3.2 代数式的概念-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 3. 2代数式的概念 第1课时代数式及列代数式 自基础进阶 (1)把表格补充完整， 圆环串中 1.有下列式子：①m×n:@33ab;圆4(x+ 圆环的个数 y);④m+2天；⑤abc3.其中，符合代数式书 实心圆圈和空心 10 19 28 写规范的有 圆圈的总个数 A.2个 B.3个 (2)设圆环串由x个圆环组成，请你求出组 C.4个 D.5个 成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总 2.下列赋予4a实际意义的例子中，错误的是 个数（用含x的代数式表示）. ( A.若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买 a千克葡萄的金额 B.若a表示一个正方形的边长，则4a表示 这个正方形的周长 C.若4和a分别表示一个两位数中的十位 上的数字和个位上的数字，则4a表示这 幻素能攀升 个两位数 6.某校现需购买甲、乙两种读本共300本，供教 D.某款凉鞋进价为a元/双，销售这款凉鞋 职工阅读，其中甲种读本的单价为15元，乙 盈利100%，则销售两双的销售额为 种读本的单价为20元.设购买甲种读本 4a元 x本，则购买乙种读本的费用为 () 3.已知A,B两地相距50km,甲、乙两人分别从 A.15.x元 B.20(300-x)元 A,B两地同时出发，相向而行，速度分别为 C.15(300-x)元D.(300-15x)元 xkm/h,ykm/h,当甲、乙两人第二次相距 7.将长、宽、高分别为x,y,之的长方体 a(a<50)km时，行驶时间为 h 箱子按如图所示的方式打包（粗黑 4.有三个连续的偶数，最大的一个偶数是2n十 线)，则打包带的长至少为 2,则最小的一个偶数可以表示为 5.如图，用5个实心圆圈，5个空心圆圈相间组 成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右组 成圆环串，相邻两个圆环有一个公共圆圈，公 (第7题) 共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间 A.+2y+3z B.2.x+4y+6x 排列。 C.4x+4y+8x D.6x+8y+6x 8.已知a是两位数，b是一位数，把b直接写在 a的左面，就成为一个三位数，这个三位数可 (第5题) 表示为 52 第3章代数式 9.自来水公司的收费标准如下：若每户每月用 节思维拓展 水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元； 11.如图①所示为一个长为2m、宽为 若每户每月用水超过5立方米，则超出部分 2(m>n)的长方形，沿图中虚线 每立方米收费2元.小颖家10月用水量为 用剪刀剪开，均分成四个小长方 a(a>5)立方米，则水费是 元（用含 形，然后按如图②所示的方式拼成一个大正 a的代数式表示). 方形 10.某水果超市新进了一批秋月梨，为了合理定 (1)图②中阴影部分的正方形的边长为 价，先试行了7天浮动价格，售价以每千克 10元为标准价，上浮为正，下跌为负.超市 (2)请用两种不同的方法列代数式表示图 记录了这7天秋月梨的销售价和销售量情 ②中阴影部分的面积 况如下表： 方法 星期 六 方法二： 每千克价格相对 -2+3-1+2+5-4 (3)观察图②，写出(m十n)2,(m一n)2,mm +1 于标准价格/元 这三个代数式之间的等量关系， 销售量/千克 20351030 15550 (1)这7天中，秋月梨每千克售价最低的一 天是星期 (2)求这7天超市销售秋月梨的总收入. (第11题) (3)从第8天起，超市决定推出两种秋月梨 的销售方式： 方式一：每千克的售价为10元； 方式二：每千克的售价为12元，若购买超过 5千克，则超过部分打9折. 若买a(a>5)千克秋月梨，则两种不同的购 买方式分别需要多少元（用含a的代数式 表示)？ 53 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 第2课时 代数式的值 自基础进阶 訇素能攀升 1.已知a=一2，b=1,c=一1，则下列各式中， 6.