6.4 平行线-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 6.4 第1课时平 基础进阶 1.同一平面内不重合的两条直线的位置关系有 () A.相交、垂直 B.相交、平行 C.垂直、平行 D.相交、垂直、平行 2.有下列语句：①任意两条直线的位置关系不 是相交就是平行；②过一点有且只有一条直 线和已知直线平行；③过两条直线a,b外一 点P画直线c,可以使c∥a,且c仍.其中，正 确的有 () A.3个B.2个C.1个D.0个 3.如图，OM∥a,ON∥a,则点O,M,N在同一 条直线上.理由是 0 (第3题) 4.在同一平面内，有互不重合的三条直线，如果 只有两条直线平行，那么它们交点的个数为 5.有如图所示的方格纸. D (第5题) (1)经过线段AB外一点C,画直线AB的平 行线EF(仅限用直尺). (2)过点D画一条与直线AB平行的直 线DH. (3)DH与EF平行吗？如果平行，请用符号 表示. 132 行线 行线的概念 (4)从中你得出了什么结论？ 幻素能攀升 6.如图，同一平面内经过直线1外一点O的4条 直线中，与直线1相交的直线至少有() A.1条B.2条C.3条D.4条 0 (第6题) (第7题) 7.如图，将网格中的三条线段沿网格 线平移后组成一个首尾相接的三角 形，至少需要移动 () A,8格B.9格C.11格D.12格 8.如果同一平面内有三条直线，那么它们交点 的个数为 9.在同一平面内，直线11与12满足下列条件： (1)l1与12没有公共点，则l1与l2 (2)11与l2有且只有一个公共点，则11与l2 10.(1)画一画，在如图①所示的图形 中以P为顶点画∠P(∠P为锐 角)，使∠P的两边分别和∠1的两 边平行；在如图②所示的图形中以P为顶 点画∠P(∠P为钝角)，使∠P的两边分别 和∠1的两边平行. (2)量一量∠1和∠P的度数，它们之间的 数量关系是 (3)如果一个角的两边分别和另一个角的 两边平行，那么这两个角的关系是 (4)如果一个角的两边分别平行于另一个 角的两边，且这个角为30°，求另一个角的 度数 ① (第10题) 思维拓展 11.探究题： (1)下面我们研究：平面内n条直线相交的 交点个数问题.当这n条直线中无任何3条 交于一点，且在某一方向上无任何直线相互 平行时，交点个数是最多的.也就是说，当这 n条直线两两相交且无任何3条交于一点 时交点个数最多.所以容易得出以下结论： 若平面内有n条直线，则最多有 交点 (2)下面再来研究：若平面内的n条直线 (其中无任何3条交于一点)在某一方向上 有平行直线，则交点的总个数与上题相比便 会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某 第6章平面图形的初步认识 一方向上有3条是互相平行时，其交点的个 数最多为5X43X2 2 =10一3=7，其中 )4表示5条直线两两相交时的最多交点 个数，3表示3条直线互相平行时诚少的 交点个数.若平面内有8条直线（其中无任 何3条交于一点)，且在某一方向上有4条 是互相平行的，则这8条直线交点的个数最 多为 (3)利用上述思想方法解决以下问题： 地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并 且可以无限延伸)，其中无任何3条公路交 于同一个岔口，现在有24位交警刚好满足 每个岔口有且只有一位交警，请你画出符合 要求的两种公路示意图 133 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 第2课时平行线 自基础进阶 1.如图所示的四个图中，∠1与∠2是同位角的 共有 X”在 (第1题) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 2.如图，∠E=50°，要使AB∥EF,则∠ADC的 度数为 () A.50° B.100 C.130° D.150° E B (第2题) (第3题) 3.