备考锦囊-【创新教程】2026年辽宁省普通高中学业水平合格考数学热点专练（山东省通用）

《学考风向标 高频考点清单 1.集合的基本运算 2.充分条件与必要条件 3.全称量词与存在量词 4.不等式的性质 5.一元二次不等式与基本不等式 6.函数的表示方法及性质 7.指数函数与对数函数 8.方程的根与函数的零点 9.同角三角函数的基本关系式 10.三角函数的诱导公式 11.三角函数的图象与性质 12.两角和与差的正弦、余弦和正 角公式 13.平面向量的加减运算 14.平面向量的数量积 15.正、余弦定理及其应用 16.复数 17.直观图 18.空间中的平行与垂直关系 19.随机抽样 20.用样本估计总体 21.古典概型与事件的相互独立性 热点专练篇 备考锦囊 学习有方向，成绩有保障 名师备考指南 1.重视课本，系统复习.数学基础知识包括基础知识和基 本技能两个方面.现在的学考命题中基础题的份额为 90%多.这些基础题有的就是由课本上的原题改编而 成，是教材题目的引申、变形或组合，所以复习不可抛 开课本.在复习时必须深钻教材，把书中的内容进行归 纳整理，使之形成自己的知识结构 2.夯实基础，学会思考.应用基础知识时应做到熟练、正 确、迅速.上课不能只听老师讲，要敢于质疑，积极思考 方法和策略，应通过老师的教，自己“悟”出来，自己 “学”出来。 3.重视对基础知识的理解和方法的学习，基础知识包括 概念、公式、定理、公理、推论等内容，要掌握基础知识 之间的联系，必须要做到理清知识结构，形成整体知 切公式及倍 识，并能综合运用. 4.狠抓重点内容，适当练习热点题型.多年来，学考的数学 命题一直都垂青于函数、数列、三角函数、立体几何、概率 等内容，所以应重视这方面内容的学习和训练」 5.提高综合运用数学知识解题的能力.要求同学们必须 做到能把各个章节中的知识联系起来，并能综合运用， 做到触类旁通.目前阶段应根据自身实际，有针对性地 复习，查漏补缺，做好知识的归纳，解题方法的归纳等. 6.要精选题目，做到少而精.只有解决高质量的、有代表 性的题目才能达到事半功倍的效果，然而绝大多数的 同学还没有辨别、分析题目好坏的能力，这就需要在老 师的指导下来选择复习的练习题，以了解学考题的形 式、难度. -1 《核心精概要 [概要一]集合与常用逻辑用语 1.元素a和集合A之间的关系：a∈A或a庄A. 2.常用数集：自然数集：N;正整数集：N+或N*;整数集：Z;有理数集：Q;实数集：R 3.子集 (1)定义：A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集；记作：A二B,注意：A二B时，A有两种情况：A= 与A≠财； (2)真子集：若A二B且存在xo∈A,xB,则A叫做B的真子集，记作A手B: (3)性质：①A二A,☑二A;②若A二B,BCC,则A二C;③若ACB,B二A,则A=B; (4)含n个元素的集合的所有子集有2m个；真子集有2一1个；非空子集有2一1个；非空的真子集有2一2个. 4.交集与并集 (1)交集：A∩B={x|x∈A,且x∈B}. (2)并集：AUB={x|x∈A,或x∈B. (3)包含关系：A∩B=A台AUB=B台A二B曰CuB二CuA. 5.充分条件与必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p→q,且qp p是q的充分不必要条件 q→p,且p为q p是q的必要不充分条件 p→q,且q→p,即p台q p是q的充要条件 pq,且qp p是q的既不充分也不必要条件 6.全称量词与存在量词 (1)全称量词命题与存在量词命的不同表述形式 同一个全称量词命题、存在量词命题，由于语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表总结如下： 命题 全称量词命题“Hx∈M,p(x)” 存在量词命题“了x∈M,p(x)” ①对所有的x∈M,p(x)成立 ①存在x∈M,使p(x)成立 表 ②对一切的x∈M,p(x)成立 ②至少有一个x∈M,使(x)成立 述 ③对每一个x∈M,(x)成立 ③对有些x∈M,p(x)成立 方 法 ④任选一个x∈M,(x)成立 ④对某个x∈M,p(x)成立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立 ⑤有一个x∈M,使p(x)成立 (2)含有一个量词的命题的否定 ①全称量词命题的否定 一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p:Hx∈M,p(x),它的否定：3x∈M,p(x). ②存在量词命题的否定 一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论： 存在量词命题：了x∈M,(x),它的否定p:Hx∈M,7p(x). [概要二]等式与不等式 1.等式的基本性质 等式有下面的基本性质： 性质1如果a=b,那么b=a; 性质2如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3如果a=b,那么a士c=b士c; 性质4如果a=b,那么ac=bc; 性质5 如果a=b,c≠0，那么=b CC 2.