用单调函数的定义证明函 数的单调性 (3)考查对数的运算属计算型证 明题. 7.(1)基础题确定函数的零 点、方程的根所在的区间时，通 常利用零点存在性定理，转化为 判断区间两端点对应的函数值 的符号是否相反 (2)中档题一可化为函数的零 点判定 二可用两函数图象的交点判定 (3)直接根据题设条件构建关于 参数的不等式，再通过解不等式 确定参数范围 8.难题(1)考查二次函数配方 法和图象法 (2)判断函数零点的个数主要有 以下几种方法： 法一：直接求出函数的零点进行 判断； 法二：结合函数图象进行判断； 法三：借助函数的单调性进行判 断.若函数f(x)在区间[a,b]上 的图象是一条连续不断的曲线， 且在区间(a,b)上单调，满足 f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在 区间(a,b)上有且仅有一个零 点，如图所示 例9(1)方程3x=3-x的根所在区间是 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) (2)用二分法求函数f(x)=3x一x一4的一个零点，其参考数据如 下： f(1.6000)=0.200 f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067 f(1.5625)=0.003 f(1.5562)=-0.029 f(1.5500)=-0.060 据此数据，可得f(x)=3一x一4的一个零点的近似值（保留三位有 效数字)为 (3)已知二次函数f(x)=x2一x一6在区间[1,4]上的图象是一条连续的 曲线，且f(1)=一6<0，f(4)=6>0,由零点存在性定理可知函数在[1， 4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a,则f(a)= 考点6函数的模型及应用 例10一种放射性元素，最初的质量为500g,按每年10%衰减 (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； (2)根据(1)求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留 量为原来的一半所需要的时间).（精确到0.1；参考数据：1g3= 0.4771;lg5=0.6990) -19 9.(1)基础题二分法求方程近 似解的适用范围：在包含方程解 的一个区间上，函数图象是连续 的，且两端点函数值异号. (2)基础题二分法是求方程的 根的近似值的一种计算方法.其 实质是通过不断地“取中点”来 逐步缩小零点所在的范围，当达 到一定的精确度要求时，所得区 间的任一点就是这个函数零点 的近似值. (3)基础题“二分法”与判定函 数零点的定义密切相关，只有满 足函数图象在零点附近连续且在 该零点左右函数值异号才能应用 “二分法”求函数零点 10.(1)解决应用题的基础是读 懂题意，理顺数量关系，关键是 正确建模，充分注意数学模型中 元素的实际意义. (2)对数函数模型的一般表达式 为：f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数，a>0,a≠1).日=6+产=1+十22 2-D(6)+2=4. 当且仅当方=6-1，即6=20=合时，等号成主。 1 答案：(1)D(2)4 例5解析：(1)解方程x2-x一6=0，得x1=3,x2=一2， .不等式x2-x-6<0的解集为(-2,3).故选D. (2)方程(m-x)(n十x)=0的两根为m,-.,m十n>0, .m>一.结合函数y=(m-x)(十x)的图象，得原不 等式的解集是{x一n<x<m.故选B. 答案：(1)D(2)B 第三章函数的概念与性质 例1解析：由4一x2≥0得一2x2,由1一x>0得x<1 故A∩B={x|-2≤x≤2}∩{xx<1}={x|-2≤x<1} 选D. 答案：D 例2解析：由已知，1一x2≥0，解得-1≤x≤1. 答案：A 例3解析：f(2)=22=4. 答案：4 例4解：(1)，f(x)是R上的奇函数， ∴.f(-0)=-f(0),即f(0)=0. (2)x<0时，-x>0,.f(-x)=-x(1十x), f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x), .-f(x)=-x(1十x),f(x)=x(1+x)(x<0). (3)由(1)(2)，得f(x)的表达式为 「x(1x),x>0, f(x)=了0， x=0, x(1+x),x<0. 例5解：2=f(2)+f(2), 由f()=)-f) 可以变移为f)+f(仔）)fx), 令y=2号=2，即x=40=2, 则有f(2)+f(2)=f(4),.2=f(4). f(x)- (二)小≤2可以变形为 f[x(x-3)]≤f(4). 