如图，点A,B,C和点D,E,F分别在同一条 直线上，∠1=∠2，那么 4.如图，填空： (1)∠ADE和∠B是直线 和直线 被第三条直线 所截得的 角 (2)若∠ADE=∠B,则可以判定直线 ,理由： (3)若∠ACB=∠ ,则可以判定直 线DE∥BC,理由： B (第4题) 5.如图，直线AB,CD被直线EF所截，H为 CD与EF的交点，GH⊥CD于点H,∠2= 134 的判定一同位角 30°，∠1=60°.AB与CD平行吗？请说明 理由. F/G (第5题) 幻素能攀升 6.(2024·徐州沛县期中)如图，两直线AB,CD 被直线EF所截，∠1=70°，下列结论中，正 确的是 ) A.若∠2=70°，则ABCD B.若∠5=70°，则ABCD C.若∠3=110°，则ABCD D.若∠4=70°，则ABCD A C 4人5 R D A (第6题) (第7题) 7.如图，张师傅将两根木条AB和AC固定在 点A处，在木条AB上的点O处安装一根能 旋转的木条DE.张师傅用量角仪测得∠A= 68°，木条DE与AB的夹角∠BOD=80°，要 使DEAC,木条DE绕点O至少旋转() A.10°B.12°C.14° D.16 8.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两 次拐弯后，仍沿原方向前进，那么这 两次拐弯的角度可能是( A.第一次向右拐60°，第二次向左拐120° B.第一次向左拐120°，第二次向右拐120 C.第一次向右拐60°，第二次向右拐60 D.第一次向左拐60°，第二次向左拐120 9.如图，小亮把三角尺的直角顶点放在直线b 上.若∠1=40°，则当∠2的度数是 时，ab. (第9题) (第10题) 10.如图，DF平分∠CDE,∠CDF=55°， ∠C=70°，则∥ 11.如图，AC⊥AE于点A,BD⊥BF于点B, 且点A,B在直线MN上，∠1=∠2. (1)AE与BF平行吗？请说明理由 (2)若∠1=30°，求∠ABF的度数. M A B N (第11题) 思维拓展 12.如图，在四边形ABCD中，你能用 折纸的方法折出一条折痕MN,使 MNBC吗？小明同学的方法如 下：第一次折叠，使点C与点B重合，得折 痕EF;第二次折叠，使点F与点E重合，得 折痕MN,则MN即为所求.你觉得小明同 学的方法对吗？如果对，请说明理由， (第12题) 第6章平面图形的初步认识 3.如图，直线EF分别与直线AB,CD相交于 点P,Q,PM⊥EF,∠1十∠2=90°，则AB 与CD平行吗？请说明理由. M、 E 2。 D B /0 0 F (第13题) 4.如图，∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC, CE平分∠ACB,F是BC延长线上一点，且 ∠DBC=∠F,则EC与DF平行吗？请说 明理由. (第14题) 135 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 第3课时平行线的判定 自基础进阶 1.如图，下列说法中，错误的是 A.∠1与∠2是内错角 B.∠1与∠4是同位角 C.∠2与∠4是内错角 D.∠2与∠3是同旁内角 (第1题) (第2题) 2.如图，有下列条件：①∠1=∠3；②∠2= ∠3；③∠1=∠4；④∠2+∠5=180°.其中， 可以判定bc的有 A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 3.如图，(1)∠ 与∠3是直线 与 被直线 所截得的内 错角. (2)∠A与∠ 是直线AB与BC被 直线 所截得的同旁内角. (3)∠A与∠1是直线 与 被直线 所截得的同旁内角。 D1 (第3题) 4.如图，填空： 2入人3 -H (第4题) (1)因为∠1=∠2，所以 理由： 136 内错角、同旁内角 (2)因为∠3=∠D,所以 理由： 5.如图，∠BAF=50°，∠ACE=140°，CD CE,则DC与AB平行吗？