不等式的基本性质 性质 性质内容 对称性 a>b台b<a 传递性 a>b,b>c→a>c 可加性 a>b台a+c>b+c a>by →ac>bc c>0 可乘性 a-b) c<of →ac<bc 同向可加性 a=b) →a+c>b+d cd a>b>0) 同向同正可乘性 →ac>bd c-dof 可乘方性 a>b>0→a">b"(n∈N,n≥2) 可开方性 a>b>0→a>6(n∈N,n≥2) 3.基本不等式 (1)基本不等式 若a>0.6>0,则士瓜，当且仅当a=6时，等号成立 (2)最值定理 设a,b均为正数. ①若a十b为定值S,则当a=b时，积b取最大值子s; ②若ab为定值P,则当a=b时，和a+b取最小值2√P. —3 特别提醒 台 → 台 注意c的符号 → → a,b同为正数 4.二次函数与一元二次方程、不等式 (1)一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一 般形式是ax2+bx+c>0(≥0)或a.x2+bx+c<0(≤0)，其中a≠0，且a,b,c为常数 使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集 合，叫作这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式叫作不等式 的同解变形. (2)三个“二次”之间的关系 a.x2+bx+c(a≠0)是二次三项式，把x当作自变量，a,b,c为常量，则y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函 数.令y=0,则a.x2+bx十c=0(a≠0)是一元二次方程.令y>0(或y<0),则ax2+bx十c>0(或ax2+ bx十c<0)是一元二次不等式.相应地我们可分三种情况来讨论一元二次不等式a.x2+bx十c>0(a>0) 的解集，具体如下表： △=b2-4ac △>0 △=0 △<0 有两个相异的实数根x1,2 有两个相等的实数 ax2+bx+c=0(a -b±B=4ac(x1< 根x1=x2= 没有实数根 >0)的根 2a b x2） 2a y=ax2+bx+c(a >0)的图象 0x=2元 0 ax2+bx+c-0(a {x|x<x1,或x>x2}(即 {≠ R >0)的解集 “大于取两边”) ax2+bx+c<0(a {xx1<x<x2}(即“小于 0 0 >0)的解集 取中间”) [概要三]函数 1.求定义域的一般方法 (1)整式：全体实数，例：一次函数、二次函数的定义域为R: 1 (2)分式：分母≠0,0次幂：底数≠0，例：0一2-3xy=x (3)偶次根式：被开方式≥0，例：y=√25-x2; 4对数真数>0，例：y=16e1-） 2.判断单调性的一般步骤：①设，②作差，③变形，④下结论. 一4一 3.函数的奇偶性 函数奇偶性的定义 偶函数 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为 一般地，设函数∫(x)的定义域为 I,如果Hx∈I,都有一x∈I,且 I,如果Hx∈I,都有一x∈I,且 定义 f(-x)=f(x),那么函数f(x) f(-x)=一f(x),那么函数f(x) 就叫作偶函数 就叫作奇函数 4.幂函数 (1)幂函数的定义 般地，形如y=x的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，十∞)上都有定义； ②当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，+∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，十∞)上单调递减. 5.对数(a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1，M>0,N>0) (1)负数和零没有对数； (2)1的对数等于0：loga1=0; (3)底的对数等于1：logaa=1; M (4)积的对数：loga(MN)=log,M+-log.N,商的对数：logaN=logaM-logaN, 幂的对数：logaM"=nlogaM. (5)对数换底公式：logN=l0gV logea 推论：①logb=1og ,②1og,b”=”1ogb.(m,n∈R且m≠0) m 6.指数函数和对数函数的图象与性质 函数 指数函数 对数函数 定义 y=a(a>0且a≠1) y=log。x(a>0且a≠1) a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 yh y=a" y=a 2 y y=log x 图象 (非奇非偶) 0 1 1 0 y=logx 5 函数 指数函数 对数函数 定义域 (-0∞，十∞) (-∞，十0∞) (0,+∞) (0,+∞) 值域 (0,+∞) (0,+) (一0，十∞) (一0，十∞) 性 在(-0∞，十∞) 在（一∞，十∞） 在(0，十∞) 在(0，十∞) 单调性 上是增函数 上是减函数 上是增函数 上是减函数 质 >1,x>0 <1,x>0 >0,x>1 <0,x>1 函数值变化 =1,x=0 a{=1,x=0 log =0,x=1 =0,x=1 <1,x<0 >1,x<0 <0,0<x<1 >0,0<x<1 图 定点 a°=1，.