6.2 角-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 6.2角 第1课时 角的概念与度量 自基础进阶 (1)若n=43°，求∠COD的度数. 1.下列四个图中，能用∠1，∠AOB,∠O三种 (2)当∠AOD=3∠COE时，求∠COD的 方法表示同一个角的是 度数 0 (第5题) D 2.如图，小明将一副三角尺中60°角和90°角的 幻素能攀升 顶点A叠放在一起，小明经过实践发现，只 6.如图，∠AOB=100°，∠BOC=30°，小明想过 要保持三角尺ADE的边AD始终在∠BAC 点O引一条射线OD,使∠AOD:∠BOD= 的内部，∠BAE一∠CAD的度数就是一个 1:3(∠AOD与∠BOD都小于平角)，那么 定值，则这个定值为 ∠COD的度数是 () A.30°B.45° C.60°D.40° A.45 B.45°或105° C.120 D.45°或120° D (第2题) (第4题) B 3.(1)20.5°=20° (第6题) (第8题) (第9题) (2)1530'= 7.某人下午6点多外出购物，表上的时针和分 (3)2700”= 针的夹角恰为55°，下午近7点回家，发现表 (4)125°12'-36°48'= 上的时针和分针的夹角是33°，此人外出共 (5)20°26'+3554'= 用了 (6)90°-43°18= 0 A.16分钟 B.20分钟 4.如图，∠AOC=∠BOD=78°，且∠BOC C.32分钟 D.40分钟 30°，则∠AOD的度数为 8.如图，∠1=∠2=∠3，且图中所有角的和等 5.如图，O为直线AB上一点，射线OD,OC, 于180°，则∠AOB的度数为 OE位于直线AB的上方，OD在OE的左 9.(2023·宿迁宿城期末)如图，∠CAB=90°， 侧，∠AOC=120°，∠DOE=50°，射线OE在 ∠DAE=60°.若∠CAD=3∠BAE,则 ∠BOC的内部.设∠BOE=n. ∠BAD的度数为 118 第6章平面图形的初步认识 10.新考法·新定义题(2023·盐城大丰期末)如思维拓展 图①，OC是∠AOB内部的一条射线，图中 14.某同学晚上6点多钟开始做作业 有三个角：∠AOB,∠AOC和∠BOC,当其 他家墙上时钟的时针和分针的夹 中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC 角是120°，他做完作业后还是6点 为∠AOB的“巧分线”.如图②，如果 多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同 ∠MPN=60°，PQ是∠MPN的“巧分线”， 学做作业大约用了 () 那么∠MPQ的度数为 A.40分钟 B.42分钟 C.44分钟 D.46分钟 15.将∠AOB,∠COD按如图①所示的方式摆 放，将边OA,OC重合在直线MN上，边 OB,OD在直线MN的两侧，∠AOB=90°， (第10题) ∠COD=60°. 11.以∠AOB的顶点O为端点引射线OP,使 (1)保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋 ∠AOP:∠BOP=3：2.若∠AOB=50°， 转至如图②所示的位置，则∠AOC十 则∠AOP的度数为 ∠BOD= ,∠BOC-∠AOD= 12.如图，∠AOB=120°，∠AOD=2∠BOD. (1)求∠AOD的度数. (2)若∠COD按每分钟5°的速度绕点O按 (2)从点O引射线OC,若∠AOC:∠COB= 逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速 1：3,求∠COD的度数 度也绕点O按逆时针方向旋转，当O℃旋转 到射线OV上时都停止旋转，设旋转时间为 t分钟，求∠MOC一∠AOD的度数（用含t 0 的代数式表示) (第12题) D 13.如图，在同一平面内，∠AOB= ① ② 90°，∠A0C=25°，∠COD=50 (第15题) ∠BOD>15°，求∠BOD的度数. 