请说明理由. B D (第5题) 幻素能攀升 6.(2024·宿迁宿城段考)如图，在三角形ABC 中，点E,D,F分别在AB,BC,AC上，连接 ED,CE,EF,下列条件中，能推出DE∥AC 的是 A.∠EDC=∠EFCB.∠AFE=∠ACD C.∠DEC=∠ECFD.∠FEC=∠BCE B D (第6题) (第7题) 7.将一副三角尺按如图所示的方式放置.若 ∠2=30°，则下列结论中，错误的是() A.∠1=∠3 B.AC∥DE C.BC∥AD D.∠4=∠C 8.如图，填空： C D B (第8题) (1)当∠CDF=∠ 时，FD∥AB,理 由： (2)当∠CDF=∠ 时，CD∥FE,理 由： (3)当∠CFE+∠ =180°时，AC∥ ED,理由： 9.如图，∠AEG=26°，∠GEF=44°，∠FEH= 90°，∠EHF=55°，FH平分∠EFD,则CD 与AB平行吗？请说明理由. D (第9题) 10.如图，直线EF分别交直线AB,CD于点E, F,EG平分∠AEF交CD于点G.若∠1十 2∠2=180°，则AB与CD平行吗？请说明 理由 A E 62 C D (第10题) 第6章平面图形的初步认识 爸思维拓展 11.将两把含30°角的三角尺按如图所 示的方式叠放，现固定三角尺ABC 不动，将三角尺DEC绕顶点C按 顺时针方向转动，使两把三角尺至少有一组 边互相平行，且点D在直线BC的上方，则 ∠BCD所有可能符合条件的度数为 D (第11题) 12.如图①，直线EF上有两点A,C 分别引两条射线AB,CD.已知 ∠BAF=110°，CD与AB在直线 EF异侧. (1)若∠DCF=70°，试判断射线AB与CD 的位置关系，并说明理由。 (2)如图②，若∠DCF=60°，射线AB,CD 分别绕点A,C以每秒1°和每秒6°的速度同 时按顺时针方向转动，设转动时间为t秒， 在射线CD转动一周的时间内，是否存在某 时刻，使得CD与AB平行？若存在，请求 出所有满足条件的t的值。 ① (第12题) 137 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 第4课时平 自基础进阶 1.下列说法中，正确的是 ( A.a,b,c是直线，若a⊥b,b∥c,则a∥c B.a,b,c是直线，若a⊥b,b⊥c,则a⊥g C.a,b,c是直线，若ab,b⊥c,则a∥0 D.a,b,c是直线，若ab,b∥c,则ac 2.如图，点A,C分别在CF,ED上，AB∥ED. 若∠ECF=65°，则∠BAF的度数为() A.65°B.115°C.120°D.1259 ⊕ (第2题) (第3题) 3.(2023·烟台)一根杆秤在称物时的状态如图 所示，如果∠1=102°，那么∠2的度数为 4.如图，ABCD,AC∥BD,∠1=28°，则∠2的 度数为 B (第4题) 5.如图，CD平分∠ACB,DE∥BC,∠AED= 80°，求∠EDC的度数. B (第5题) 138 行线的性质 幻素能攀升 6.(2024·南充)如图，将两个平面镜平行放置， 当光线经过平面镜反射时，∠1=∠2=40°， ∠4=∠5，则∠3的度数为 火gu ptmmii8a点wg (第6题) A.80° B.90° C.100° D.120° 7.新情境·游戏活动(2025·河南模拟 抖空竹是我国传统的杂技项目，是 国家级非物质文化遗产之一.如图 某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹 的拉力为F,和F2,空竹受到的重力为G,方 向竖直向下.若∠1=20°，∠2=130°，则∠3 的度数为 () A.70° B.75° C.80°D.90 直 72 YG (第7题) (第8题) 8.将一条两边互相平行的纸带按如图所示的方 式折叠，则∠1的度数为 () A.65° B.70° C.75 D.80 9.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠， 若∠1=40°，则∠2的度数是 -B D 2 (第9题) (第10题) 10.