过定点(0,1) 1og。1=0,∴.过定点(1,0) 图象特征 ,a>0,.图象在x轴上方 x>0,.图象在y轴右边 象 图象关系 y=a的图象与y=logx的图象关于直线y=x对称 [概要四]三角函数 1.弧度制 180°=π弧度，1弧度 180° ≈5718'；弧长公式：l=|ar(a是角的弧度数) 2.三角函数 1)定义：sina=兰，cos&-号，tana= (2)各象限的符号 sin a 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正. 3.特殊角的三角函数值 α的角度 0° 30 45° 60° 90° 120° 135 150° 180° 270° 360° α的弧度 0 3π 5π 6 4 3 2 4 6 2 2π sin a 0 12 3 0 2 2 cos a √2 3 P 2 2 0 0 1 2 2 2 tan a 0 √5 0 0 3 3 6 4.同角三角函数基本关系式：sin2a十cos2a=1,tana= sin a cos a' 5.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 公式一 公式二 公式三 sin(a+2kπ)=sina sin(π十a)=-sina sin(-a)=-sin a cos(a十2kπ)=cosa cos(π十&)=-cosa cos(-a)=cos a tan(a十2kπ)=tana(k∈Z) tan(π十a)=tana tan(一a)=一tana 公式四 公式五 公式六 sin(π-a)=sin& )-cos a sin(管ta-eose c0s(π-a)=-cosa tan(π-a)=-tana cos经-a-sina cos+a)--sin a 6.两角和与差的正弦、余弦、正切 S(aB):sin(a+8)=sin acos B+cos asin B. SB)sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B. C):cos (a+B)=cos a cos B-sin a sin B. C(-B):cos (a-B)-cos a cos B+sin a sin B. T(a):tan(a+8)= tan a+tan 8 1-tan a tanβ T)tan(a-B)-1Ftan a tan tan a-tan B b 7.辅助角公式：a sin x+b cos x=√a2+b2 √a2+b2 sinx+ =√a2+b(sinx·cosp+cosx·sinp)=√a2+bsin(x+p). va2+sin cos 9--a b √a2+b 8.二倍角公式 (1)S2g:sin 2a=2sin a cos a, C2a:cos 2a=cos2a-sin2a=1-2sin2a=2cos2a-1, T2:tan 2a-2tan a 1-tan2a' (2)降次公式：（多用于研究性质） 1 sin a cos a-sin 2a. 1 sima=二cos2a= 2 cos2 cos'a=I+cos 2a1 1 2 2c0s2a+2, 一7 9.三角函数 (1)正弦、余弦、正切函数的性质(k∈Z) 函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间 y=sin x R [-1,1] T=2π 奇函数 +2kx,受+2x】 2 [受+2kx,3+2km】 y=cos x R [-1,1] T-2x 偶函数 [(2k-1)π，2kπ] [2kx,(2k+1)π] y=tan x {红x≠+x -∞，十∞) T=π 奇函数 y=sinx图象的五个关键点：(0,0)， 〔x0(-2x0 y=cosx图象的五个关键点：(0,1)， 0x,-10(0小21 y=sinx的对称中心为r,0):对称轴是直线x=kπ十受y=Asin(wx十g)的周期T2云 y=c0sx的对称中心为x+乏，0：对称轴是直线x=y=Acos(aux十p)的周期T-匹 y=tanx的对称中心为 T?0y=Atan(wx+)的周期T=号 w (2)函数y=Asin(wx十9)(A>0,w>0)的相关概念 定义域 值域 振幅 周期 频率 相位 初相 作图 x∈R [-A,A] y T=2x w.x十p 五点法 y=Asin(w.x十p)的图象与y=sinx的关系： 当A>1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍 ①振幅变换：y=sinx当O<A<1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍 y=Asin x, 当。>1时，图象上各点的横坐标缩短到原来的倍 ②周期变换：y=sinx y=s1nw.x, 当0<0<1时，图象上各点的横坐标长到原来的。