2.1 正数与负数-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（苏科版2024）

第2章有理数 2.1正 ☑基础进阶 1.(2024·徐州期中)我国是最早使用正负数表 示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉 时期的《九章算术》中就引入了负数.若在粮 谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为十1斗， 则损实七斗（减少7斗）记为 A.-1斗B.+1斗C.-7斗D.+7斗 2.有下列5个有理数：①一0.8；②+5；③ 22 ④0：⑤一3.其中，属于整数的是( A.②④⑤ B.③④⑤ C.①②④ D.①②⑤ 3.(2023·泰兴期中)一架武装直升机“停”在离 海面90m的低空，一艘核潜艇潜在水下 300m.设海平面的高度为0m,若武装直升 机的高度记作+90m,则核潜艇的高度记作 m. 4.如图，每袋大米以50kg为标准质量，其中超过 标准质量的记为正，不足的记为负（单位：kg), 则图中第2袋大米的实际质量是 kg. +0.5 -0.7 -0.3 大米 大米 大米 (第4题) 5.将下列各数填入相应的括号内： -88-10.43,-94,0- 20 5 整数集合：{ 正数集合：{ 负数集合：( 幻素能攀升 6.(2023·启东期中)一小袋味精的质量标准为 “(50士0.25)克”，那么下列四小袋味精的质 8 数与负数 量符合要求的是 ( A.50.35克 B.49.80克 C.49.72克 D.50.40克 7.北京与莫斯科的时差为5小时，例如：当北京 时间为13：00时，莫斯科时间为8：00.小丽和 小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自 当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开 始通话，这个时刻可以是北京时间( ) A.10:00B.12:00C,15:00D.13:00 8.在体育课的跳远比赛中，以4m为标准，小明 第一跳跳出了3.8m,记作一0.2m.若小明 第二跳比第一跳多跳了0.45m,则可记作 m. 9.某公交车出发时，车上有12人，经过3个站 点，乘客上下车的情况如下（上车为正，下车 为负，单位：人)：一号站点“十4，一8”；二号站 点“一5，+6”；三号站点“一3，十6”，那么此时 车上有 人 10.如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同 一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间.伦 敦、悉尼、纽约与北京的时差见下表： 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差/小时 -8 +2 -13 表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟的 标号分别是 ① ② ③ ® (第10题) 11.如图，工人们进行实地测量.甲站在大堤上， 乙站在地面上，丙爬到了铁塔顶端.甲说： “以大堤顶部为基准，记为0m,则乙所在位 置的高度为一20m,丙所在位置的高度为 十58m.”丙说：“以铁塔顶端为基准，记为 0m,则乙所在位置的高度为一58m,甲所在 位置的高度为一38m.”乙说：“丙的位置比 我的高58m.”他们当中 说得对. 58m 甲 河床 (第11题) 12.七年级(1)班5名同学的身高情况（单位： cm)如下表： 名字 小芳 小丽 小明 小思小妙 身高 167 165 172 与班级平均 +2 -3 +5 身高的差 (1)请补全上面的表格. (2)这5名同学中，身高最高的与最矮的相 差多少？ 13.某数学俱乐部有一种神秘的记账 方式，当他们收入200元时，记为 一180元；当他们支出200元时，记 为220元.猜一猜，当他们支出100元时，记 为多少？当他们收入100元时，记为多少？ 第2章有理数 的思维拓展 4.(2023·苏州工业园区段考)如图 ①，一只甲虫在5×5的网格图上 沿着格线爬行.它从A处出发去看 望B,C,D处的其他甲虫，规定：向上向右 为正，向下向左为负.例如：从A处到B处 记为A→B(+1,+3),从C处到D处记为 C→D(十1，一2)，其中第一个数表示左右方 向，第二个数表示上下方向， (1)填空：A→C( );C B( (2)若这只甲虫的爬行路线为A→B→C→ D→A,请计算这只甲虫爬行的路程. (3)若这只甲虫去Q处的爬行路线依次为 A→M(+2,+3),M→N(+2,-1),N→ Q(一2，十2)，请依次在如图②所示的网格 图上标出M,N,Q处的位置， B A ① ® (第14题)所以在此过程中，甲同学需要拍 4次手， 11.