2.6 有理数的乘方-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 2.6有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 臼基础进阶 淘素能攀升 1.《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤 6.如果一个有理数的偶数次幂为正数，那么这 有九木，木有九枝，枝有九巢…”其大意如 个有理数 ( 下：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有 A.一定是正数 B.是正数或负数 9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有 C.一定是负数 D.可以是任何数 9个鸟巢…文中的鸟巢共有 ( 7.*任意大于1的正整数m的三次幂均可“分 A.93个B.103个C.94个D.104个 裂”成m个连续奇数的和，如23=3+5,33 2.有下列各数：（一3）3，一（一3)，（一3），一3， 7+9+11,43=13+15+17+19,….若m3的 一|一3.其中，负数有 ( “分裂数”中有一个数是119，则m的值为 A.1个B.2个C.3个D.4个 3.下列各组数中，结果相等的是 ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 A.23和32 B.(-2)3和一2 8.若m=10,n2=64,且m-n|=n-m,则 C.(-3)2和-32 D.1-2|3和(-2)3 m一n的值为 4.(1)如果一个数的平方等于36，那么这个数 9.细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌 是 分裂成2个细菌，分裂完的细菌在适宜的环 的平方等于 境条件下，不到半小时又能进行分裂.如图所 (2) 示为某种细菌分裂的电镜照片，这种细菌每 5.计算： 20分钟就能分裂一次，则1个这种细菌经过 (1)53. (2)(-3)4. 3个小时可以分裂成 个细菌. 细菌的分裂生殖 0分钟 0. 20分钟 (4)-23÷(-3)2 40分钟0 (第9题) 10.将一张长方形的纸按如图所示的方 (5)(-)”×(-4)÷(-1), 式对折，对折时每次的折痕与上次 的折痕保持平行，第一次对折后可 得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得 到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕… (6)(-2)2-(-3)3+42-(-5)2. 第七次对折后得到的折痕共有 条 第一次对折 第二次对折 第三次对折 (第10题) 34 第2章有理数 11计算： 思维拓展 (1)-22-(-2). 13.将七年级的500名同学从1到500 编号，并按编号从小到大的顺序站 成一排报数1,2,3，…，报到奇数的 退下，偶数的留下，留下的同学从编号小的 (2)-2-3÷(12》 开始继续报数1,2,3，…，报到奇数的退下， 偶数的留下…如此继续，最后留下一名 同学，则最后留下的这名同学的编号是 14.数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识 (3)(-2)2-(-2)+(2×3)2-2X3. 的同时，也提出了新的问题.例如：根据 a”=b,知道a和n的值，可以求b的值，如 果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们 为此进行了研究，并规定：若a”=b,则 f(a,b)=n.例如：若23=8，则f(2,8)=3. (4(-1》×2号-(-1.2y÷(-0.4. 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：f(3,27)= ,f(4,16)= (2)计算：f(-3,-27)-f(-5,625)= 12.已知Ma)=-2,M2=(-2)×(-2),M3= (3)若f(a,一32)=5，f(4,b)=3,则f(a, (-2)X(-2)X(-2),…,M b)的值是多少？ (-2)X(-2)×…×(-2)(n为正整数). n个 (1)求2M2o23)+M2o2的值 (2)猜想2Mm)与M+)的关系，并说明 理由. 35 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 第2课时科学记数法 自基础进阶 瓦·时的电（用科学记数法表示）？ 