0 B (第13题) 119 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 第2课时 补角、余角 自基础进阶 幻素能攀升 1.∠A和∠B互为余角，∠B与∠C互补，且 5.(2024·无锡梁溪期末)已知∠a和∠3互补， ∠C=130°，则∠A的度数为 且∠α>∠β，有下列表示∠3的余角的式子： A.30° B.40° ①90°-∠B;②∠a-90°；③180°-∠a; C.50° D.609 ①（∠a-∠.其中，正确的是 () 2.如图，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，则图 中∠1，∠2，∠3三个角的数量关系为() A.①②③④ B.①②④ A.∠1+∠2+∠3=909 C.①②③ D.①② B.∠1+∠2-∠3=90 6.如图，点A,O,B在同一条直线上，∠AOC= C.2∠1-∠2+∠3=90° ∠BOC,若∠1=∠2，则图中互余的角共有 D.∠1+2∠2-∠3=90 A.2对B.3对 C.4对D.5对 E、 D 02 0 B D (第6题) (第8题) (第2题)》 (第3题) 7.时钟的时针与分针所成的较小的角叫作钟面 3.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点 角.若某整点时刻，钟面角∠α的度数恰好是 重合于点O,则∠AOC十∠DOB= ∠α的补角度数的2倍，则此时对应的时刻 可能是 () 4.如图，∠AOB=155°，∠AO℃=∠BOD=90°. A.7时 B.5时 (1)写出与∠COD互余的角. C.6时 D.8时或4时 (2)求∠COD的度数 8.如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠COB: (3)图中是否有互补的角？若有，请写出来. ∠AOD=1:4,则∠AOB的度数为 9.在直线AB上任取一点O,过点O作射线 OC,OD,使∠COD=90°.当∠AOC=50°时， ∠BOD的度数是 0 B (第4题) 10.已知一个角的补角比这个角的4倍大15°， 求这个角的余角. 120 第6章平面图形的初步认识 11.如图，直线AB与CD相交于点O,∠BOE= (1)保持三角形AOB不动，将三角形COD ∠COF=90° 绕点O旋转至如图②所示的位置，则 (1)图中∠AOF的余角是 ∠BOC-∠AOD= (把符合条件的角都填出来) (2)保持三角形AOB不动，将三角形COD (2)图中除直角相等外，还有相等的角，请 绕点O按逆时针方向旋转a(α<180°)，试探 写出三对. 究∠BOC与∠AOD之间的数量关系. (3)①如果∠AOD=140°，那么根据 (3)若三角形COD以每分钟15°的速度绕 可得∠BOC= 点O按逆时针方向旋转，同时，三角形AOB ②如果∠EOP=号∠AOD,求∠BOF的 以每分钟9°的速度也绕点O按逆时针方向 旋转，多少分钟时，边OD第一次与边OB 度数 重合？ B (第11题) ① (第12题) 粉思维拓展 12.(2023·宿迁沭阳期末)两个直角 三角形按如图①所示的方式摆放 ∠AOB=∠OCD=90°，∠OAB 45°，∠COD=60°，将边OA,OC重合在直 线MN上，边OB,OD在直线MN的两侧. 121 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 第3课时 角的大小比较 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，OB是∠AOC的平分线，∠COD= 6.如图，将三角尺MON的直角顶点O放在直 3∠BOD,∠COD=17°，则∠AOD的度数是 线AB上.若OC是∠MOB的平分线，则下 列结论中，正确的是 () A.∠AOM=3∠CON A.85°B.83°C.70°D.68° B.∠AOM=2∠CON C.2∠AOM=3∠CON -B D.3∠AOM=5∠CON D 0 D (第1题) (第2题) B 2.如图，点O在直线AB上，OD平分∠COB, ∠AOE=3∠EOC,∠EOD=50°，则∠BOD 的度数为 ( (第6题) (第7题) A.10°B.20°C.30°D.40 7.