4.1 等式与方程-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（苏科版2024）

(b-2)=10b-20+4+10a+b-2= 10a+11b-18. 因为m是“好六数”， 所以a+4-(b-2)=6,即a=b. 所以p+g=21a-18=3(7a-6). 因为a是小于10的自然数， 所以7a一6为整数. 所以p十q能被3整除。 综合与实践密码中的数学 1.B解析：由题意，知密文“23”对应 的明文是“我”，密文“25”对应的明文 是“爱”，密文“29”对应的明文是“中”， 密文“35”对应的明文是“华”，所以密 文“23,25,29,35”对应的明文是“我爱 中华” 2.D解析：由题图，可知明文“数”对 应的密文可以是“165”或“107”或 “49”:明文“学”对应的密文可以是 “137”或“79”或“21”，显然D选项符 合题意 3.KNSZYWLB,解析：由题图，可 知密文“69”对应的明文是“K”;密 文“72”对应的明文是“N”;密文 “19”对应的明文是“S”;密文“55” 对应的明文是“Z”:密文“83”对应的 明文是“Y”;密文“23”对应的明文 是“W”;密文“70”对应的明文是 “I”:密文“31”对应的明文是“B”: 密文“27”对应的明文是“，”.所以密 文“697219558323703127”翻 译成明文是“KNSZYWLB,”. 4.(1)YUAN对应的密文为WZSM (2)字母A加密1次后对应的字母是 S,加密2次后对应的字母是R,加密 3次后对应的字母是L,加密4次后对 应的字母是B,加密5次后对应的字 母是I,加密6次后对应的字母是 A,…, 所以明文A通过加密后所对应的字 母按S,R,L,B,I,A循环出现 因为100÷6=16…4， 所以明文A加密100次后对应的密 文是B. (3)存在 字母H加密1次后对应的字母是V, 加密2次后对应的字母是H, 所以字母H加密100次后仍为H. 字母V加密1次后对应的字母是H, 加密2次后对应的字母是V 所以字母V加密100次后仍为V. 所以明文字母H和V加密100次后 得到的密文仍为其本身 第4章 一元一次方程 4.1等式与方程 第1课时等式 1.D2.D3.22+90.x=30.1 4.(1)加上38等式的基本性质1 (2)减去3x7等式的基本性质1 (3)乘3 ·等式的基本性质2 5.(1)等式两边都减去5，得5+x一 5=-2-5. 合并同类项，得x=-7. (2)等式两边都加上2x十6，得3x一 6+2.x+6=-31-2.x+2.x+6. 合并同类项，得5.x=一25. 两边都除以5，得x=一5. (3)等式两边都减去6，得6一2x 6=-2-6. 合并同类项，得-2x=一8. 两边都除以一2，得x=4. (4)等式两边都加上3x一10，得4x+ 10+3x-10=31-3x+3.x-10. 合并同类项，得7x=21. 两边都除以7，得x=3. 6.A解析：设□”的质量为x,“△” 的质量为y,“○”的质量为c.因为各 选项中天平保持平衡，所以A选项可 表示为2x=3y;B选项可表示为2c十 x=2y+2c,即x=2y:C选项可表示 为x+c=c+2y,即x=2y:D选项可 表示为2x=4y,即x=2y.所以只有 A选项的等式与其他的等式不同，即 A选项的天平状态不对. 7.C解析：有x名工人生产甲种部 23 件，则有(68一x)名工人生产乙种部 件.根据“2个甲种部件和3个乙种部 件配成一套”可得等式3×8.x=2× 5×(68-x). 8.3 9.7.5解析：天平左右两边同时减 去一个A和一个B,即可得一个A的 质量与两个B的质量相等，则B的质 量为7.5克 10.②③ 11.<解析：8m+3n+2=4m+ 7n,根据等式的基本性质，可得8m十 3n+2-4m-7n-2=4m+7n- 4m-7n一2，即4m一4n=一2，所以 m-n=- 因为- 1 <0,所以 m一n<0.所以易得m<n. -2 12.由 一2，可得一4x (-2)×3=-2,即-4x+6=-2. 所以一4x=一8. 所以x=2. 13.不正确. 步骤①正确，运用了等式的基本性质 步骤②不正确. 因为x可能为0 所以等式5.x=2x两边不能同时除 以x, 正确步骤：等式两边同时加上2，得 5.x-2+2=2x-2+2,即5.x=2x. 等式两边同时减去2x,得5.x-2x= 2x-2x,即3x=0. 等式两边同时除以3，得x=0. 