因为5,12的最小公倍数为60， 所以最少有60个， 因为500以内的60的倍数有60,120， 180,240,300,360,420,480 所以最多有480个. 所以筐里最少有60个苹果，最多有 480个苹果. 12.四月五日解析：密报 “WMCYIAYVM”对应的原文为 “SIYUEWURI'”,即四月五日. 13.如图所示（后两个答案不唯一）. (第13题) 1.3交流表达 1.B2.B3.504.42 5.如图，将正方体盒子展开成平面 图.从顶点A处爬到点B处，沿线段 AB爬行，才能使路程最短； 如果由点A直接爬到点C,应沿线段 AC爬行使路程最短，它可以沿着上 面和右面爬行，可以沿着上面和前面 爬行，也可以沿着左面和前面爬行，还 可以沿着后面和右面爬行，爬行的路 程都是AC的长， (第5题) 6.C解析：由题意，可得a1=1, a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,a1= 1+2+3+4=10,a5=1+2+3+4+ 5=15,…,所以当n=100时，a1w= 1+2+3+.+100=100×101= 2 5050. 7.A解析：由所给点阵，可知第1个 点阵中点的个数为1=1×4一3；第 2个点阵中点的个数为5=2×4一3： 第3个点阵中点的个数为9=3×4一 3:,所以第n个点阵中点的个数为 4n-3.当n=6时，4n一3=4×6 3=21,即第6个点阵中点的个数 为21. 8.2054 9.10解析：因为1名同学需与(5 1)名同学握手，5名同学总共握手5× (5一1)次，而每两名同学之间的握手 次数重复算了一次，所以他们实际总 共握手的次数为5×(5一1)÷2=10. 10.0解析：因为共有9个一位数， 90个两位数，900个三位数，所以 2022-9×1-90×2=1833,1833÷ 3=611.因为这个611表示的是继99 后的第611个数，所以该数是710，第 三位数字是0.所以从左往右数第 2022位上的数字为0. 11.178解析：根据6个空瓶可以换 1瓶汽水（含汽水和瓶子），可知每 5个空瓶可以换1瓶不含瓶子的汽 水.所以1个空瓶可以换号瓶不含瓶 子的汽水，即买1瓶汽水实际能喝到 (1+)瓶汽水.所以喝213瓶汽水 至少买了213÷(1+号)）=17号≈ 178(瓶)汽水 12.(1)因为6×2=12>9,1+2=3； 4×2=8;1×2=2, 所以第2次操作后的数为382. (2)674;358;617.解析：因为3× 2=6:8×2=16>9,1+6=7:2×2= 4,所以第3次操作后的数为674.因 为6×2=12>9,1+2=3；7×2= 14>9,1+4=5;4×2=8,所以第4次 操作后的数为358.因为3×2=6；5× 2=10>9,1+0=1:8×2=16>9,1+ 6=7,所以第5次操作后的数为617. 因为6×2=129,1+2=3；1×2= 2:7×2=14>9,1+4=5,所以第6次 操作后的数为325.所以6次操作为 2 一个循环.因为6×336+5=2021，所 以第2021次操作后的数为617. 13.55解析：对于1,2,3,5,8,13， 21,…,从第三项开始，每一项都等于 前两项之和，所以当台阶的级数为8 时，有13+21=34（种）不同的方法， 当台阶的级数为9时，有21十34= 55(种)不同的方法. 14.答案不唯一，如题日：1个菠萝加 1个梨的质量等于7个桃子的质量， 2个梨的质量等于4个桃子的质量， 那么1个菠萝的质量等于几个桃子的 质量？ 解题思路：用等量代换的方法进行 代换. 解题过程：因为2个梨的质量=4个 桃子的质量， 所以1个梨的质量=4÷2=2（个）桃 子的质量 又因为1个菠萝的质量十1个梨的质 量=7个桃子的质量， 所以把梨代换成桃子是1个菠萝的质 量+2个桃子的质量=7个桃子的 质量. 所以1个菠萝的质量=7一2=5（个） 桃子的质量. 第2章有理数 2.1正数与负数 1.C2.A3.-3004.49.3 5.整数集合：{一10,4,0，…}. 正数集合：{4.3,4，…}. 负数集合：{-3.8，-10，-20， 71 3 5… 6.B解析：由题意，知合格味精的质 量应该在(50一0.25)克到(50十0.25)克 之间，即49.75克到50.25克之间，符 合要求的是选项B. 7.C解析：由题意，得北京与莫斯科 的时差为5小时，当莫斯科时间为 9:00时，北京时间为14：00；当北京时 间为17：00时，莫斯科时间为12：00. 