将一张正方形纸片ABCD按如图所 3.(2023·句容期末)如图，点O在直线AB上， 示的方式折叠，AE,AF为折痕，点B 射线OC平分∠DOB.若∠COD=38°，则 D折叠后的对应点分别为B',D' AOD- 若∠B'AD=26°，则∠EAF的度数为()》 A.51°B.45°C.40°D.32 8.如图，OM是∠AOB的平分线，OP是 ∠AOM内部的一条射线.已知∠BOM的度 A O B B (第3题) (第4题) 数是∠POM的度数的5倍，∠AOP=40°，则 4.(2023·启东期末)把一副三角尺按如图所示 ∠AOB的度数为 的方式拼在一起，其中B,C,D三点在同一 直线上，CM平分∠ACB,CN平分∠DCE, 则∠MCN= 0 (第8题) (第9题) 5.已知∠1和∠2，且∠1>∠2（如图），求作一 9.如图，∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB, 个角，使角的大小等于2∠1一∠2. 且∠COD=20°，则∠AOB的度数为 10.(2023·南京秦淮期末)已知∠AOB=90°， (第5题) O℃是平面内一条射线，且∠BOC=26°，OD 平分∠AOC,则∠BOD的度数为 11.如图，O为直线AB上一点，过点O向直线 AB上方引三条射线OC,OD,OE,且OC平 122 第6章平面图形的初步认识 分∠AOD,∠2=3∠1，∠COE=75°，求∠21 思维拓展 的度数 13.★如图，在平面内，O是直线AC上一点， D ∠AOB=60°，射线OC不动，射线OA,OB 4X82 同时开始绕点O按顺时针方向转动，射线 OA首次回到起始位置时两射线同时停止 (第11题) 转动，射线OA,OB的转动速度分别为每秒 40°和每秒20°.若转动t秒时，射线OA, OB,O℃中的一条是由另外两条组成的角的 平分线，则t 0 12.如图，射线OC在∠AOB的内部，射线OD (第13题) 在∠AOB的外部，且∠AOB与∠COD互 14.(2023·扬州江都段考)如图①，O 补，∠AOC=∠BOD. 是直线AB上的一点，∠COD是直 (1)若∠BOD=30°，求∠BOC的度数， 角，OE平分∠BOC (2)若OB平分∠COD,求∠BOC的度数. (1)若∠AOC=30°，则∠BOD= (3)若射线OE满足∠COE：∠AOE=1: ∠DOE= 2,请写出∠COE与∠AOD之间的数量关 (2)将图①中的∠COD绕顶点O按顺时针 系，并说明理由、 方向旋转至如图②所示的位置，其他条件不 变，若∠AOC=a,求∠DOE的度数（用含a 的式子表示). (3)将图①中的∠COD绕顶点O按顺时针 方向旋转至如图③所示的位置，其他条件不 备用图 变，直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量 (第12题) 关系： ① ② (第14题) 123因为BD=AB=CD, 所以AB=4BD=4x,CD=3BD 3.x. 所以BC=CD一BD=3x一x=2x 所以AC=AB+BC=4x+2.x=6.x. 因为E为线段AB的中点， 所以BE=子AB=号×=2x 所以EC=BE+BC=2x+2x=4x. 又因为E℃=16， 所以4x=16,解得x=4. 所以AC=6.x=6X4=24 10.(1)当t=1时，AM=1cm, CN=2 cm, 所以MC=AC-AM=6一1= 5(cm). 所以MN=MC+CN=5+2= 7(cm). (2)由题意，得AM=tcm,MC= (6-t)cm, 因为当点M运动到点C时，点M,N 都停止运动， 所以0≤t≤6. ①当0t2时，点N从，点C向点B 运动，CN=2tcm. 因为C为线段MN的中点， 所以MC=CN,即6一t=2t,解得t=2, ②当2<1≤4时，点N从点B向点C 运动，BV=(21-4)cm,CN=4 (2t-4)=(8-2t)cm. 因为C为线段MN的中点， 所以MC=CN,即6-t=8-2t,解得 t=2(舍去). ③当4<t≤6时，点N从点C向点B 运动，CN=(2t-8)cm. 