倍 ③相位变换：y=sinx 当9>0时，图象上的各点向左平移9个单位 当p<0时，图象上的各点向右平移个单位 y=sin(x+o), 当>0时，图象上的各点向左平移2个单位 ④平移变换：y=Asin wx →y=Asin(wx+9), 当9<0时，图象上的各点向右平移 个单 常叙述成：①把y=sinx上的所有点向左(p>0时)或向右(go0时)平移pl个单位得到y=sin(x十p): ②再把y=sin(x十o)的所有点的横坐标缩短(w>1)或伸长(0<w<1)到原来的二倍（纵坐标不变）得到 (u y=sin(wx十p);③再把y=sin(wx十o)的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍 (横坐标不变)得到y=Asin(wx十p)的图象 先平移后伸缩的叙述方向：y=Asin(wx十p). 先伸缩后平移的叙述方向：y=Asin(ax十p)=Asim[(x+号)] 8 10.解三角形 1)三角形的面积公式：S△=) absin C- acsin B-besin A. (2》正弦定理：ABC-2R,边用角表示a=2 ksin A=2 Rsin Be-2 Rsin C b (3)余弦定理：b2=a2+c2-2ac·c0sB,c2=a2+b2-2 abcos C,a2=b2+c2-2bc·cosA. 求角：cosA=2+c2-a2 2bc c0sB=Q2+c2- 2ac ,cos C=a2+62-c2 2ab [概要五]平面向量 1.坐标运算 (1)设a=（x1,y1),b=(x2y2),则a士b=(x1士x2y1士y2). 数与向量的积：a=入(x1y1)=(入x1,入y1),数量积：a·b=x1x2十y1y2 (2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则AB=(x2一x1,2一y1)(终点减起点)，|AB|= √(x2-x1)2+(y2-y)2;向量a的模|a:a2=a·a=x2+y2. (3)平面向量的数量积：a·b=|a·|bcos0,注意：0·a=0. (4)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角0，则cos0= x1x2+y1y2 √x+y√x+y吃 2.重要结论 (1)两个向量平行：a∥b台a=b(b≠0)，a∥b台x1y2-x2y1=0. (2)两个非零向量垂直：a⊥b台a·b=0台x1x2十y1y2=0. [概要六]复数 1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 形如a+bi(a∈R,b∈R)的数叫 若b=0,则a十bi为实数；若a=0 概念 复数，其中实部为a,虚部为b 且b≠0，则a十bi为纯虚数 复数 a+bi=c+di台a=c且b=d(a, 相等 b,c,d∈R) 共轭 a+bi与c+di共轭台a=c且b= 复数 -d(a,b,c,d∈R) 建立平面直角坐标系来表示复数 实轴上的点都表示实数；除了原 复平面 的平面叫做复平面，x轴叫实轴， 点外，虚轴上的点都表示纯虚数， y轴叫虚轴 各象限内的点都表示虚数 设OZ对应的复数为之=a十bi,则 复数 的模 向量OZ的长度叫做复数之=a十 1x|=|a+bil=√a2+b bi的模 9 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的 向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数=a十bi一一对应复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R). (2)复数=a十bi(a,b∈R)一一对应，平面向量OZ. 3.复数的运算 设1=a+bi,2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法：1+2=(a+bi)+(c+di)=(a十c)+(b+d)i; (2)减法：之1-2=(a+bi)-(c十di)=(a-c)+(b-d)i (3)乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (4)除法：=atbi-(a+mc-dn_ac+bd+c-adi(c十di≠o. z2 c+di (c+di)(c-di) c2+d2 [概要七]立体几何的初步 1.两条直线的位置关系：平行、相交、异面（不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线） 直线在平面内 2.直线与平面的位置关系： 直线与平面相交，记作a∩a=A 直线在平面外 (直线与平面平行，记作a∥a 3.两个平面的位置关系：平行、相交. 4.平行间的相互转化关系：线线平行一线面平行=一面面平行；垂直间的相互转化关系：线线垂直=一 线面垂直一面面垂直 5.角的范围 (1)异面直线所成的角的范围：0<0< 2 (2)直线与平面所成的角的范围：0≤0<受。 (3)二面角的范围：0≤π 6.长方体的对角线长：12=a2+b2+c2;正方体的对角线长：l=√3a. 7球的体积公式：V-专R:球的表面积公式：S=R:柱体体积公式.V=S·:维体体积公式：V-号5 -10