第二章 有理数的运算 整合拔尖&综合与实践 进位制的认识与探究-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

第二章有理数的运算 第二章整合拔尖 “答案与解析”见P12 ]知识体系构建 ①同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 ②绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且 和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的 两个数相加得0 加法法则③一个数与0相加，仍得这个数 加法 交换律：a+b=b+a 加法运算律 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 ①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积 乘法 乘法法则②任何数与0相乘，都得0 倒数 乘积是1的两个数互为倒数 交换律：ab=ba 结合律：(ab)c=a(bc) 有理数的运算 乘法运算律 分配律：a(b+c)=ab+ac 除法 ①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 ②两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的 绝对值的商 ③0除以任何一个不等于0的数，都得0 有理数的 ①先乘方，再乘除，最后加减 混合运算 ②同级运算，从左到右进行 ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 乘方运算 乘方运算求n个相同乘数的积的运算 ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 ②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0 把一个大于10的数表示成a×10的形式（其中a大于或等于1， 科学记数法 且a小于10，n是正整数) 近似数近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示 47 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 9高频考点突破 考点一有理数的简便运算 2-3-(-1》×号-6÷。 典例1 计算：+号++)×(1++ ++2e)-1++g++2x)× [变式]计算： (1)(-2)2×5-(-2)3÷4. [变式]计算： 1 1 (1)1+1+2十1+2+3++1+2+…+100 (2)3×(-2)3-4×(-3)2+8. e1-日片×g++++ -1-3}是-日)×g+3+ 考点三有理数的新定义运算 + 典例3对于有理数a,b,定义新运算“△”，规 则如下：a△b=ab一a-b十4，如3△5=3×5 3-5+4=11. (1)求3△(-4)的值. (2)请你判断交换律在“△”运算中是否成立，并 说明理由. 考点二有理数的混合运算 典例2计算： 1)-2+(-2)×5-()÷是 48 第二章有理数的运算 [变式]我们平常用的数是十进制数，如2639=5,10111=1×24+0×23+1×2+1×2+1等 2×103+6×10+3×101+9.计算机中使用的 于十进制中的数23，那么二进制中1101等于十 是二进制，只要用两个数码：0和1.例如：二进制 进制中的数 ,十进制中35等于二进制 中，101=1×2+0×2+1等于十进制中的数 中的数 综合素能提升 1.在一2,3，一10这三个数中，任意两个数之和 （-1.25). 的最大值与最小值的差是 ( A.13B.-9C.-5D.5 2.下列计算正确的是 ( A.(-1)×(-2)×(-3)=6 B.(-36)÷(-9)×1=-4 2)-2-.5-》÷×[(-3)- c号x(2)÷(-1)号 (-3)3]+ 8-0.5 D.(-4)÷号×(-2)=16 3.从n个不同元素中取出m个元素的所有不 同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出 8.有这样一列数：a1,a2,a3,…,am,其 m个元素的组合数，用符号Cw表示.已知 “!”是一种数学运算符号，且1！=1,2！=2× 中0，=，从第2个数起，每个数 1=2,3!=3×2×1=6,4！=4×3×2×1= 都等于1与它前面的那个数的差的倒数. 