14.150解析：根据题图，可得大苹 果的质量=小苹果的质量十50g,大 苹果的质量十小苹果的质量= 200g十50g,据此可运用等式的基本 性质得到2个小苹果的质量=200g, 即1个小苹果的质量=100g,所以 1个大苹果的质量=150g. 15.(1)答案不唯一，如9×6=54= (6-1)×10+(10-6). (2)①9. ②能. 由题意，得9a=10a+b一a一b= 10(a-1)+(10-a), 所以(a-1)+(10-a)=a-1+10- a=9. 所以在这个魔术中，猜的结果始终 是9. 第2课时方程 1.B2.C3.-44.(15-3)· (x+30)=15.x 5.0子+7=26 (2)2.x-5=21 (3)7+6+65=148 (4)45.x+15=60(.x-1). 6.C7.A 8.2x一6=x+6解析：因为在老师 调整前班长后面有x人，所以调整前 班长前面有2x人.根据“现在老师将 班长往前调了6个位置，调整后班长 发现他前面的人数和后面的人数一 样”，即可列出方程为2x一6=x十6. 9.y=0解析：关于y的方程可化为 0y+21)+2-2024y+21)=m.因 为关于x的方程x十2一2024=m 的解是x=21,所以y+21=21.所以 y=0. 10.把x=4代人方程，得8+a=4 1,解得a=-5. 所以2a+3=2×(-5)+3=-7. 11.(1)a+c=2b. (2)22. (3)不能. 若a十6+c=84,则6=84=28，c 3 28-6=22,a=28+6=34. 因为月历中最大的数为31， 所以a+b+c的和不能是84. 12.一4解析：方程两边都乘6，得 2(k.x一a)=6-3(2.x+bk),即2kx 2a=6一6.x一3bk.整理，得(2x十 3b)k+6x=2a+6.因为无论k取何 值，方程的解总是x=2,所以2×2十 3b=0,2a+6=6×2,解得a=3,b= 所以=3×(-)=4 13.(1)x=4, (2)x=a. (3)把x=a代人等式，左边=a3十 a=右边. (4)(x-1)3+x=(a+1)3+a+2, 整理，得(x-1)3+x-1=(a十1)3十 a+1, 所以x-1=a十1，解得x=a十2. 4.2一元一次方程及其解法 第1课时一元一次方程 1.A2.B3.一24.答案不唯 一，如2.x一3=3 5.(1)当2=一号时，方程的左边 5x(-)+1 =-1 8 6,右边= -1=8， 因为左边≠右边， 所以x=一是不是原方程的解。 当x=3时，方程的左边=5X3+1 8 2,右边=3-1=2， 因为左边=右边， 所以x=3是原方程的解 (2)当y=一1时，方程的左边=2× (一1一1)=一4，右边=9×(1十 1)=18, 因为左边≠右边， 所以y=一1不是原方程的解。 当y=1时，方程的左边=2×(1一 1)=0,右边=9×(1-1)=0， 因为左边=右边， 所以y=1是原方程的解。 6.A解析：由一元一次方程的定义， 得m一2=1，即m=3,则这个方程是 3x=0,解得x=0. 7.A解析：由mx+2=n一x,得 (m+1)x=一2.因为该方程有无数 个解，所以m+1=0,n-2=0,解得 24 m=-1,n=2.当m=-1,n=2时， 3m+n=-3+2=-1. 8.D解析：2025-2025y=a十 4050,整理，得+2 2025 -a=2025y+ 4050,即y+2 2025 -a=2025(y+2).因 为关于x的-元一次方程225Q 2025x的解是x=5,所以y+2=5, 解得y=3.所以关于y的一元一次方 程)22025y=a+4050的解是 y=3. 9.27 10.x=一2解析：把x=a代入方 程2x-b=0,得2a-b=0,即b=2a. 解方程ax十6=0，得x=-名.把 b=2a代人x=- ,得x=一2. 11.一1解析：因为一mx+n=3,所 以mxn=一3.由表格，可知当 x=-1时，m.x一n=一3，所以关于x 的方程-mx十n=3的解为x=一1. 12406+202-1 13.(1)x=7 (2)x=-1. (3)x=-3. (4)x=24. 14.(1)因为关于x的方程(5一 m)x2+(5-m)x+n-2=0是- 元一次方程， 所以5一m=0,5一m≠0. 所以m=-5. (2)当m=一5时，方程为10x+n 2=0. 解方程5x一7=8，得x=3, 所以10×3十n-2=0,解得n=-28. 15.x=-7解析：把x=7代人 5a+x=12,得5a+7=12,解得a= 1.把a=1代人5a-x=12,得5- x=12,解得x=一7.第4章一元一次方程 4.1等 第1课时 白基础进阶 1.