1.(2024·广东)2024年6月6日，嫦娥六号在 距离地球约384000千米外上演“太空牵手”， 完成月球轨道的交会对接.数据384000用科 学记数法表示为 A.3.84×104 B.3.84×10 C.3.84×106 D.38.4×10 幻素能攀升 2.一个整数“262310…0”用科学记数法表示为 6.一台机器的大、小齿轮用同一传送带连接.若 2.6231×10°，则原数中“0”的个数为( 大、小齿轮的齿数分别为36和9，大齿轮的转 A.3 B.4 C.5 D.6 速为每分钟2.5×103转，则小齿轮的转速为 3.(1)(2024·资阳)2024年政府工作报告提 10小时 () 出，我国今年发展主要预期目标是国内生产 A.1.5×106转 B.5×106转 总值增长5%左右，城镇新增就业1200万人 C.6×106转 D.8×10转 以上…数“1200万”用科学记数法表示为 7.光的速度约是3×105km/s,如果太阳光照射 到地球表面所需的时间约为5×10s,那么 (2)(2024·无锡)在科技创新的强力驱动 地球与太阳之间的距离约是（用科学记数法 下，我国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领 表示) ( 跑世界.截至2023年底，我国高铁营业里程 A.1.5×107km B.1.5×108km 达到45000km.数据45000用科学记数法表 C.15×108km D.15×107km 示为 8.一日李老师登录某应用程序，显示共有 4.2023年我国国内生产总值约为1.26×10°亿 316900000名用户在线.316900000这个数 元.用科学记数法表示的数1.26×10°的原 用科学记数法表示为3.169×10”，此时n的 数为 值为 5.我国约有9.6×10平方千米的土地，假设平 9.★一颗人造卫星的速度是2.844×10米/时， 均1平方千米的土地一年从太阳获得的能量 一辆汽车的速度是100千米/时，则这颗人造 相当于燃烧1.5×105吨煤释放的能量。 卫星的速度是这辆汽车速度的 倍 (1)一年内我国土地从太阳获得的能量相当 10.(2024·上海)科学家研发了一种新的蓝光 于燃烧多少吨煤释放的能量（用科学记数法 唱片，一张蓝光唱片的容量为2×105GB,一 表示)？ 张普通唱片的容量为25GB,则一张蓝光唱 (2)如果1吨煤大约可以发出8×103千瓦· 片的容量是一张普通唱片容量的 时的电，那么(1)中的煤大约可以发出多少千 倍（用科学记数法表示）. 36 第2章有理数 11.地球绕太阳转动称为公转，每小时约运行思维拓展 1.1×105km. 13.生活中常用的十进制是用0~9这 (1)用科学记数法表示地球公转一天约运 十个数字来表示数，满十进一，例 行多少千米 如：212=2×10+1×10'+2.计算 (2)声音在空气中每秒传播约340m,请比 机常用二进制来表示字符代码，它是用0和 较声音的传播速度与地球的公转速度的 1两个数字来表示数，满二进一，例如：二进 大小 制数10010转化为十进制数：1×24+0× 2+0×22+1×2+0=16+2=18.其他进 制也有类似的算法…在我国远古时期，人 们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳 计数”.如图所示为远古时期一位母亲记录 孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的 不同绳子上打结，满五进一，则孩子出生后 的天数为 12.(2024·南京玄武期中)已知一个U盘的内 存为10GB,平均每个视频所占的内存为 (第13题) 512MB,平均每首音乐所占的内存为 14.将若干块长为1.5×10cm、宽为1.2× 10.24MB,平均每篇文章所占的内存为 102cm、高为0.8×102cm的长方体大理石 10.24KB,这个U盘已存16个视频和50首 运往某地进行革命历史博物馆的建设 音乐.若这个U盘的内存的实际利用率为 (1)求每块大理石的体积（用科学记数法 90%,求最多还可以存多少篇文章（用科学 表示) 记数法表示，参考数据：1GB=1024MB, (2)如果一列火车总共运送了3×104块大 1MB=1024KB). 理石，每块大理石的质量约为4×103kg,那 么这列火车总共运送了约多少千克的大理 石（用科学记数法表示）？ 