因为C为线段MN的中点， 所以MC=CN,即6-t=2t-8,解得 14 综上所述，当1=2或时，C为线段 MN的中点. (3)存在. ①当0<t≤2时，点N从点C向点B 运动，CN=2tcm. 因为P是线段CN的中点， 所以CP=CV=1em 所以PM=MC+CP=6一t+t= 6(cm). 此时，PM的长保持不变， ②当2<t<4时，点N从，点B向点C 运动，CN=(8-2t)cm. 因为P是线段CN的中点， 所以Cp-7CN=2(8-2)=(4 1 cm. 所以PM=MC+CP=6-t+(4 t)=(10-2t)cm. 此时，PM的长会变化. ③当4<t≤6时，点N从，点C向点B 运动，CN=(2t-8)cm. 因为P是线段CN的中点， 所以cp=CN=2(21-8)=1 1 4)cm. 所以PM=MC+CP=6-t+(t 4)=2(cm). 此时，PM的长保持不变 综上所述，当0<1≤2或4<t≤6时， PM的长保持不变，PM的长分别为 6cm或2cm. 6.2角 第1课时角的概念与度量 1.D2.A3.(1)30(2)15.5 (3)0.75(4)8824(5)5620 (6)46424.126 5.(1)因为∠AOC=120°， 所以∠BOC=180°-∠AOC=60° 由n=43°，可得∠COE=∠BOC- ∠BOE=17 所以∠COD=∠DOE-∠COE= 50°-17°=33 (2)因为∠AOD=3∠COE, ∠AOD+∠DOE-∠COE= ∠AOC=120°，∠DOE=50°， 所以3∠COE+50°一∠COE=120°， 解得∠COE=35°. 39 所以∠COD=∠DOE一∠COE= 50°-35°=15°. 6.D解析：分两种情况讨论：①当 OD在∠AOB的内部时，因为 ∠AOD:∠BOD=1：3,∠AOB= 100°，所以∠AOD= 号∠AOB ×100°=25.所以∠C0D= 4 ∠AOB-∠BOC-∠AOD=100° 30°-25°=45°.②当OD在∠AOB 的外部时，因为∠AOD：∠BOD= 1：3,∠AOB=100°，所以∠AOD= ∠A0B=号×100=50.因为 1 ∠AOC=∠AOB-∠BOC=100° 30°=70°，所以∠COD=∠AOD+ ∠AO℃=50°+70°=120°.综上所述， ∠COD的度数是45°或120 7.A解析：设时针从某人外出到回 家转了x°，则分针转了(55+33十 八由题意，得5+3+=六：解 360 得x=8.因为时针每小时转30°，所以 0小时=16分钟，即此人外出用了 16分钟. 8.54°解析：如图，设∠1=∠2= ∠3=x,则∠AOD=∠COB=2.x, ∠AOB=3.x.因为∠AOC+ ∠AOD+∠AOB+∠COD+ ∠COB+∠DOB=180°，所以x+ 2x+3x+x+2x+x=180°.所以x= 18°.所以∠AOB=3x=54. A 一D 0 —B (第8题) 9.22.5°解析：设∠BAD=x°，则 ∠BAE=(60-x)°，∠CAD=(90十 x)°.根据题意，得90十x=3(60-x), 解得x=22.5.所以∠BAD=22.5. 10.20°或30°或40°解析：因为 ∠MPN=60°，PQ是∠MPN的“巧 分线”，所以由“巧分线”的定义，可知 有三种情况符合题意：①当 ∠NPQ=2∠MPQ时，∠MPN= ∠MPQ+∠NPQ=3∠MPQ=60°， 解得∠MPQ=20°；②当∠MPN 2∠MPQ时，∠MPQ=2∠MPN= 30°；③当∠MPQ=2∠NPQ时， ∠MPN=∠MPQ+∠NPQ= 三∠MPQ=60,解得∠MPQ=40 综上所述，∠MPQ=20或30°或40. 11.30或150°解析：因为∠AOP: ∠BOP=3：2,所以∠BOP= 号∠AOP.当OP在∠AOB的内部 时，∠AOB=∠AOP+∠BOP= 号∠AOP=50,所以∠A0P=30 当OP在∠AOB的外部时，∠AOB= ∠AOP-∠BOP=子∠AOP,所以 ∠AOP=150.综上所述，∠AOP的 度数为30或150°. 12.(1)因为∠AOD=2∠BOD, 所以∠AOD= 2∠AOB. 