(2024·盐城三模)已知七年级某班30名学 生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人 种2棵树，其中男生有x人.根据情境中的等 量关系可列出的一个等式为 A.2x+3(72-x)=30 B.3x+2(72-x)=30 C.2x+3(30-x)=72 D.3x+2(30-x)=72 2.根据等式的性质，下列变形正确的是() A.如果8a=4,那么a=2 B.如果ac=bc,那么a=b 2=?,那么2a=36 C,如果g=b D.如果1-2a=3a,那么3a+2a=1 3.一头半岁的蓝鲸的体重为22吨，平均每天增 加x吨，90天后体重为30.1吨，由上可得等 式为 4.(1)已知等式x一3=5，两边同时 得x= ,根据是 (2)已知等式4x=3x+7,两边同时 得x= ,根据是 (3)已知等式3x= 1 之，两边同时 得x= ,根据是 5.利用等式的基本性质，将下列等式变形为 x=c(c为常数)的形式： (1)5+x=-2. (2)3x-6=-31-2x. 74 式与方程 等式 (3)6-2x=-2. (4)4x+10=31-3.x. 幻素能攀升 6.有三种不同质量的物体“口”“△”“○”，其中， 同一种物体的质量都相等，在天平的左右托 盘中都放上不同个数的物体，下列四个天平 中只有一个天平状态不对，则该天平是 ( ☐☐山△△△y O口O△△O○ △ A. B. 口O山OA△ ☐口山△△△△ C. D. 7.某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲 种部件或5个乙种部件，2个甲种部件和3个 乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部 件刚好配套，有x名工人生产甲种部件，根据 情境中的等量关系可列出的一个等式为 () A.8x=5X(68-x) B.5x=8X(68-x) C.3X8.x=2X5X(68-x) D.2X8.x=3X5×(68-x) 8.如图，若将天平左盘中两个等重的物品取下 一个，则右盘中取下 个砝码天平仍 然平衡。 R纱 (第8题) 9.如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A 的质量为15克，则当B的质量为 克 时，天平处于平衡状态 、AABAB BB (第9题) 10.有下列等式的变形：①3x+6=0可变形为 3x=6;②2x=x-1可变形为2x一x= -1;③2+x-3=2x+1可变形为2-3 1=2x一x;④4x一2=5十2x可变形为 4x一2x=5一2.其中，正确的是 (填序号). 11.已知8m十3n+2=4m+7n,利用等式的基 本性质比较m与n的大小关系：m n(填>”“<”或“=”)。 12.新考法·新定义题对于任意有理数a,b,c, a b 1 2 d,我们规定 =ad一bc,如 c d 34 -2 1×4-2×3=-2.若 =一2，请根 3 -4 据等式的基本性质求出x的值， 13.有一只狡猾的狐狸，它平时总喜欢戏弄其他 动物.有一天这只狐狸遇见了老虎，于是对 老虎说：“我发现2和5是可以一样大的，这 里有一个等式5x一2=2x一2.等式两边同 时加上2，得5x-2+2=2x-2+2①，即 5x=2x.等式两边同时除以x,得5=2②.” 你认为狐狸的说法正确吗？如果正确，请说 第4章一元一次方程 明步骤①②正确的原理；如果不正确，请指 出错在哪里并改正， 瑞思维拓展 4.小华同学将两个不同大小的苹果 放到天平上称，当天平保持平衡时 砝码的质量如图所示，则大苹果的 质量为 g 200g 09 50g (第14题) 5.观察以下等式： ①9×9=81=(9-1)×10+(10-9)： ②9×8=72=(8-1)×10+(10-8)； ③9×7=63=(7-1)×10+(10-7)； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请再写出一个等式： (2)数学活动课上，王老师给学生变了一个 魔术，他让学生任意想一个两位数，然后用 这个两位数减去十位上的数字和个位上的 数字，再将所得差的个位上的数字与十位上 的数字相加，王老师便能猜中最后的结果. ①王老师猜的结果是 ②若设最初想的两位数的十位上的数字是 Q,个位上的数字是b,你能解释这个魔术的 原理吗？ 75 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 第2课时 自基础进阶 1.