37③当a,b,c三个数都是负数，即a< 方法归纳 0,b<0,c<0时 探寻规律性问题的一般方法 原式=h+c+ac+abc 解决这类规律性问题的一般 =1+1+ ab bc C -abc 方法是从所给的特殊例子中探寻 1+(-1)=2. 一般性的内在规律.本题通过观察 ④当a,b,c三个数都是正数，即a> “分裂”等式就会发现：等式右边最 0,b>0,c>0时， 小的奇数可以表示为3=2×(2 原式-+会++=1+1十 1)+1,7=3×(3-1)十1,13=4× ac abc (4-1)十1，所以m3“分裂”后的第 1+1=4. 一个数是m(m-1)十1. bc ac 综上所述，ah+x+ac 8.-2或-18解析：因为m一n abc 的值为-2或0或2或4 n-m,所以n-m>0,即n>m.因 为m=10,n2=64,所以m=-10, 2.6有理数的乘方 n=一8或8.当m=一10，n=一8时， m一n=-2;当m=一10，n=8时， 第1课时有理数的乘方 m-n=-18.综上所述，m一n的值 1.C2.C3.B4.(1)6或-6 为-2或一18. (2)±号 9.512解析：3小时=180分钟， 180÷20=9(次)，即1个这种细菌经 5.(1)125. 过3个小时可以分裂成2=512（个） (2)81. 细菌 10.127解析：因为第一次对折后可 得到的折痕条数为1=2一1，第二次 (4)一8 对折后可得到的折痕条数为3=2一 9 1,第三次对折后可得到的折痕条数为 7=23一1…所以第七次对折后可得 (6)22 到的折痕条数为2一1=128一1= 6.B解析：因为正数的任何次幂都 127. 是正数，负数的偶数次幂是正数，所以 11.(1)-2. (2)-14. 如果一个有理数的偶数次幂为正数， (3)26. 那么这个有理数是正数或负数， 1 7.B解析：因为2=3+5,33=7+ (④)-12 9+11,43=13+15+17+19,…,所以 12.(1）2M22s)+M202=2X m3“分裂”后的第一个数是m(m一 (-2)2023+(-2)2024=2X 1)+1,共有m个奇数.10×(10 (-2)2023+2X22023=0. 1)+1=91,91+(10-1)×2=109, (2)2Mm与Mm+1)互为相反数. 109<119,不符合题意，舍去：11× 理由：因为2Mm)=2×(-2)” (11-1)+1=111,111+(11-1)× -(-2)×(-2)”=一(-2)+1， 2=131,111<119<131,符合题意： Mm+)=(-2)+1, 12×(12-1)+1=133,133>119,不 所以2Mm)=-Ma+1n· 符合题意，舍去；D选项同理，不符合 所以2Mm,与M+1)互为相反数. 题意，舍去.所以奇数119是113的一 13.256解析：由题意，得经过n轮 个“分裂数”.所以m=11. 后(n为正整数)，剩下同学的编号为 11 2”.因为2<500,28=256,2=512， 所以n<9.所以当最后留下一名同学 时，n=8,即这名同学的编号是 28=256. 14.(1)3:2.解析：因为3=27， 42=16,所以f(3,27)=3,f(4, 16)=2. (2)-1.解析：因为(-3)3=-27， (-5)4=625,所以f(-3,-27)=3, f(-5,625)=4.所以f(-3,-27)- f(-5,625)=3-4=-1. (3)因为(-2)5=-32,4=64， 所以f(一2，-32)=5，f(4,64)=3. 所以a=一2，b=64. 又因为（一2）5=64， 所以f(一2,64)=6，即f(a,b)=6. 第2课时科学记数法 1.B2.C3.(1)1.2×10 (2)4.5×104.1260000 5.(1)(9.6×105)×(1.5×105)= (9.6×1.5)×(105×105)=1.44× 1012(吨). 所以一年内我国土地从太阳获得的能 量相当于燃烧1.44×102吨煤释放 的能量 (2)(1.44×102)×(8×103)= (1.44×8)×(1012×103)=1.152× 106(千瓦·时). 所以(1)中的煤大约可以发出 1.152×1016千瓦·时的电 6.C解析：60×2.5×103×10× (36÷9)=6×10(转)，所以小齿轮的 转速为10小时6×10转， 7.B解析：3×10×5×102= 150000000=1.5×108(km),所以地 球与太阳之间的距离约是1.5× 103km. 8.8解析：因为316900000= 3.169×108=3.169×10”,所以 n=8. 