又·f(x)是定义在(0，十○)上的增函数， 〔x(x-3)≤4， .x>0, 解得3<x≤4. Lx-3>0, .原不等式的解集为{x3<x≤4}. 例6解析：(1)由图象知，y=xm在(0，+○)上单调递增，所 以m>0, 由于y=xm的图象增大的越来越慢，所以m<1,y=x” 在(0，+∞)上单调递减，所以0 又当x>1时，y=x”的图象在y=x1的下方， 所以n<-1. (2)因为a=4÷,b=4,c=25寸=5子，函数f(x)=x号在 (0,十o∞)上单调递增，所以4<5子，又4<4号，所以b< a<c. 答案：(1)B(2)A 例7解：因为m∈{m-2<m<2,m∈Z}, 所以m=-1,0,1. 因为对任意x∈R,都有f(-x)十f(x)=0, 即f(-x)=一f(x),所以f(x)是奇函数. 当m=-1时，f(x)=x2,只满足条件(1)而不满足条件(2)： 当m=1时，f(x)=x0,条件(1)、(2)都不满足. 当m=0时，f(x)=x3,条件(1)、(2)都满足，且在区间 [0,3]上是增函数，故f(x)=x3 所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]. 第四章 指数函数与对数函数 例1解析：原式=3×（侵）×12 =3X3*×2言X(22)X3 =3++古X2+时 =3×20=3,故选D. 答案：D 例2解析：lg√2+lg√5=lg√2·√5=lg√10. =2g10=2 答案：B 例3解析：本题考查了指数函数的单调性。 由题意知，当a>1时，若a>a,则s>l, 当0<a<1时，若a>a,则s<1,D正确. 答案：D 例4解：(1)因为定义城为R的函数f(x)=3子+是偶函 a 3x 款所以-)=)领或立即。+号-若+导 a 3x' 故（日-@）(3-3)=0恒成主，因为3-3不可能 恒为0，所以当-a=0时，f(-x)=f(x)恒成立.又 a a>0,所以a=1. 37 (2)画鼓x)=3+在(0，十©)上单羽递增，证明知 下：任取x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2,则f(x1)-f(x2) (3+）厂(+)-(-3)+（供） =(35-3)+33=35-3)(3·35-卫.因 3x1·322 3x1·322 为0<x1<x2,所以3<3x2,33,>1,322>1,所以 3,-3)3·3-D<0,即f(x1)-f(x2)<0,即 31·32 ffg),故画数f)=3+在0，十o©)上单阙 递增。 (3)不存在.理由如下：而(2)知函数f(x)在(0，十∞)上单 调递增，而函数f(x)是偶函数，则函数f(x)在（一○，0） 上单调递减.若存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式 f(t一2)<f(2t一m)恒成立，则t一2<2t一m恒成立， 即(t-2)2<(2t-m)2,即3t2-(4m-4)t+m2-4>0对 任意的t∈R恒成立，则△=[-(4m-4)]2-12(m2-4) <0,得到(m一4)2<0，此不等式无解，所以不存在. 例5解析：(1)因为函数y=logx(a>0且a≠1)的图象恒 过定点(1,0)，又函数y=logx的图象向右平移m个单 位长度，再向上平移n个单位长度，即可得到函数f(x)= log(x一m)十n的图象，则函数f(x)=log(x一m)十n的 图象恒过定点(1十m,n.又函数f(x)=loga(x一m)十n的 图象恒过定点(3,5)，故1十m=3,n=5,即m=2,n=5,所 1g m+lg n=lg 2+1g 5=1g 10=1. (2)要使y=log(2x十1)有意义， 则2x+1>0,即x>-2, 令u=2.x+1,则y=log5u, 而y=l0g5u为(0，十o∞)上的增函数， 当>-合时， u=2x十1也为R上的增函数， 故原画数的单调增区间是（子，十∞） 答案：11(2(7+∞】 例6解：(1)f(x)的定义域为(-1,1).因为f(-x)= 一f(x),所以f(x)是奇函数. (2)f(x)在（一1,1）内是减函数.证明如下： 设-1<x1<x2<1, 则f(x1)-f(x2)=lg(1-x1)-lg(1+x1)-lg(1-x2)+ lg(1+x2)=[lg(1-x1）-lg(1-x2)]+ [1g(1+x2)-lg(1+x1]. -1<x1<x2<1, 3 .1>-x1>-x2>-1, 1-x1>1-x2>0,1+x2>1+x1>0. lg1-x1)>lg(1-x2),lg(1+x2)>lg(1+x1). ∴.lg(1-x1)-lg(1-x2)>0, lg(1+x2)-lg(1+x1)>0. ∴.f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 