有下列各式：①x=0;②2x>3;③x2十x 2=0:01+2=0:⑤3x-2:⑥x-y=0. 其中，是方程的有 A.3个B.4个C.5个D.6个 2.《算法统宗》是我国古代数学名著，内有一道 “以碗知僧”的题目：“巍巍古寺在山中，不知 寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不差 争.三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问 先生能算者，都来寺内几多僧？”大意如下：山 上有一座都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合 吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了 364只碗.请问：都来寺里有多少个和尚？若 设有x个和尚，则可列方程为 A.3.x+4x=364 B+ 4x=1 C营+=364 n364+364-l 3x 4x 3.做作业时，小明不小心将方程中的一个常数 污染，方程变为2(x一3)一■=x十5，老师告 诉他原方程的解是x=7,则这个被污染的常 数为 4.一批零件按计划生产需15天完成，实行承包 后，调动了工人的生产积极性，每天可多生产 30个零件，因此提前3天完成任务，求原计 划每天生产多少个零件若设原计划每天生 产x个零件，可列方程为 5.根据所设未知数列出方程： (1)某数的5与这个数的一半的和是25，求 这个数（设这个数为x). (2)小华的年龄是21岁，小华的年龄比小强 年龄的2倍小5岁，求小强的年龄（设小强的 76 方程 年龄为x岁). (3)一本书，小明第一天读了全部的)还多 6页，第二天读了65页，两天一共读了143页， 求这本书共有多少页（设这本书共有x页）. (4)某校七年级学生外出参观，如果每辆汽 车坐45人，那么有15名学生没有座位：如果 每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车.求一 共有多少辆汽车（设一共有x辆汽车）. 甸素能攀升 6.下列方程中，解为x=4的是 A.x-1=4 B.4x=1 C.4x-1=3x+3D.2(x-1)=1 7.(2024·广州)某新能源车企今年5月交付新 车35060辆，且今年5月交付新车的数量比 去年5月交付的新车数量的1.2倍多1100辆. 设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意， 可列方程为 () A.1.2x+1100=35060 B.1.2x-1100=35060 C.1.2(x+1100)=35060 D.x-1100=35060×1.2 8.在一节体育课中，老师让全班学生排成一列， 班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现 前面的人数是后面的两倍.现在老师将班长 往前调了6个位置，调整后班长发现他前面 的人数和后面的人数一样.问：在老师调整前 班长后面有多少人？设在老师调整前班长后 面有x人，则可列方程为 9.已知关于x的方程x+2一2024x=m的解 是x=21,则关于y的方程)y+232024y+ 21)=m的解是 10.已知关于x的方程2x+a=x一1的解是 x=4,求2a十3的值. 11.如图所示为2024年3月的月历，按图中的 方式任意框出三个数a,b,c. (1)a,b,c的关系是 (2)当a十b+c=66时，b= (3)a+b十c的和能是84吗？为什么？ 日 三四五 六 12 3 46 6 789 10111213 141516 17181920 22223 24252627 282930 31 c 、a (第11题) 第4章一元一次方程 思维拓展 12.已知a,b为定值，无论k取何值 关于x的方程2=1-2红 2 的解总是x=2,则ab= 13.阅读下面的材料： 关于x的方程x3+x=13+1的解 是x=1; x3+x=23十2的解是x=2; x3+x=(一2)3+（一2）的解是x=一2. 根据以上材料，解答下列问题： (1)观察上述方程以及解的特征，请你直接 写出关于x的方程x3+x=43+4的解为 (2)比较关于x的方程x3+x=a3十a与上 面各式的关系，猜想它的解是 (3)请验证(2)中的结论 (4)利用(2)中的结论，求关于x的方程 (x-1)3+x=(a+1)3+a十2的解， 77