如图，AB∥CD∥EF,则∠1，∠2，∠3之间 的等量关系是 11.如图，AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E, ED∥AC交BC于点D.若∠BAE=32°，则 ∠BED的度数为 B D (第11题) 12.如图，∠1十∠2=180°，∠3=∠B,试判断 ∠AED与∠ACB之间的数量关系，并说明 理由. (第12题) 13.(2024·苏州期末)如图，∠2=∠B,BE与 DF交于点P. (1)若∠1=46°，求∠C的度数. (2)若∠2+∠D=90°，AB∥CD,则BE与 DF垂直吗？请说明理由. A F (第13题) 第6章平面图形的初步认识 爸思维拓展 4.两个角的两边互相平行，且一个角 比另一个角的3倍少40°，则这两 个角的度数分别是 5.*已知PQMN,且∠BAM=2∠BAN. (1)如图①，∠BAN的度数为 (2)如图①，射线AM绕点A按顺时针方向 旋转至AN便立即回转至AM的位置，射 线BP绕点B按顺时针方向旋转至BQ便 立即回转至BP的位置.若AM旋转的速度 是每秒2°，BP旋转的速度是每秒1°，射线 BP先旋转30s,射线AM才开始旋转，在 射线BP到达BQ之前，射线AM旋转多少 秒，两射线互相平行？ (3)如图②，若两射线AM,BP分别绕点 A,B按顺时针方向同时旋转，速度同(2)， 在射线AM到达AN之前，若两射线交于 点E,过点E作∠AEF交PQ于点F,且 ∠AEF=120°，则在旋转过程中，∠BAE与 ∠BEF之间的数量关系是否会发生变化？ 若不会发生变化，请求出其数量关系；若会 发生变化，请说明理由. B ① (第15题) 139∠AOB=20°， 所以∠AOC=2∠AOB=40°. 因为∠AOE=110°， 所以∠COE=∠AOE-∠AOC= 110°-40°=70°. (2)因为∠AOE=110°，∠AOB= 20°， 所以∠BOE=∠AOE-∠AOB= 90°. 因为OD平分∠BOE,OB平分 ∠AOC, 1 所以∠BOD=2∠BOE=45, ∠BOC=∠AOB=20° 所以∠COD=∠BOD-∠BOC= 25°. (3)设经过xmin,OA与OB第一次 垂直 1 由题意，易得6x-2x=90十20，解 得.x=20 所以经过20min,OA与OB第一次 垂直. 第3课时垂线段 1.C2.A3.垂线段最短 4.AC>AB>BD 5.(1)通过测量，可知PA>PB> PC. (2)能. 如图，过点P作PD⊥MN,垂足为 D,则线段PD即为所求 理论依据：直线外一点与直线上各点 连接的所有线段中，垂线段最短. M A B C D N (第5题) 6.D 7.D解析：依据垂线段最短，以及两 点之间，线段最短，可得最节省材料的 方案是选项D, 8.9.6解析：由垂线段最短，可知当 CD⊥AB时，CD的长度最小，如图： 因为∠ACB=90°，所以S三角形A= 日AC·BC-号AB,CD.所以号× 1 16×12=2 ×20×CD.所以CD= 9.6. D B (第8题) 9.3解析：在线段AB的两旁可分 别画一条满足条件的直线，作线段 AB的垂线，将线段AB的长分成 6cm和4cm的两部分.综上所述，符 合条件的直线l的条数为3. 一易错警示 因不能正确画出图形 而导致错误 解决这类问题时，往往会出现 漏解的现象，究其原因是不能根据 问题的条件画出所有符合要求的 图形.解答本题时，由于6十4 10(cm),因此可考虑直线除了在线 段的两旁以外，还有可能与线段 相交。 10.(1)如图所示 (2)如图所示 (3)OA;PC;垂线段最短；PH< PC<OC. O HC (第10题) 11.(1)上.解析：因为线段OC的 长是点C到直线AB的距离，所以 OC⊥OB.因为OC⊥OD,所以OB, OD在一条直线上.所以点D在直线 AB上. (2)CD>OD. 理由：因为OD⊥OC, 所以点D与OC上各点连接的所有 47 线段中，垂线段OD最短 所以CD>OD 12.