当x=1时，代数式x2一2x十a的值为3，则 值最小的是 当x=一1时，代数式x2-2x十a的值为 A.a+b+c B.a+b-c ( C.a-b+c D.a-b-c A.5 B.6 C.7 D.8 2.若m一3|+(n+2)2=0,则3m十21的值为 7.按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3 ( 的x,y的值是 () A.-4B.-1 C.5 D.13 输入x ×2 3.如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的 +输出 输入y ×(-1) 有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么 (第7题) 代数式m223+2024十c202的值为 A.5,-2 B.3,-3 4.(1)当x=3时，代数式a.x2-3x一4的值为 C.-4,2 D.-3,-9 5,则a的值为 8.按如图所示的程序进行运算.如果 (2)当x=-2,y=-1时，代数式2x2-y3 结果不大于10，就把结果作为输入 的值是 的数再进行运算，直到符合要求（结 (3)已知a2=4,lb=5,c3=-8,a-b+cl> 果大于10)为止.当输出的数为11时，输人x a一b+c,则代数式ab-c2的值是 的值不可能是 5.已知有下列两个代数式：①a2一b2;②(a+ 输入x ×(-2) +1 0是输出 b)(a-b). 否 (第8题) (1)当a=7,b=3时，代数式①的值是 A.-1 B.3 ,代数式②的值是 C.-5 D.4 (2)当a=-2,b=-5时，代数式①的值是 9.已知x-2y=-3,则4(x-2y)2-3(x ,代数式②的值是 2y)十20的值是 (3)观察(1)和(2)中代数式的值，你发现代 数式a2-b2和(a+b)(a一b)之间的关系为 10.数学小组定义一个新运算“”如下：当b≤ a时，b⑧☒a=b2;当b>a时，b☒a=a.当 (4)利用你发现的规律，求2024一2023 a=-3时，代数式(-2☒a)×(一4☒a)的 的值. 值为 11.如图，“L”形图形的面积为7，如果b=3,那 么a= (第11题) 54 第3章代数式 12.若x=3,1y=4,x=5,且xyx>0,求思维拓展 x十y一之的值 15.已知(2x+1)3=a.x3+bx2十cx+ d,则代数式-a+b一c十d的值是 ( A.-1 B.1 C.27 D.-27 16.人在运动时的心跳频率通常和人的年龄有 关.如果用a(岁)表示一个人的年龄，用 13.A,B两地相距skm,甲、乙两人驾车分别以 b表示正常情况下这个人在运动时所能承 akm/h,bkm/h的速度从A地到B地，且 受的每分钟心跳的最高次数，那么b= 甲用的时间较少， 0.8(220-a). (1)用代数式表示甲比乙少用的时间， (1)正常情况下，一名14岁的少年在运动 (2)当s=180,a=72,b=60时，求(1)中代 时所能承受的每分钟心跳的最高次数是 数式的值，并说明这个值表示的实际意义. 多少？ (2)一个45岁的人运动时，10s内心跳的次 数为22，正常情况下他有危险吗？请说明 理由. 14.新情境·新科技近年来，我国芯片以其高速 度、高性能、高可靠性和低功耗的特点在手机 市场上取得了巨大优势.某加密记忆芯片的 形状为如图所示的涂色部分（单位：nm). (1)求该加密记忆芯片的面积（用含a的代 数式表示). (2)若a=7,求加密记忆芯片的面积 3.5 10.5 t☐2a 2a a 2a 3a (第14题) 历3.2代数式的概念 第1课时代数式及列代数式 1.A2.C3. 50+a4.21-2 x十y 5.(1)表格补充完整如下： 圆环串中 1 2 4 6 圆环的个数 实心圆圈 和空心圆圈的101928374655 总个数 (2)因为每增加一个圆环，实心圆圈 和空心圆圈的总个数就多出9， 所以当圆环串由x个圆环组成，组成 这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈 的总个数为9x+1. 6.B解析：因为购买甲种读本x本， 所以购买乙种读本(300一x)本.所以 购买乙种读本的费用为20(300 x)元 7.B解析：打包带的长中，有长方体 的2个长、4个宽、6个高，所以打包带 的长至少为2.x十4y十6x. 8.100b十a解析：两位数的表示方 法：十位上的数字×10十个位上的数 字；三位数的表示方法：百位上的数 字×100十十位上的数字×10+个位 上的数字.a是两位数，b是一位数， 依据题意，可得b扩大为原来的 100倍，所以这个三位数可表示为 100b+a. 9.