第六章 几何图形初步 整合拔尖&综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

所以MN=(受-2)-(g+3) ----6 2 2.C解析：因为OP平分∠AOC,OQ 平分∠COB,所以∠COP=2∠A0C, ∠C0Q=2∠COB.所以∠POQ= ∠COP-∠cOQ=2∠AOC 3∠C=(ZA0c-∠B00) 号∠A0B=45:所以∠POQ的度数 保持不变. 3.(1)∠AOD=180°-∠COD= 180°-2a. 因为OE为∠AOC的平分线， 所以∠AOE=90° 所以∠BOE=∠AOE+∠AOB= 90°+a. (2)设旋转角的度数为B,∠COD旋 转至∠C'OD'. 当OD未旋转至OC下方时， ∠DOD'=∠COC'=B,如图①所示. 因为∠AOD'=180°-∠COD'= 180°-(2a-3), 所以2a-3=180°-∠AOD', ∠A0C'=180°-∠COC'=180°-R. 因为此时OE为∠AOC的平分线， 所以∠AOE=180°E 2 所以∠BOE=∠AOB+∠AOE=a十 180°-2，则2∠B0E=2a十180°-B, 2 即2∠BOE=2a-B+180°. 所以2∠BOE=180°-∠AOD'+ 180°. 所以2∠BOE+∠AOD'=360°. 当OD旋转至OC下方时，∠DOD'= ∠COC'=3,如图②所示. 所以∠COD'=∠DOD'-∠COD= 3-2a. 所以∠AOD'=180°-∠COD'= 180°-(3-2a). 所以2a-B=∠AOD'-180° 所以∠AOC'=∠AOD'-∠C'OD'= 180°-(3-2a)-2a=180°-3. 因为此时OE为∠AOC'的平分线， 所以∠AOE=180°-2 2 所以∠BOE=∠AOB+∠AOE=a+ 180°-2.则2∠B0E=2a+180°-B, 2 即2∠BOE=2a-B+180°. 所以2∠BOE=∠AOD' 综上所述，∠AOD与∠BOE之间的 数量关系是2∠BOE+∠AOD=360 或2∠BOE=∠AOD D ② (第3题) 第六章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1根据题意，得AB:BC: CD=1:2:4,设AB=a,则BC= 2a,CD=4a. 因为CD=16, 所以4a=16,解得a=4. 所以AB=4,BC=8. 所以AD=AB+BC+CD=4+8+ 16=28. 因为E是AD的中点， 所以ED=2AD=14. 所以CE=CD-ED=16-14=2. [变式]5 典例2(1)因为∠COD是直角， ∠DOE=20°， 所以∠COE=∠COD一∠DOE= 90°-20°=70°. 39 因为OE平分∠BOC, 所以∠BOC=2∠COE=2X70°= 140°. 因为点A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOC=180°-∠BOC=180°- 140°=40°. (2)猜想：∠AO℃=2∠DOE 理由：因为∠COD是直角， 所以∠COE=90°-∠DOE. 因为OE平分∠BOC, 所以∠BOC=2∠COE=2X(90° ∠DOE)=180°-2∠DOE. 因为点A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOC=180°-∠BOC=180°- (180°-2∠DOE)=2∠DOE (3)∠AOC+2∠DOE=360°. 理由：设∠BOE=a. 因为OE平分∠BOC, 所以∠COE=∠BOE=a,∠BOC= 2∠BOE=2a. 因为点A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOC=180°-∠BOC= 180°-2a. 因为∠COD是直角， 所以∠DOE=∠COD十∠COE= 90°+a. 所以2∠DOE=180°+2a. 所以∠AOC+2∠DOE=360°. [变式](1)因为O是直线AB上的 一点， 所以∠AOC+∠BOC=180°. 因为∠AOC=30°， 所以∠BOC=180°-∠AO℃=150°. 因为OE平分∠BOC, 所以∠0E=号∠0C= 1 2 150°=75°. 因为∠COD=90°， 所以∠DOE=∠COD-∠COE= 90°-75°=15° (2)①因为O是直线AB上的一点， 所以∠AOC+∠BOC=180°. 因为∠AOC=140°， 所以∠BOC=180°-∠AOC=40°. 因为OE平分∠BOC, 6所以LC0E-∠0c-20 因为∠COD=90°， 所以∠DOE=∠COD一∠COE= 90°-20°=70° ②2a,解析：因为∠A0C=,所 以∠BOC=180°-∠AO℃=180°-a. 因为OE平分∠BOC,所以∠COE= 1 1 ∠B0C=90°-2a.