因为∠AOB=120°， 所以∠AOD= 2×120°=80. (2)当OC在∠AOB的内部时， 因为∠AOC:∠COB=13, 所以∠AOC=子∠AOB, 因为∠AOB=120°， 所以∠A0C=1×120=30. 由(1)，得∠AOD=80°. 所以∠COD=∠AOD-∠AOC= 80°-30°=50°. 当O℃在∠AOB的外部时， 因为∠AOC：∠COB=1:3, 所以∠AOC:∠AOB=1:2. 因为∠AOB=120°， 所以∠A0C-=2×120=60 所以∠COD=∠AOD+∠AOC= 80°+60°=140° 综上所述，∠COD的度数为50° 或140. 13.如图①，当OC在∠AOB的外部， OD在∠AOB的内部时， 因为∠AOC=25°，∠COD=50°， 所以∠AOD=∠COD一∠AOC= 25 因为∠AOB=90°， 所以∠BOD=∠AOB-∠AOD= 65 如图②，当OC在∠AOB的外部，OD 在∠AOB的外部时， 因为∠AOC=25°，∠COD=50°， 所以∠AOD=∠AOC+∠COD= 75° 因为∠AOB=90°， 所以∠BOD=∠AOB+∠AOD= 165. 如图③，当OC在∠AOB的内部时， OD在∠AOB的外部 因为∠AOC=25°，∠COD=50°， 所以∠AOD=∠COD-∠AOC= 25. 因为∠AOB=90°， 所以∠BOD=∠AOB+∠AOD= 115°. 综上所述，∠BOD的度数为65°或 115或165 A 0 0 B ① A C 0 ② 0 ③ (第13题) 40 14.C解析：设时针转了x°，则分针 转了(120+120+x)°，即(240+x) 由题意，得六-2，解得上 30 架因为时针每小时转0，所以用 790X0 （分钟），大约为 480 44分钟. 15.(1)150°：30°. 解析：∠AOC+ ∠BOD=∠AOC+∠AOD+ ∠AOB=∠COD+∠AOB=60°+ 90°=150°，∠B0C-∠AOD= (∠AOB-∠AOC)-(∠COD ∠AOC)=∠AOB-∠AOC- ∠COD+∠AOC=∠AOB- ∠COD=90°-60°=30. (2)因为旋转时间为t分钟， 所以∠MOC=(5t)°，易得0<1≤36. ①当OD与OA相遇前，易得0<1< 20,此时，∠AOD=(60+2t-51)°= (60-3t)°， 所以∠MOC-∠AOD=(8t-60)°. ②当OD与OA相遇及相遇后，易得 20≤t≤36，此时，∠AOD=[5t- (60+2t)7°=(3t-60)°， 所以∠MOC-∠AOD=(2t+60). 综上所述，∠MOC-∠AOD的度数 为(8t一60)或(2t+60)°. 第2课时补角、余角 1.B2.A3.180 4.(1)因为∠AOC=∠BOD=90°， 所以∠COD+∠AOD=90°， ∠COD+∠BOC=90. 所以与∠COD互余的角是∠AOD, ∠BOC. (2)因为∠AOB=155°，∠AOC= ∠BOD=90°， 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC= 155°-90°=65° 所以∠COD=∠BOD一∠BOC= 90°-65°=25. (3)有. ∠COD与∠AOB互补，∠AOC与 ∠BOD互补. 5.B解析：因为∠a与∠3互补，所 以∠3=180°-∠a,∠a=180°-∠3. 90°-∠3表示∠3的余角，所以①正 确.∠a-90°=180°-∠3-90°= 90°-∠3，所以②正确.180°-∠a ∠B,所以③错误.2（∠a-∠9）= 合18n-∠R-∠p)=90r-∠A所 以④正确。 6.C解析：因为∠AOC=∠BOC, ∠AOC+∠BOC=180°，所以 ∠AOC=∠BOC=90°.所以∠1+ ∠AOE=90°，∠2+∠COD=90°.因 为∠1=∠2，所以∠COD=∠AOE 所以∠1+∠COD=90°，∠2十 ∠AOE=90°.所以图中互余的角共有 4对. 7.D解析：根据题意，得∠a 2(180°-∠a),解得∠a=120°.此时 对应的时刻可能是8时或4时. 8.54°解析：设∠BOC=x,则 ∠AOD=4x.因为∠AOD ∠AOB+∠BOD=∠AOC ∠BOC+∠BOD,所以4.x=90° x+90°.