(1)如图，点H即为所求， (2)如图，过点H作HG⊥EF,垂足 为G,沿线段HG开渠能使渠道 最短 A、H-D B-- C GL -F (第12题) 13.(1)画法不唯一，如图①所示。 (2)5:垂线段最短.解析：如图②， 当AQ⊥BC交直线l于点P时， AP+PQ的值最小，因为点A到射线 BC的距离为5，所以AP+PQ的最 小值为5.依据是垂线段最短】 A. P B Q ① A P B Q C ② (第13题) 6.4平行线 第1课时平行线的概念 1.B2.D3.过直线外一点有且 只有一条直线与这条直线平行4.2 5.(1)如图所示. (2)如图所示. (3)平行，DHEF (4)平行于同一条直线的两条直线互 相平行. E D月 B (第5题) 6.C解析：因为过直线外一点有且 只有一条直线与这条直线平行，所以 过直线1外一点O的4条直线中，最 多只有一条直线与（平行.所以同一 平面内，与直线1相交的直线至少有 3条. 7.B解析：将网格中的三条线段沿 网格线平移后组成一个如图所示的首 尾相接的三角形，此时移动的格数最 少，为4+3十2=9. (第7题) 8.0或1或2或3解析：当三条直 线平行时，交点的个数为0：当三条直 线相交于一点时，交点的个数为1；当 三条直线中，有两条平行，另一条分别 与它们相交时，交点的个数为2；当三 条直线互相不平行且不交于一点时， 交点的个数为3.综上所述，它们交点 的个数为0或1或2或3. 9.(1)平行(2)相交 10.(1)画法不唯一，如图①②所示」 (2)∠1=∠P或∠1+∠P=180°. (3)相等或互补， (4)如果一个角的两边分别平行于另 一个角的两边，且这个角为30°，那么 另一个角的度数为30°或150°. 人1 ① 人1 ② (第10题) 1.2nm-1D (2)22. (3)画法不唯一，如把9条公路看作 9条直线，则9条直线两两相交的交 点个数为2×9X8=6,36-24 12.①12=10+1+1，则可以看作有 5条直线两两互相平行，其余4条直 线不平行，但每两条平行，如图①： ②12=6+6，即有两组直线（每组 4条)分别平行，但这两组直线不平 行，剩下1条直线与这两组直线分别 相交，如图②. ② (第11题) 第2课时平行线的判定一 同位角 1.B 2.C 3.BD CE 4.(1)DE BC AB同位 (2)DEBC同位角相等，两直线 平行 (3)AED同位角相等，两直线平行 5.AB//CD 理由：因为GH⊥CD, 所以∠CHG=90°. 又因为∠2=30°， 所以∠3=60°. 所以∠4=60°. 又因为∠1=60°， 所以∠1=∠4. 所以ABCD. 6.B解析：因为∠1=70°，∠5=70°， 所以∠1=∠5.因为∠1=∠2，所以 ∠2=∠5.所以ABCD. 7.B解析：当∠BOD=∠A=68° 时，DE∥AC.所以木条DE绕点O至 少逆时针旋转80°一68°=12° 8.B 9.50°解析：如图，因为∠1=40°，所 以∠3=180°-40°-90°=50°.因为当 ∠2=∠3时，直线a∥b,所以 ∠2=50°. 3入人1 (第9题) 48 10.DEBC解析：因为DF平分 ∠CDE,∠CDF=55°，所以∠CDE= 2∠CDF=110°.所以∠ADE=180° ∠CDE=70°.因为∠C=70°，所以 ∠C=∠ADE.所以DE∥BC. 11.(1)AE与BF平行. 理由：因为AC⊥AE,BD⊥BF, 所以∠CAE=∠DBF=90°. 因为∠1=∠2， 所以∠CAE+∠1=∠DBF+∠2. 所以∠EAB=∠FBN 所以AEBF. (2)因为∠ABF十∠DBF+∠2= 180°，∠2=∠1=30°， 所以∠ABF=180°-∠DBF-∠2= 180°-90°-30°=60°. 12.小明同学的方法是对的. 理由：记MN与EF交于点O. 由两次折叠，可知∠EON=∠EFC= 90. 再根据“同位角相等，两直线平行”，可 得MN∥BC. 13.AB//CD. 理由：因为PM⊥EF, 所以∠MPE=90°. 