所以∠D0E ∠COD-∠COE=90°-（90° )-g… 典例3A解析：因为一个角的度数 为5411'23”，所以这个角的余角的度 数为90°-54°11'23=3548'3，补角的 度数为180°-5411'23”=12548'37”. [变式]B解析：设这个角的度数 为a,则它的补角的度数为180°一， 余角的度数为90°一a.根据题意，得 180°-a=3(90°-a)-20°，解得 a=35°. [综合素能提升] 1.B解析：因为P,Q分别是线段 AB,CB的中点，所以PA=号AB, CQ=号BC.因为AC=PA-PC= PA-(CQ-PQ),所以AC=号× AB -(BC-PQ)-(AB BC)+PQ=2AC+PQ.所以PQ 2AC.因为M,N分别是线段BP, BQ的中点，所以BM=2BP,BN- 号BQ.所以MN=BM-BN 2(BP-BQ)=2PQ.所以MN 4C,所以C的值为 2.A解析：如图①，当OD在OB的 上方时，因为∠AOB=a,OC是 ∠AOB的平分线，所以∠BOC= 2∠A0B=号a,因为∠B0D ∠COD,∠BOD+∠cOD 1 1 ∠BOC=2a,所以∠BOD=8a, 3 ∠COD=8a.因为OE平分∠COD, 所以∠D0E=号∠C0D=是，所以 ∠BOE=∠DOE+∠BOD=i6a+ 3 80=16a.如图②，当OD在OB的 1 5 下方时，因为∠AOB=&,OC是 ∠AOB的平分线，所以∠BOC= 名∠A0B=日.因为∠0D 3∠COD,所以∠BOD 1 。1 、3 2∠B0C=4a.所以∠C0D=a. 因为OE平分∠COD,所以∠DOE= 3 2∠COD=8a.所以∠BOE ∠DOE-∠BOD= 311 8a-4a=8a. .5 综上所述，∠BOE的度数为6a或 8. D ② (第2题) 3.15cm或7.5cm解析：分两种情 况讨论：①当点C在线段AB的延长 线上时，如图①所示.因为AB= 40 20 cm.AC-BC-AB,BC-AC, 所以AC-专AC=20cm所以AC= 30cm.所以BC=10cm.因为P为 AB的中点，Q为BC的中点，所以 PB=2AB=10cm,BQ=专BC= 5cm.所以PQ=PB+BQ=10+5= 15(cm).②当点C在线段AB上时， 如图②所示.因为AB=20cm,AC+ BC=AB,C=号AC,所以AC+ 3AC=20cm.所以AC=15cm.所 以BC=5cm.因为P为AB的中点， Q为BC的中点，所以PB=AB- 10cm,B0=号B0=2.5cm,所以 PQ=PB-BQ=10-2.5= 7.5(cm).综上所述，PQ的长为 15cm或7.5cm. A P B OC ① A P COB ② (第3题) 4.50°1 解析：因为∠BOC= ∠BOD+∠COD,所以∠AOD+ ∠BOC=∠AOD+∠BOD+ ∠C0D=150°+50°=200°.又因为 OM平分∠AOD,ON平分∠BOC, 所以∠MOD+∠CON=号× (∠A0D+∠B0C)=号×200- 100°.又因为∠MOD=∠MON+ ∠DON,所以∠MOD+∠CON= ∠MON+∠DON+∠CON= ∠MON+∠COD=100°，即 ∠MON+50°=100°.所以∠MON= 100°-50°=50°. 5.(1)12.6.解析：因为MB= 2cm,NC=1.8cm,所以MB+NC= 3.8cm.因为M,N分别是AB,CD 的中点，所以AB=2MB,CD=2NC. 所以AB+CD=2MB+2NC= 2(MB+NC)=7.6cm.所以AD= AB+CD+BC=7.6+5=12.6(cm) (2)14.解析：因为MN=10cm, BC=6cm,所以BM+CN=MN BC=10-6=4(cm).因为M,N分别 是AB,CD的中点，所以AB=2BM, CD=2CN.所以AB+CD=2BM+ 2CN=2(BM+CN)=8cm.所以 AD=AB+CD++BC=8+6=14(cm). (3)因为MN=a,BC=b, 所以BM+CN=MN-BC=a-b. 因为M,N分别是AB,CD的中点， 所以AB=2BM,CD=2CN. 所以AB+CD=2BM+2CN=2(BM+ CN). 所以AB+CD=2(a-b). 因为AD=AB+CD+BC, 所以AD=2(a-b)+b=2a-2b+ b=2a-b. 6.(1)因为∠AOB=90°，∠BOC= 60°， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC= 90°+60°=150°. 因为OM平分∠AOC,ON平分 ∠BOC, 1 所以∠MOC=2∠AOC=2 1 150°=75，∠N0C=2∠B0C= 2×60°=30. 所以∠MON=∠MOC一∠NOC= 75°-30°=45°. (2)∠MON=2a. 理由：因为∠AOB=a,∠BOC=60°， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC= a+60°. 因为OM平分∠AOC,ON平分 ∠BOC, 所以∠M0C=2∠A0C=2a十 30r,∠N0c=3∠00=30 所以∠MON=∠MOC-∠NOC= (2+30）-30=2a 3)∠MON=,与P的大小无关 理由：因为∠AOB=a,∠BOC=3, 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC= a+B. 