所以x=36°，即∠BOC 36°.所以∠AOB=∠AOC ∠BOC=54°. 9.40°或140°解析：当射线0C,OD 在直线AB的同侧时，因为∠COD= 90°，∠AO℃=50°，所以∠BOD= 180°-∠COD-∠AOC=40°.当射线 OC,OD在直线AB的异侧时，因为 ∠COD=90°，∠AOC=50°，所以 ∠AOD=∠COD-∠AOC=40°.所 以∠BOD=180°-∠AOD=180° 40°=140°.综上所述，∠BOD的度数 是40或140. 10.设这个角为x°，则这个角的补角 为(180-x). 依题意，得(180-x)-4x=15,解得 x=33. 所以90°-33°=57° 所以这个角的余角是57°， 11.(1)∠AOC,∠EOF,∠BOD. (2)答案不唯一，如∠COE=∠BOF ∠AOD=∠COB,∠AOF=∠DOE. (3)①同角的补角相等；140. ②设∠EOF=x°，则∠AOD=(5.x)°. 由题意，得∠DOF=180°一∠COF= 90°. 因为∠EOF+∠DOE=90°， ∠DOE+∠BOD=90°， 所以∠BOD=∠EOF=x. 又因为∠AOD+∠BOD=180°， 所以5.x+x=180,解得x=30. 所以∠EOF=30°. 12.(1)30.解析：因为∠BOC= ∠AOB 一 ∠COA,∠AOD ∠COD一∠COA,所以∠BOC ∠AOD=(∠AOB-∠COA) (∠COD-∠COA)=∠AOB ∠C0D=90°-60°=30°. (2)由题意，得∠COA=a. ①当0°<α≤60时，如题图②， 由(1)，得∠BOC-∠AOD=30°. ②当60°<a≤90°时，如图①， ∠BOC=90°-a,∠AOD=a-60°， 所以∠BOC+∠AOD=90°-a+a 60°=30°. ③当90°<a<180°时，如图②， ∠BOC=a-90°，∠AOD=a-60°， 所以∠AOD-∠BOC=a-60° (a-90°)=30° 综上所述，∠BOC与∠AOD之间的 数量关系为∠BOC一∠AOD=30°或 ∠BOC+∠AOD=30°或∠AOD ∠BOC=30°. (3)因为三角形COD以每分钟15°的 速度旋转， 所以OD以每分钟15°的速度旋转. 同理，OB以每分钟9的速度旋转. 因为∠BOD=∠BOA+∠AOD= 90°+60°=150°， 所以150÷(15-9)=25（分钟）. 所以25分钟时，边OD第一次与边 OB重合. 0 A N ① 41 0 ② (第12题) 第3课时角的大小比较 1.A2.A3.1044.127.5 5.如图，∠BOD即为所求. D A 0 (第5题) 6.B解析：因为∠MON=90°，所以 ∠BON=90°-∠AOM.所以 2∠BON=180°-2∠AOM.因为OC 是∠MOB的平分线，所以∠MOC= ∠0C=号∠MOB.因为∠0C ∠BON+∠NOC,所以∠AOM= 180°-2∠BOC=180°-2∠BON 2∠CON.所以∠AOM=180°- (180°-2∠AOM)-2∠CON.所以 ∠AOM=2∠CON. 7.D解析：因为四边形ABCD为正 方形，所以∠DAB=90°.由折叠的性 质，可得∠BAE=∠B'AE,∠DAF= ∠D'AF.所以2∠DAF+2∠BAE= ∠DAB+∠B'AD'.因为∠B'AD'= 26,所以2（∠DAF+∠BAE)= 90°+26°.所以∠DAF+∠BAE= 58°，所以∠EAF=∠DAB (∠DAF+∠BAE)=90°-58°=32 8.100°解析：设∠POM=a,则 ∠BOM=5a.因为OM是∠AOB的 平分线，所以∠AOB=2∠BOM= 10a,∠AOM=∠BOM=5a.因为 ∠AOM-∠POM=∠AOP, ∠AOP=40°，所以5a一a=40°，解得 a=10°.所以∠AOB=10a=100. 9.120°解析：设∠AOC=x.因为 ∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB, 且∠COD=20°，所以∠COB=2x, ∠AOB=3x,∠AOD=2∠AOB= 1.5.x.所以∠COD=∠AOD ∠A0C=0.5.x=20°.