因为∠2+∠MPE+∠BPE=180°， 所以∠BPE+∠2=90° 因为∠1+∠2=90°， 所以∠BPE=∠1. 所以ABCD 14.EC//DF. 理由：因为∠ABC=∠ACB,BD平分 ∠ABC,CE平分∠ACB, 所以∠DBC=合∠ABC,∠BCB- B∠ACB, 所以∠DBC=∠ECB. 因为∠DBC=∠F, 所以∠ECB=∠F. 所以ECDF. 第3课时平行线的判定 内错角、同旁内角 1.B2.A3.(1)1ABAC DE (2)C AC (3)AC DE AB4.(1)ADBC内错角相等， 两直线平行(2)ADBC内错角 相等，两直线平行 5.DC//AB. 理由：因为CDLCE, 所以∠DCE=90°. 因为∠ACE=140°， 所以∠ACD=360°-∠DCE ∠ACE=130°. 又因为∠BAF=50°， 所以∠CAB=180°-∠BAF=130° 所以∠ACD=∠CAB. 所以DC∥AB. 6.C解析：由∠EDC=∠EFC,不 能判定DE∥AC,故选项A不符合题 意.因为∠AFE=∠ACD,所以EF∥ BC.故选项B不符合题意.因为 ∠DEC=∠ECF,所以DE∥AC.故 选项C符合题意.因为∠FEC= ∠BCE,所以EF∥BC.故选项D不符 合题意 7.C解析：因为∠CAB=∠EAD 90°，所以∠CAB-∠2=∠EAD ∠2，即∠1=∠3.故选项A不符合题 意.因为∠2=30°，所以∠1=90°- 30°=60°.因为∠E=60°，所以∠1= ∠E.所以ACDE.故选项B不符合 题意.因为∠3=∠1=60°，∠B=45°， 所以BC与AD不平行.故选项C符 合题意.因为∠3=60°，∠D=30°，所 以∠B+∠4=∠3+∠D=90°.因为 ∠B=45°，所以∠4=45°=∠C.故选 项D不符合题意. 8.(1)B同位角相等，两直线平行 (2)DFE内错角相等，两直线平行 (3)DEF 同旁内角互补，两直线 平行 9.CD//AB. 理由：由题意，可知∠AEF= ∠GEF+∠AEG=70. 因为∠FEH=90°，∠H=55°， 所以∠EFH=180°-90°-55°=35° 因为FH平分∠EFD, 所以∠EFD=2∠EFH=70. 所以∠AEF=∠EFD. 所以CD∥AB. 10.AB//CD. 理由：因为EG平分∠AEF交CD于 点G, 所以∠AEG=∠GEF. 因为∠1+2∠2=180°，∠1+ 2∠AEG=180°， 所以∠2=∠AEG. 所以ABCD 11.30或60或90或120 解析：如图①，当DE∥AB时，易得 ∠BCD=30°：如图②，当ABCE时， 易得∠BCD=60°：如图③，当DE∥ BC时，易得∠BCD=90°：如图④，当 AB/∥CD时，易得∠BCD=120°.综上 所述，∠BCD所有可能符合条件的度 数为30或60或90或120°. D B ① ② D B C ③ C ④ (第11题) 12.(1)ABCD 理由：因为∠DCF=70°， 所以∠ACD=180°-∠DCF=110. 49 因为∠BAF=110°， 所以∠BAF=∠ACD 所以AB∥CD. (2)存在， 因为360÷6=60（秒）. 所以0≤160. 由题意，易得AB一直在EF右侧. 分三种情况： ①如图①，因为(180-60)÷6= 20(秒)， 所以当0≤t<20时，AB与CD在EF 的两侧。 因为转动前∠BAF=110°， ∠DCF=60°， 所以转动后∠ACD=180°-60° (6t)°=120°-(6t)°，∠BAF= 110°-t. 要使ABCD,则∠ACD=∠BAF, 即120°-(6t)°=110°-t°，解得t=2, 符合题意 ②如图②，因为(360一60)÷6= 50(秒)， 所以当20t<50时，CD转动到EF 上及EF的右侧， 因为转动前∠BAF=110°， ∠DCF=60°， 所以转动后∠DCF=360°一(6t)° 60°=300°-(6t)°，∠BAF= 110°t°. 