故f(x)在（一1,1）内是减函数. （)证明：fe)=1g1-)-g1+)=lg卡产 g-lg(I+a)(1+6) ,1一&十lg1+b :.f(a)+f(b)=lEjFa (1-a)(1-b) 1-a-b+ab -lg jFa+b+ab a+b 1- I+ab-a-b 1+Q+b 1+ab+a+b' 1+ab ∴f@)+f)=f(品) 例7解析：(1)由题表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)< 0,f(4)·f(5)0,又函数f(x)的图象是连续不断的，故 函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. (2)作出y=f(x)的图象如图. 由图知一4<k一3. (3):函数f(x)的图象为直线，由题意可得 f-1f)<0(-a+1D-a)<0,解得号<a<1. ·实数a的取位范国是（行）片 答案：(1)B(2)D 8(3) 例8解：(1)因为函数f(x)的图象过，点(2，一3)，所以f(2)= -3,即4+2m-3=-3, 解得m=-2. (2)由(1)得f(.x)=x2-2.x-3,令f(.x)=0,即x2-2x 3=0.解得x=3,或x=-1, 所以，函数f(x)的零点为3，一1. 例9解析：(1)令f(x)=3x-(3一x), .f(0)=30-(3-0)=-2<0, f(1)=31-(3-1)=1>0,∴.f(0)·f(1)<0, ∴.方程3x=3一x的根所在区间为(0,1). (2)由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又 零，点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. (3)区间(1,4)的中点a=1十45， 2 2, fa)=f(受)=（受）-（受）-6=-是 答案：1B(21.56(3)-号 例10解：(1)最初的质量为500g, 经过1年，w=500(1-10%)=500×0.9, 经过2年，w=500×0.92. …, 由此推出，t年后，w=500×0.9」 (2)解方程500×0.9=250. 0.9=0.5,lg0.9=1g0.5, 1=g0.5=g5-1≈6.6， lg0.921g3-1 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年 第五章三角函数 例1解析：(1)利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是 负肩：又用角为360，所以昭×2=60即分针走过的角 度是一60°.故选D. (2)因为a是第三象限的角，则2kx十x<a<2kx十，k∈Z, 所以一kr+年<x一a<-x十受k∈Z,故x-7:是 第一或第三象限角 (（3》由题意及三角函数的定义.可得na=是c0s月=一寻 .5 所以ms×（）片 一故选B 答案：(1)D(2)B(3)B 例2解析：(1)由cos Otan<0, (cos0 (cos <0 或 ltan otanoo ,0在第三、四象限 (2)1,1.2,1.5均在(0，）内，正弦函数y=sinx在 (0,受)内是增离教sim1.5>sm1.2>sin1 答案：(1)C(2)C 例3解：(1)V-2sin10cos10 sin10°-√/1-sin210° √/(cos10°-sin10)2 _|cos10°-sin10 sin10°-√cos210 sin10°-cos10 cos10°-sin10 sin10°-cos10 =-1. (2)由于sina·tana<0,则sina,tana异号，a是第二、 三象限角，.cosa<0, 1-sin a 1++sin a (1-sin a)2 (1+sin a)2 1+sin a 1-sin a 1-sin a 1-sin a 1-sin a1+sin a 1-sin a+1+sin a= 2 cos al cos al -coS a cos a. 例4解析：I):△ABC中，os(B+C)=2 1 =-cos A, 即cosA=-1 4=2 (2)原式= sin a-cos a -2sin a+cos a 答案：1受2)- 例5解析：(1)要得到y=3sin(x-晋)的图象，只需将y= 3sinx的图象上所有点向右平移登个单位。 (2)画数f)的最小正周期T=2红=4元 1 2 (3)因为)=sim(否-2z）所以fx) sin(2x-吾)因为x∈[0，x],所以2红-晋∈ 画教f)=sinm(答-2x）x∈[0，)的单调递增区间是 [紧]故选c 答案：(1)D(2)C(3)C 例6解析：(1)sin acos 十o in (+)号， a+=+2kx,或a十=3+2km,k∈Z, 5 即a=20+2k,或a= +2k,k∈Z. 20 令k=0,则a=20, 11π