所以x=40°.所 以∠AOB的度数为3×40°=120°， 10.32°或58°解析：当OC在 ∠AOB内时，∠AOC=∠AOB ∠BOC=64°.因为OD平分∠AOC, 所以∠0OD=号∠A0C=32.所以 ∠BOD=∠COD+∠BOC=58°.当 OC在∠AOB外时，∠AOC= ∠AOB+∠BOC=116°.所以 ∠COD=令∠A0C=58.所以 ∠BOD=∠COD-∠BOC=32°. 11.因为OC平分∠AOD, 1 所以∠3=∠4=2∠AOD, 因为∠AOD=180°-∠BOD, 所以∠3=7(180°-∠B0D)=90 3∠1+∠2. 因为∠2=3∠1， 所以∠3=90-2（∠1+3∠1） 90°-2∠1. 因为∠1+∠3=∠COE=75°， 所以∠3=75°-∠1. 所以90°-2∠1=75°-∠1. 所以∠1=15. 所以∠2=3∠1=45. 12.因为∠AOB与∠COD互补， 所以∠AOB+∠COD=180°，即 ∠AOC+∠BOC+∠BOC+ ∠BOD=180°. 因为∠AOC=∠BOD, 所以2∠AO℃+2∠BOC=180°. 所以∠AOC+∠BOC=90°，即 ∠AOB=90° 所以∠COD=90° (1)因为∠BOD=30°， 所以∠BOC=∠COD-∠BOD=60. (2)因为OB平分∠COD,∠COD 90°， 所以∠0C=2∠CoD=45 (3)∠AOD-∠COE=90°或 ∠AOD-3∠COE=90°. 理由：如图①，OE在∠AOC的外部. 因为∠COE:∠AOE=1:2, 所以∠COE=∠AOC. 因为∠AOD=∠COD+∠AOC, 所以∠AOD=90°+∠COE,即 ∠AOD-∠COE=90°. 如图②，OE在∠AOC的内部. 因为∠COE∠AOE=1:2, 所以∠AOC=3∠COE. 因为∠AOD=∠COD+∠AOC, 所以∠AOD=90°+3∠COE,即 ∠AOD-3∠COE=90°. 综上所述，∠AOD-∠COE=90或 ∠AOD-3∠COE=90° ① ② (第12题) 13.4或5解析：①当OA是OB OC组成的角的平分线时，∠AOC= ∠AOB.由题意，得∠AOC=(180 40t)°，∠AOB=(20t-60)°，则20t 60=180一40t,解得t=4.②当O0℃ 是OB,OA组成的角的平分线时， ∠AOC=∠BOC.由题意，得 ∠AOC=(40t-180)°，∠BOC= (120-20t)°，则40t-180=120 20t,解得t=5.③当OB是OC,OA 组成的角的平分线时，∠BOC= ∠A0B=∠A0C.由题意，得 42 ∠BOC=(201-120)°，∠AOB= 合∠A0c-=2(40r-1ay=(2w 90)°，则20t一120=201一90，方程无 解.综上所述，t的值为4或5. 方法归纳 解决动态型问题的一般方法 解决动态型问题的一般方法 是根据问题的条件画出示意图，将 动态问题转化为静止问题，并根据 其中的数量关系建立等量关系式 求得结果.由于OA,OB都是转动 的，可分为三种情况讨论：①当 OA是OB,OC组成的角的平分线 时：②当OC是OB,OA组成的角 的平分线时：③当OB是OC,OA 组成的角的平分线时. 14.(1)60:15.解析：因为O是直 线AB上的一点，∠COD是直角， ∠AOC=30°，所以∠BOD=180° ∠AOC-∠COD=60°.因为 ∠COD=90°，∠BOD=60°，所以 ∠BOC=∠COD+∠BOD=150°.因 为OE平分∠BOC,所以∠BOE= 2∠BOC=75.所以∠D0E- ∠BOE-∠BOD=75°-60°=15. (2)因为∠AOC=a, 所以∠BOC=180°-a 因为OE平分∠BOC, 所以∠C0E=7∠B0C=90-7. 所以∠DOE=∠COD一∠COE= 90-(0°-2a）3a. (3)∠AOC=360°-2∠DOE. 解析：设∠AOC=x,则∠BOC= 180°-x.因为OE平分∠BOC,所以 ∠C0E=2∠B0C=90-3.所以 ∠DOE=∠COD+∠COE=90°+ 1 1 90°-2x=180°-7x.所以 ∠D0E=180-∠A0C.所以 ∠AOC=360°-2∠DOE.