[9十2(a一5)门解析：由题意，可 得小颖家10月的水费为1.8×5十 2(a-5)=[9+2(a-5)]元. 10.(1)日. (2)这7天超市销售秋月梨的总收入 为20×(1+10)+35×(10-2)+ 10×(10+3)+30×(10-1)+15× (10+2)+5×(10+5)+50×(10- 4)=1455(元). (3)按照方式一需花费10a元，按照 方式二需花费12×5+(a一5)×12× 0.9=[60+10.8(a-5)]元. 11.(1)m-n. (2)(m+n)2-4m;(m-n) (3)由(2)，得(m+n)2-4n=(m n)2 第2课时代数式的值 1.C2.C3.04.(1)2(2)9 (3)6或-14 5.(1)40:40. (2)-21;-21 (3)a2-b2=(a+b)(a-b). (4)根据(3)中的规律，可得2024 20232=(2024+2023)×(2024 2023)=4047 6.C解析：当x=1时，代数式x2 2x十a的值为3，即1一2十u=3,解得 a=4.所以当x=-1时，代数式x2 2.x+a=1+2+4=7. 7.D解析：由题意，得2x-y=3.当 x=5时，y=7,故选项A错误；当 x=3时，y=3,故选项B错误；当 x=一4时，y=一11，故选项C错误； 当x=一3时，y=一9，故选项D 正确 8.D解析：当x=一1时，（一1）× (-2)+1=3<10:当x=3时，3× (-2)+1=-5<10:当x=-5时， (-5)×(-2)+1=11>10,所以选项 A,B,C不符合题意.当x=4时，4X (-2)十1=一7<10：当x=一7时， (一7)×（一2）+1=15>10，所以选项 D符合题意. 9.65解析：因为x-2y=一3，所以 原式=4×(-3)2-3×(-3)+20= 36+9+20=65. 10.一48解析：根据题意，得当 a=一3时，因为一2>-3>一4，所以 (-2☒a)×(-4☒au)=-3× (-4)2=-3×16=-48. 11.4解析：如图，延长“L”形图形的 两边使之相交.根据题意，得a2 b2=7.因为b=3,所以a2-9=7.所 以a=4. (第11题) 16 12.因为x=3,y=4,x=5, 所以x=土3，y=士4，之=士5. 因为xyz>0, 所以xy,之三个数同为正数或两个 数为负数，一个数为正数. ①当x,y,之同为正数时，x=3,y= 4,x=5, 所以x十y-x=3十4-5=2. ②当x,y,之中两个数为负数，一个 数为正数时， i:当x<0,y<0,z>0时，x=-3, y=-4,之=5，所以x十y-之=-3 4-5=-12: i:当x<0,y>0,x<0时，x=-3, y=4,x=-5, 所以x十y一x=一3十4一（一5）=6： ii:当x>0,y<0,x<0时，x=3, y=-4,x=-5, 所以x十y-x=3-4-(-5)=4. 综上所述，x十y一x的值为2或-12 或6或4. 13.(1)根据题意，得甲比乙少用 (6-)h (2)当s=180a=72,b=60时，方 名-108-825=08 实际意义为从A地到B地，甲比乙少 用0.5h. 14.(1)加密记忆芯片的面积为 (3.5+10.5)×(a+2a+2a+2a+ 3a)-10.5×2a×2=14×10a 42a=98a(nm). (2)当a=7时，98a=98×7=686. 所以若a=7,则加密记忆芯片的面积 为686nm. 15.A解析：当x=一1时，(2x+ 1)3=-a+b-c+d=(-2+ 1)3=-1. 16.(1)由题意，知b=0.8(220-a), b为整数，当a=14时，0.8×(220 14)=0.8×206≈164.8， 因为b为整数， 所以b=164. 所以正常情况下，一个14岁的少年在 运动时所能承受的每分钟心跳的最高 次数约为164 (2)正常情况下他没有危险， 理由：当4=45时，b=0.8×(220一 45)=140. 因为22×(60÷10)=132（次）， 132140, 所以正常情况下他没有危险， 3.3整式的加减 第1课时整式的有关概念 1.D2.D3.44.(1)42 (2)2 5.(1)这组单项式的系数依次为一1， 3,-5,7,…,(-1)”(2-1). (2)这组单项式的次数的规律是从1 开始的连续自然数。 (3)第n个单项式为(-1)”(21一1)x”. (4)第2023个单项式为-4045.x22 第2024个单项式为4047x224 6.A解析：因为5.xy”+(m 2)x一1是关于x,y的六次三项式 所以六次项是5.xy”,常数项是-1. 所以n十4=6，m一2≠0，解得n=2, m≠2.所以选项A错误，符合题意， 7.A 8.A解析：因为关于x的多项式 (a-4)x4一x”十x-b是二次多项 式，所以a-4=0,b=2,解得a=4, 则a十b=4+2=6. 9.1解析：因为多项式x2ym+1十 xy2一2x3一5是六次四项式，所以 2十m十1=6，解得m=3.因为单项式 3.xy-m的次数与多项式的次数相 同，所以2+5-m=6,即21+5 3=6,解得n=2.所以m-n=3 2=1. 一方法归纳 解决与整式次数有关的 求值问题的一般方法 解决与单项式、多项式次数有 关的问题时，常常根据它们的概念 确定单项式中所有字母的指数之 和或多项式中最高次项的所有字 母的指数之和等于它们的次数，进 而建立关于某个未知数的筒单方 程，并求得其值 10.2解析：因为多项式是四次三项 (2)里程费为[(a-3)×1.5]元，时长 式，所以n十2≠0,2十n=4.所以 费为[(b-8)×0.25]元 n=2. 所以需付车费[10+1.5(a一3)+ 11.一3x2+16.x一3解析：因为它的 0.25(b-8)]元 二次项系数和常数项都比一2小1，所 (3)当a=18,b=20时，10+1.5(a 以二次项系数是一3，常数项是一3.因 3)+0.25(b-8)=10+1.5×(18 为各项系数的和等于10，所以一次项 3)十0.25×(20-8)=35.5 系数是10-(-3)-（-3)=16.所以 所以需付车费35.5元. 满足这些条件的整式为一3.x2+ 第2课时合并同类项 16.x-3. 1.B2.D3.(1)-5.x2,7x 12.(1)因为(a-2)x2ya是关于x, y的四次单项式， (2)3(3)134.(1)3(2)5 所以a=2,a-2≠0. 5.(1)原式=4xy. 所以a=-2. (2)原式=15a2b-2b2c. 当a=一2时，a2+3a+6=(-2)2+ (3)原式=x2y一xy. 3×(-2)+6=4. (4)原式=a3+4a2-4. (2)因为(m十n)xy+1是关于x,y 6.A解析：因为A是一个三次多项 的五次单项式且系数为6， 式，B是一个四次多项式，所以A十B 所以m十n=6,2+十1=5. 的次数一定是4.所以A十B一定不 是三次多项式 所以m=4,n=2. 13.(1)因为多项式为五次四项式， 7.A解析：因为4am+2b3十(n 所以m十2≠0，n十1=5. 3)a5b3=0,所以4am+2b3与(n一3)ab3 所以m≠一2，n=4. 是同类项.所以m十2=6，n一3= (2)因为多项式为四次三项式， 一4，解得m=4,n=一1.所以mn 所以m十2=0,1为任意正整数， 4×(-1)=-4. 所以m=一2，n为任意正整数. 8.一1解析：一2x2十m.十nx2 14.(1)由题意，得500×90%+ 5x-1+4.x=(-2+n)x2+(m (650-500)×80%=570(元)， 1)x一1.因为关于x的多项式 所以她实际付款570元. -2x2十m.x十nx2-5.x-1十4.x的值 (2)由题意，得500×90%十80%(.x一 与x的取值无关，所以一2十n=0, 500)=[450十0.8(.x-500)]元， m一1=0，解得n=2,m=1.所以m 所以她实际付款[450+0.8(x n=1-2=-1. 500)元. 方法归纳 (3)由题意，得第一次购物的原价为 解决与结果“无关”型问题的 一般方法 a元(200<a<350),实际付款 因为“0乘任何数都等于0” 0.9a元. 因为200<a<350, 所以解决这类问题的一般方法是 确定含有该“无关”字母项的系数 所以易得530<880-a<680. 为0，即先将多项式化简合并，再确 所以第二次实际付款450十0.8(880 定含有该“无关”字母项的系数为 a-500)=[450+0.8(380-a)]元. 0,求得另一字母的值 所以李阿姨两次购物实际付款0.9a十 450+0.8(380-a)=0.9a+450+ 9.-1 解析：因为单项式一2xm+1y2 0.8(380-a)]元. 和5.x5-y2是同类项，所以2m=2, 15.(1)10. m+1=5-n.所以m=1,n=3.所以