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAF, 即300°(6t)°=110°一t°，解得t= 38,符合题意。 ③如图③，当50t<60时，CD转动 到EF上及EF的左侧，易得CD与 AB不平行. 综上所述，所有满足条件的1的值为 2或38. (① ② ③ (第12题) 第4课时平行线的性质 1.D2.B3.78°4.28 5.因为DE∥BC,∠AED=80°， 所以∠ACB=∠AED=80°. 因为CD平分∠ACB, 所以∠BCD=2∠ACB=40 因为DE∥BC, 所以∠EDC=∠BCD=40. 6.C 7.A解析：如图，由题意，得AB∥ CG,所以∠4+∠1=180°.因为∠1= 20°，所以∠4=160°.所以∠3=360° ∠4-∠2=360°-160°-130°=70 竖 直 方 YG (第7题) 8.A解析：如图，因为ABCD,所 以∠BAC+∠ACD=180°.因为 ∠ACD=50°，所以∠BAC=130°.由 折叠，得∠1=∠2，所以∠1= ∠BAC=65 1 0 B --D (第8题) 9.70°解析：如图，由题意，易得 ∠1=∠3=∠4=40°，由翻折，可知 ∠2=∠5=180240=70. 2 5 24 (第9题) 10.∠1+∠2-∠3=180°解析：因 为CD∥EF,所以∠2+∠CEF= 180°.因为AB∥EF,所以∠1= ∠AEF.因为∠AEF=∠3+∠CEF, 所以∠1=∠3+∠CEF.所以 ∠CEF=∠1-∠3.所以∠2+∠1 ∠3=180°，即∠1+∠2-∠3=180° 11.122°解析：因为AE平分 ∠BAC,∠BAE=32°，所以∠CAE= ∠BAE=32°.因为ED∥AC,所以 ∠CAE+∠AED=180°.所以 ∠AED=180°-32°=148°.因为 BE⊥AE,所以∠AEB=90°.因为 ∠AED+∠AEB+∠BED=360°，所 以∠BED=360°-148°-90°=122°. 12.∠AED=∠ACB. 理由：因为∠1+∠4=180°，∠1+ ∠2=180°， 所以∠2=∠4 所以EFAB. 所以∠3=∠ADE. 因为∠3=∠B, 所以∠B=∠ADE. 所以DE∥BC. 所以∠AED=∠ACB. 13.(1)因为∠2=∠B, 所以CFBE 所以∠C=∠1. 因为∠1=46° 所以∠C=46°」 (2)BE⊥DF. 理由：因为ABCD, 所以∠BFD=∠D. 因为∠2+∠D=90°， 所以∠BFD+∠2=90° 所以∠CFD=180°-90°=90°. 由(1)，可知，CFBE. 所以∠EPD=∠CFD=90 所以BE⊥DF, 14.20°，20或55°，125°解析：因为 两个角的两边互相平行，所以这两个 角相等或互补.设一个角为x°，则另 一个角为(3.x一40)°.当这两个角相等 时，则有x=3x一40，解得x=20.此 50 时这两个角的度数分别是20°，20°.当 这两个角互补时，则有x十3x一40= 180,解得x=55.所以3x一40=125. 此时这两个角的度数分别是 55°，125. 15.(1)60 (2)设射线AM旋转ts,两射线互相 平行，此时AM旋转到AC的位置， BP旋转到BD的位置，易知 ∠PBD=(t+30)°， 当射线BP到达BQ时，t+30=180, 解得t=150. 所以0<t<150. 因为150×2°=300°，300°÷180°= 1(个)…120°， 所以射线AM会经历转向AN再回 转的过程 所以分两种情况： ①如图①，当射线AM转向AN,即 0< =90时，∠CAM=(2t). 因为PQMN, 所以∠PBD=∠BDA. 因为ACBD, 所以∠CAM=∠BDA. 所以∠CAM=∠PBD 所以2t=t+30,解得t=30,符合 题意 ②如图②，当射线AM回转，即90≤ t<150时，∠CAN=(2t-180)°. 因为PQMN, 所以∠PBD+∠BDA=180°. 因为ACBD, 所以∠CAN=∠BDA, 所以∠PBD+∠CAN=180°. 所以t+30+2t一180=180，解得t= 110,符合题意. 