24若公式Cm6na大于或等 n! (1)a2= ,a3 (2)求aga1oa11的值， 于m,且m,n为正整数)，则的值为( (3)是否存在M,使M÷(aw-1anam+1)=a1 A.21 B.35 (n>1)?若存在，请求出M的值；若不存在， C.42 D.70 请说明理由. 4.已知|x|=5,|y|=2,且|x+y|=-x-y, 则x一y的值为 5.已知|x|=5,y2=1,且>0，则x-y 6计算传++》-2×位号》 3×得+}+日)的结果是 7.计算： )(+0.125)+3+(-3)+1号+ 49 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 9.新考法·阅读理解题(2025·重庆渝 【解决问题】 中期末)【阅读材料】 (1)将六进制数(251)。转化成十进制数，结 材料一：N进制数与十进制数之间 果为 ;将十进制数73转化成二进制 的转换 数，结果为 将N进制数转化为十进制数时，只要将 (2)计算（列竖式表示加减过程，结果用二进 N进制数的每个数字依次乘基数n的相应 制数表示)： 整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与 ①(1110)2+(1011)2； 其相等的十进制数，规定：a°=1(a≠0).例 ②(10110)2-(1011)2. 如：(1302)5=1×53+3×52+0×51+2× (3)探究二进制的乘法法则： 5°=202. 乘 数 0 0 1 将十进制数转化为与其相等的N进制数，用 乘 数 0 1 0 十进制数除以基数n,然后将商继续除以n, 积 直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到 根据以上乘法法则，计算：(1101)2×(101)2 高位排序即可. (结果用二进制数表示). 例如，将89转化为五进制数： 因为89÷5=17…4,17÷5=3…2,3÷ 5=0…3,所以89=(324)5. 材料二：二进制数加减运算的法则， 加法法则：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1十 1=10. 减法法则：0一0=0,0一1=一1,1一0=1， 10一1=1（同一数位不够减时，向高一位借1 当2). 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十 进制数的竖式加法、减法规则进行运算. (101)2 (111)2 例如：+(10)2，+(10)2， (111)2 (1001)2 所以(101)2+(10)2=(111)2，(111)2+(10)2= (1001)2. (1111)2 (1101)2 例如：-(101)2，-(110)2， (1010)2 (111)2 所以(1111)2-(101)2=(1010)2，(1101)2 (110)2=(111)2. 50 综合与实践j 进位制的认识与探究“答案与解析"见P3 二进制数与十进制数之间的转化方法：将二进制数 4.将十进制数839转化为八进制数. 1010转化为十进制数：(1010)2=1×23十0×22十1× 2十0×2°=8十2=10(2=1).将十进制数19转化为 二进制数：(19)10=16+2+1=1×24十0×23十0× 22+1×2+1×2°=(10011)2.拓展：任何不等于0的 数的0次幂都等于1. 非十进制数转化为十进制数的一般方法：非十进制数 5.将十进制数193转化为九进制数. 转化为十进制数的原理与二进制数转化为十进制数 的原理相同，例如，将四进制数231转化为十进制数： (231)4=2×42+3×4+1×4°=32+12+1= (45)10. 将十进制数转化为非十进制数的一般方法：将十进制 数转化为非十进制数，类似于将十进制数转化为二进 制数，例如，将十进制数66转化为七进制数：(66)10 6.计算机中常用的十六进制是满16进1的计 49+14+3=1×72+2×7+3×7°=(123)7. 数制，采用数字0~9和字母A一F共16个 计数符号，关系如下表： 1.将(110101)2转化为十进制数为 ( 十六进制01 3 567 8 9 A.106B.53 C.55 D.108 十进制 0 1 3 4 8 9 2.将十进制数91转化为二进制数， 十六进制 A B C D E 十进制 10 12 13 14 15 例如：十六进制数71B=7×162+1×16+ 11×16°=1819，即十六进制数71B相当于十 进制数1819.试将十六进制数2E8转化为十 进制数. 3.(1)将(331)5转化为十进制数， (2)将(46)7转化为十进制数. 513.C解析：根据题意，得1-2+3 4+5-6+.