9.284.4解析：2.844×10米/时= 28440000米/时，100千米/时= 100000米/时.28440000÷100000= 284.4.所以这颗人造卫星的速度是这 辆汽车速度的284.4倍. 一方法归纳 还原科学记数法表示的数 进行计算 将a×10”表示的数还原成用 通常方法表示的数，就是把α的小 数，点向右移动n位所得到的数.把 一个数表示成科学记数法的形式 及把用科学记数法表示的数还原 是两个互逆的过程。 10.8×103解析：2×10=200000， 则200000÷25=8000=8×103，即 一张蓝光唱片的容量是一张普通唱片 容量的8×103倍. 11.(1)1.1×105×24=2.64× 10(km), 所以地球公转一天约运行2.64× 10km. (2)340×3600=1224000(m), 1224000m=1224km=1.224× 103km. 因为1.224×103<1.1×10， 所以地球公转的速度大， 12.(10×1024×1024×0.9-512× 1024×16-10.24×1024×50)÷ 10.24=5.12×10(篇). 所以最多还可以存5.12×10篇 文章。 13.42解析：由题图，可知表示的五 进制数为132，转化为十进制数为1× 52+3×5+2=42,所以孩子出生后 的天数为42. 14.(1)根据题意，得1.5×10× 1.2×102×0.8×102=(1.5×1.2× 0.8)×(100×100×100)=1.44× 1000000=1.44×10(cm). 所以每块大理石的体积为1.44× 10cm°. (2)根据题意，得3×10×4×103= (3×4)×10×103=1.2×108(kg). 所以这列火车总共运送了约1.2× 103kg的大理石. 2.7有理数的混合运算 第1课时简单的有理数混合运算 1.C2.C3.D4.(1)3 (2)-2 5.(1)-0.5. (2)-7. (3)-1060 6.B解析：由题意，知40+☐×( 2)=50,则□=(50一40)÷（一2） 10÷(-2)=-5,所以40÷(-5)× (-2)=(-8)×(-2)=16. 7.B解析：由题意，知(6⊕8) (3⊕5)=(6+8-1)*(3+5-1) 13*7=13×7-1=90. 8.答案不唯一，如[（一2）十（一4）]× (3-7)=24 9.一15解析：根据题意，得原式= (1-2-3)+(4×6-7×5)=-4 11=-15. 10.19解析：因为a*b=a2一b十 ab,所以2￥（一3）=22一(-3)+2× (-3)=4+3-6=1.所以4*[2￥ (-3)1=4*1=42-1+4×1=16 1+4=19. 11.66解析：把a=-2,b=3代人 a2+b+1,得m=(-2)2+3+1=8. 再把a=8,b=1代人a2+b+1,得 82+1+1=66. 12.(1)1 (2)-2. (3)-2. 13.(1)29 1 (2一24 29 14.(1)67. (2)题图④中所有圆圈中共有1+2十 3+…+12=12X(2+1D=78(个) 2 数，其中有23个负数，1个0,54个 正数. 12 所以题图④中所有圆圈中各数的绝对 值之和为1-23|+|-22|+ |-21+.+-11+0+1+2+ 3+…+54=(1+2+3+…十23)十 (1+2+3+…+54)=276+1485= 1761 第2课时较复杂的有理数 混合运算 1.D2.D3.(1)-88(2)-25 4.5 5.(1)11. (2)-16. 3)-52 (40-579 8 6.C 7.D解析：根据规定，得n=[一2， 1]=(-2)2+2×1+1=7.所以[n, -1]=[7,-1]=72+2×(-1)+ 1=48. 8.A解析：因为70=64+4+2 1×26+0×25+0×24+0×23+1× 22+1×2十0，所以十进制数70可以 写为二进制数1000110.所以十进制 数70是二进制下的七位数. 9 1 1 65 解析：原式=3÷ (得+器)品()= 1、631 63X65651 10.添法不唯一，如(1)(4×4十4)÷ 4=5(2)4+4+4÷4=9 11.(1)-3. (2)-13. (3)15. 12.(1)5. (2)-1. (3)-500. 13.一20解析：根据题意，可得[2* (-1)][2○(-1)]=[2+(-1)2][2× 2×(-1)]=5×(一4)=一20. 14.(1)+2.5.