因为OM是∠AOC的平分线，ON是 ∠BOC的平分线， 所以∠MOC= 2∠A0C=2(a+ .∠NOC=g∠B0C=2B. 所以∠MON=∠MOC-∠VOC= 3a+8)-2=20 1 1 所以∠MON=2a,与B的大小 无关 综合与实践设计学校 田径运动会比赛场地 1.145°448”解析：180°-34°55'12 145°4'48" 2.(1)由题意，得415一400=15(m), 87×2+2x(36+1.2×7)≈453(m). 所以第三圈的弯道比第一圈的弯道约 长15m,小王计算的第八圈的长约是 453m. (2)设小王的平均速度为xm/s,则 邓教练的平均速度为2.xm/s. 根据题意，得20(x+2x)=400+2, 15 解得x=24 163 所以2x=12 163 163 所以小王的平均速度为24m/s,邓教 163 练的平均速度为2m/s 3.设Rm为第n道的弯道的半径，ln 为运动员在第n道的弯道跑动的路 程，则R1=36+0.3=36.3(m),R2= 36+1.25+0.2=37.45(m). 由题意，易得从第二道至第八道，每道 的半径依次增加1.25m. 41 所以l2一l:=2π(R2一R,)≈2X 3.1416×(37.45-36.3)≈7.23(m). 同理可得13一l2=14一l3=l5一14= l6一15=l?-l6=lg-1?=2π× 1.25≈2×3.1416×1.25≈7.85(m). 综上所述，各外圈跑道起跑点较相邻 内圈跑道起跑点依次应向前延伸 7.23m,7.85m,7.85m,7.85m, 7.85m,7.85m,7.85m. 期末压轴题特训 考向一有理数的概念 及其运算 1.A 2.C解析：因为a一b=2>0,所 以表示数a的点比表示数b的点到原 点的距离远.因为MV=NP=PQ= 2,所以P是原点.所以点N表示的 数是一2. 3.D解析：70=64十4+2=25+ 22+2=1×2+0×2+0×24+0× 23+1×2+1×2+0×2°，即十进制 数70可以写为二进制数1000110，即 十进制数70是二进制下的7位数. 4.95或67 5.95解析：由题意知，每个图形最 上面的数依次为一1,2，一4,8，…，后 一个数与前一个数的比值为一2，所以 第⑥个图形最上面的数为8× (一2)×（一2）=32，即a=32.每个图 形左下方的数比同一个图形最上面的 数大1，所以第⑥个图形左下方的数 为32+1=33，即b=33.每个图形右 下方的数比同一个图形最上面的数小 2,所以第⑥个图形右下方的数为 32-2=30,即c=30.又因为-4= -1+0+(-3),5=2+3+0, -13=-4+(-3)+(-6),23=8+ 9+6,·,所以m=a+b+c=32十 33+30=95. 6.3解析：因为abc>0,a十b+c= 0,所以当a>0,b<0,c<0时，a十 b=-c>0,b+c=-a<0,c+a=]知识体系构建 几何图形初步 9]高频考点突破 考点一】 线段的运算 典例1(2025·安阳期末 段AD分成1：2：4的 点，CD=16,求CE的长. 第六章几何图形初步 第六章整合拔尖 从不同方向看立体图形 几何图形 立体图形的展开图 点、线、面、体点动成线 线动成面 面动成体 线直线、射线、线段的概念与表示 平面图形 直线的性质：两点确定一条直线 线段的度量 线段的中点 线段的性质：两点之间，线段最短 角角的概念 角的比较与运算—角平分线 余角和补角 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 变式]如图，点A,B,C,D在同一条直线上， )如图，B,C两点把线 AB=- 3AC,BC=CD,E,F分别是AC,BD 部分，E是AD的中 的中点.若EF=3,则CD ABE A B CE C D (典例1图) 考点二 角度的运算 典例2(2024·青岛期中)如图，点A,O,B在 同一条直线上，将一把三角尺按图①所示的方式 放置，∠COD是直角，直角顶点与点O重合， OE平分∠BOC. ① (典例2图) (1)若∠DOE=20°，求∠AOC的度数. 121 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 (2)猜想图①中∠AOC和∠DOE的数量关系， 写出你的结论，并说明理由， (3)将这把三角尺按图②所示的方式放置，其他 条件不变，试探究∠AOC和∠DOE的数量关 系，写出你的结论，并说明理由. [变式](2024·上饶期末)如图①，O是直线AB 上的一点，∠COD=90°，OE平分∠BOC. (1)若∠AOC=30°，求∠DOE的度数， (2)将图①中的∠COD绕顶点O按顺时针方向 旋转至图②的位置，其他条件不变，即∠COD= 90°，OE平分∠BOC. ①若∠AOC=140°，求∠DOE的度数. 