故这个时刻介于北京时间14：00和 17:00之间.所以这个时刻可以是北 京时间15：00. 8.十0.25解析：因为以4m为标 准，小明第一跳跳出了3.8m,记作 一0.2m,小明第二跳比第一跳多跳 了0.45m,即跳了4.25m,所以可记 作+0.25m. 9.12解析：三次上下车后车上的人 数为12+4一8-5+6一3+6=12，故 现在车上有12人. 10.①④②③解析：由表格，可得悉 尼与北京的时差为+2小时，所以北 京时间是4时或16时，悉尼时间为 6时或18时.同理，此时伦敦时间为 20时或8时，纽约时间为15时或 3时.故表示伦敦、悉尼、纽约和北京 时间的时钟的标号分别是①④②③」 11.乙和丙 12.(1)162;0;170:+7 (2)172-162=10(cm). 所以这5名同学中，身高最高的与最 矮的相差10cm. 13.从收入200元记为-180元可以 看出，收入记为负数，且数值180比原 数值200小20： 从支出200元记为220元可以看出， 支出记为正数，且数值220比原数值 200大20. 所以这个俱乐部的记账方式为支出的 钱数加上20，并记为正数；收入的钱 数减去20，并记为负数， 所以当他们支出100元时，100十20 120(元)，记为120元：当他们收入 100元时，100一20=80（元），记为 -80元. 14.(1)+3:十4；-2：-1. (2)因为这只甲虫的爬行路线为A B→C→D→A, 所以1+3+2+1+1+2+4+2=16， 即这只甲虫爬行的路程为16 (3)如图所示 A (第14题) 2.2数轴 1.C2.C3.(1)±3(2)-6或2 4.9解析：小于5.4且不小于-3.1 的整数是5,4,3,2,1,0，一1，一2，一3， 共9个 5.(1)如图所示 (2)点A如图所示 将点A沿数轴平移4个单位长度后 得到的数是3或一5： 吃 3.55 -5-4-3-2-1012345 (第5题) 6.A解析：因为点A,B表示的数分 别是一9,4，A'B=1,所以4+1=5，即 折叠后，点A'与表示5的点重合.又 因为(5十9)÷2=14÷2=7，所以易得 点C表示的数是一2. 7.C 8.C解析：因为表示一1的点M与 表示一3的点之间的距离为2，所以将 表示一1的点向右平移2个单位长度 后，得到的点P表示的数为1. 9.-4 10.士2或士4解析：因为点A与原 点O之间的距离为3，所以点A表示 的数为士3.因为点A,B之间的距离 为1，所以当点A表示的数为3时，点 B表示的数为4或2：当点A表示的 数为一3时，点B表示的数为一2或 一4.所以点B表示的数为士2或士4. 11.一1011解析：根据题意，得向 左、向右各移动一次后，点A向右移 动1个单位长度.所以点A向右移动 2024÷2=1012(个)单位长度至点 A224,即点A2o24表示的数为2十 1012=1014.因为点A224向左移动 2025个单位长度至点A225,所以点 A225表示的数为1014一2025= -1011. 12.(1)答案不唯一，如以向东为正方 向，100m为1个单位长度可建立数 轴，如图所示 (2)小明家距离小颖家800一350= 450(m). 3 (3)250+350+800+200= 1600(m),1600m=1.6km 所以这次家访，老师一共走了 1.6km. 小颖家学校小明家小兵家 2寸012346 (第12题) 13.(1)点A,B,C,D表示的数分别 为-3，-1.5,0,2 (2)如图所示 (3)①大于-3并且小于3的整数有 -2,-1,0,1,2. ②在数轴上到表示一1的点的距离等 于1个单位长度的点表示的数是一2 或0. 4 3-2寸0士234 (第13题) 方法归纳 确定特殊整数的一般方法 确定某一范围内的特殊整数 的一般方法是运用数形结合思想， 即先画出数轴，再在数轴上找到需 要确定的某一范围内符合条件的 点，并将这些，点表示出来，通过观 察数轴，我们很容易发现，既没有 最大的有理数，也没有最小的有理 数，一1是最大的负整数，1是最小 的正整数 14.713解析：第1次点A向左移 动3个单位长度至点A1,则点A,表 示的数为一2；第2次从点A,向右移 动6个单位长度至点A2,则点A2表 示的数为4：第3次从点A2向左移动 9个单位长度至点A3,则点A3表示 的数为一5：第4次从点A3向右移动 12个单位长度至点A4,则点A,表示 的数为7；第5次从点A,向左移动 15个单位长度至点A,则点A表示 的数为一8…则点A,表示的数为 -11,点A。表示的数为-14，点A1 表示的数为-17，点A13表示的数 为一20，点A6表示的数为10，点A8 表示的数为13，点A0表示的数为 16,点A12表示的数为19，所以如果