综上所述，射线AM旋转30s或 110s,两射线互相平行 (3)∠BAE与∠BEF之间的数量关 系不会发生变化. 设射线AM旋转as,则∠EAN= (180-2a)°，∠PBE=a°. 因为∠BAN=60°， 所以∠BAE=60°-(180-2a)°= (2a-120)°. 因为PQMN, 所以∠PBA+∠BAN=180°. 所以∠PBA=180°-∠BAN=120」 所以∠ABE=(120-a)°. 所以∠BEA=180°-∠ABE ∠BAE=(180-a)°. 因为∠AEF=120°， 所以∠BEF=∠AEF一∠BEA= 120°-(180-a)°=(a-60)°」 所以∠BAE=2∠BEF ② (第15题) 一方法归纳 通过动中求静解决探究性问题 解决这类与动态有关的探究 性问题，常常需要我们根据问题和 条件画出运动到某一时刻的图形 再根据图形中相关直线的位置关 系，运用平行线的性质，得出图形 中对应角的数量关系，进而列出方 程求得结果.同时，还要根据直线 或射线所在不同位置进行分类 讨论。 专题特训十一平行线中的 “拐点”问题 1.C2.20 3.∠BED=∠B+∠D. 理由：如图，过点E作ET∥AB. 因为ABCD, 所以易得ET∥ABCD. 所以∠B=∠BET,∠D=∠DET. 所以∠BET+∠DET=∠B+∠D, 即∠BED=∠B+∠D: A E---T D (第3题) 4.D解析：如图，过点B作BG∥ AE,则∠BAE+∠ABG=180°.因为 AE∥CD,所以易得BG∥CD.所以 ∠BCD+∠CBG=180°.所以 ∠BAE+∠ABG+∠CBG ∠BCD=360°.所以∠BAE+ ∠ABC+∠BCD=360°.因为AB⊥ AE,所以∠BAE=90°.所以 ∠ABC+∠BCD=360° ∠BAE=270. C D 77777777777777 A (第4题) 5.540解析：如图，分别过点E,F 作AB的平行线EN,FM,则易得 AB∥MF∥NE∥CD.所以∠B+ ∠BFM=180°，∠MFE+∠NEF= 180°，∠D+∠DEN=180°.所以 ∠B+∠BFE+∠DEF+∠D= 180°×3=540°. C D N----- E M------F A B (第5题) 6.110°解析：如图，过点C作CM∥ AB.因为AB∥ED,所以AB∥CM∥ ED.所以∠ABC+∠BCM=180°， ∠EDC+∠DCM=180°.因为 ∠ABC=115°，∠EDC=135°，所以 ∠BCM=65°，∠DCM=45°.所以 ∠BCD=∠BCM+∠DCM=110°. B 少 -λC (第6题) 7.(1)80 (2)∠EPF=360°-∠1-∠2. 理由：如图①，过点P作PM∥AB. 51 因为ABCD, 所以易得AB//CD//PM. 所以∠1+∠EPM=180°，∠2+ ∠MPF=180°. 所以∠EPM=180°-∠1，∠MPF= 180°-∠2. 所以∠EPF=∠EPM+∠MPF= (180°-∠1)+(180°-∠2)=360° ∠1-∠2. (3)如图②，过点P作PM∥AB. 因为AB∥CD, 所以易得AB//CD//PM. 由(2)，知∠PGF=360°-∠MPG ∠2. 因为PM∥AB 所以∠1+∠EPM=180°. 所以∠EPM=180°-∠1. 因为∠EPG=∠EPM+∠MPG= 75, 所以∠MPG=75°-∠EPM=75°- (180°-∠1)=∠1-105. 所以∠PGF=360°-∠MPG-∠2= 360°-（∠1-105）-∠2=465°- (∠1+∠2). 因为∠1十∠2=325， 所以∠PGF=465°-325°=140°. A、 E -B ---M ① -D ② (第7题) 8.D 9.B解析：如图，过点M作MO∥ AB,过点N作NP∥AB.因为AB∥ CD,所以易得MO∥AB∥CD∥NP 所以∠AMO=∠1，∠OMC= ∠MCD.因为AM,CM分别平分 ∠BAE,∠DCN,所以∠BAE= 2∠1，∠DCN=2∠2，∠2=∠MCD. 所以∠2=∠OMC.所以∠AMC=