122 ②若∠AOC=a,则∠DOE= (用含a 的代数式表示). D B ① ② 考点三余角和补角 典例3(2025·漯河郾城期末)已知一个角的 度数为54°11'23”，则这个角的余角和补角的度 数分别为 () A.354837,125°48'37 B.3548'37",144°11'23" C.3611'23",125°48'37" D.3611'23,14411'23" [变式](2025·长沙望城期末)若一个角的补角 比这个角的余角的3倍少20°，则这个角的度 数是 ( A.30° B.35°C.40°D.45° 综合素能提升 1.如图，C是线段AB上的一点，P,Q分别是 线段AB,CB的中点，M,N分别是线段BP, BQ的中点，则袋的值为 AC MN B (第1题) A吉 B是 c 2.已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD= 3∠COD,OE平分∠COD,设∠AOB=a, 则∠BOE的度数为 ( A品成0 1 C.8a或6a D.6 3.(2024·上海期末)已知点A,B,C在同一条 直线上，AB=20cm,BC=3AC.若P为AB 的中点，Q为BC的中点，则PQ的长为 4.如图，∠AOB=150°，∠COD=50°，OM平分 ∠AOD,ON平分∠BOC,则∠MON的度数 为 0 (第4题) 5.(2025·自贡期末)如图，A,B,C,D是直线l 上的四个点，M,N分别是AB,CD的中点. M ABC D (第5题) (1)如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC= 5cm,那么AD的长为 cm. (2)如果MN=10cm,BC=6cm,那么AD 的长为 cm. 第六章几何图形初步 (3)如果MN=a,BC=b,求AD的长. 6.(2025·毫州蒙城期末)如图，OM是 ∠AOC的平分线，ON是∠BOC的 平分线 (1)如图①，当∠AOB是直角，∠BOC=60° 时，∠MON的度数是多少？ (2)如图②，当∠AOB=a,∠BOC=60°时， 猜想∠MON与α的数量关系，并说明理由. (3)如图③，当∠AOB=a,∠BOC=3时， ∠MON的大小与a,B的大小有关吗？如果 有，写出结论并说明理由. ① ② ③ (第6题) 123 综合与实践设计学校田 1.在“设计学校田径运动会比赛场地”活动中， 某同学在设计铅球场地时，了解到铅球落地 有效区域角度为34°5512”，则34°55'12"对应 角的补角的度数为 2.据国际田联《田径场地设施标准手册》，400m 标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等 的半圆形弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽 1.2m,直道长87m;跑道第一圈（最内圈）的 弯道半径为35.00m到38.00m之间.某校 据国际田联标准和学校场地实际，建成第一 圈弯道半径为36m的标准跑道（如图），小王 计算了各圈的长：第一圈长：87×2十2π(36十 1.2×0)≈400(m);第二圈长：87×2+2π(36十 1.2×1)≈408(m);第三圈长：87×2+2r(36十 1.2×2)≈415(m)… (1)第三圈的弯道比第一圈的弯道约长多少 米？小王计算的第八圈的长约是多少米（π 取3.14，结果保留整数)？ (2)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓 教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车（均 以所靠边线长计路程)，两人从起跑线同时出 发，经过20s在直道第一次相遇.若邓教练的 平均速度是小王平均速度的2倍，在(1)的条 件下求他们的平均速度各是多少（注：在同侧 直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直 时，称两人直道相遇). 线 足球场 (第2题) 124 径运动会比赛场地，“答案与解析”见P41 3.在田径比赛中，某校的跑道是由长为85.96m 的两条直道和半径相等的两条半圆形弯道组 成.跑道分为8道，每条跑道宽1.25m,第一 道（最内圈）的弯道半径为36m.规定： ①第一道全程长度应由离内圈30cm处沿跑 圈丈量，即11=2π(36十0.3)十2×85.96≈ 400(m). ②跑第二道至第八道的运动员不能踩着分 道线跑，而是沿着各自分道线向外20cm跑 (踩线将取消成绩) ③如图，终点线设置在第一分界(AE处). 问：在举行400m跑比赛时，为消除跑外圈与 跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的 起跑点上（点P1,P2,…,Ps),那么各外圈跑 道起跑点较相邻内圈跑道起跑，点依次应向前延 伸多少米（π取3.1416，结果精确到0.01m)? P (第3题)