+99-100=-1× 50=-50,所以落点处到原点的距离 是50个单位长度 4.D解析：根据题意，得点A1,A3, A;,A7,…表示的数分别为1,5,9， 13,…;点A2,A4,A6,A8,…表示的 数分别为-1，一5，-9，-13，….于是 可归纳出当n为奇数时，点A。表示 数2一1；当n为偶数时，点An表示 数-2n十3.所以当n=14时，-2× 14十3=-25.所以点A14表示的数 是-25. 5.(1)-3:一1：5.解析：因为a十 3+(c-5)2=0,所以a+3=0,c 5=0.所以a=-3,c=5.因为b是最 大的负整数，所以b=一1. (2)3.解析：(5-3)÷2=1，即点A 与点C关于1对应的点对称.所以点 B到1对应的点的距离为1 (-1)=2.所以与点B重合的点表示 的数为1+2=3. (3)不变 根据题意，得点A表示数一3一2t,点 B表示数一1十t,点C表示数5十3t. 所以AB=-1+t-（-3-2t)= 3t+2,BC=5+3t-(-1+t)= 21+6. 所以3BC-2AB=3(21+6)-2(3t+2). 利用乘法对加法的分配律，得3BC 2AB=6t+18-61-4=14. 故3BC-2AB的值不随着t的变化 而变化，其值为14. 第二章整合拔尖 [高频考点突破] 1 典例1设1十2+3 十…十 1 1 1 1 2025a,2+3+…+2025=6, 则a一b=1. 所以原式=(6+202)a a+202)h=202s202o b a-b 1 20262026 [变式] (1)原式=2×（1x2 1 1 1 2×33×4 +…+100×101 =2X (1-+日+g 1 十… 。)=2x(1-)- 2)令++ 1 =a,1 1111 23-4-5=b,则a+b-1. 所以原式=6(a+君）-(6-君)a ab+b-ab+ 1 64= 1 典例2(1)-41. (2)-170. [变式](1)22. (2)-52. 典例3(1)因为a△b=ab-a b+4, 所以3△(-4)=3×(-4)-3 (一4)+4=一12+（一3）+4+ 4=-7. (2)交换律在“△”运算中成立. 理由：由题意，可得a△b=ab一u b+4,b△a=ab-b-a+4, 所以a△b=b△a. 所以交换律在“△”运算中成立。 [变式]13100011解析：二进制 中1101=1×23+1×22+0×2+1 等于十进制中的数13.十进制中35= 32+2+1=1×25+0×2+0×23+ 0×2+1×2+1等于二进制中的数 100011. [综合素能提升] 1.A2.D 3.A解析：因为C=m1一m月 n! (n大于或等于m,且m,n为正整 71 数)，所以C月=517广51 12 7×6X5X4×3×2X1-21. 5×4×3×2×1×2×1 4.-7或-3解析：因为x|= 5,ly|=2,所以x=士5，y=士2.因 为x十y|=-x-y,所以-x-y> 0.所以x十y<0.所以x=-5,y= 士2.所以x-y=-7或-3. 5.士4解析：因为x=5,y2=1,所 以x=士5，y=士1.因为x>0,所以 3 x,y同号.所以当x=5时，y=1,则 x-y=4;当x=-5时，y=-1,则 x一y=一4.综上所述，x一y的值为 士4. 6.-2 所以原式=a-2×(分-a）-3× (a-8)=a-1+2a-3a+2 1 2 7.(1)10 .2 31 8-8百 8(1)2 3 1 1 (2)由题意知4=1广3=一2' 所以每三个数为一个周期，则a,= a3=3,410=41= 所以a,awa=3x(-）×号 -1 (3)存在. 因为易得am-1anan+1=一l, 所以M:(一-1D=名 1 所以M=2: 9.(1)103;1001001.解析：(251)6 2×62+5×61+1×6°=72+30+1= 103.73÷2=36…1,36÷2=18…0, 18÷2=9…0,9÷2=4…1,4÷ 2=2…0,2÷2=1…0,1÷2= 0…1,所以将十进制数73转化成二 进制数，结果为1001001. (2)① (1110)2 +(1011)2 (11001)2 所以(1110)2+(1011)2=(11001)2. ② (10110)2 -(1011)2 (1011)2 所以(10110)2-(1011)2=(1011)2. (3)由题意，填表如下： 乘数 0 0 乘数 0 0 积 0 0 0 根据以上乘法法则，得 (1101)2 (101) 1101 0000 1101 1000001 所以(1101)2×(101)2=(1000001)2. 综合与实践进位制的 认识与探究 1.B解析：(110101)2=1×2+1× 2+0×23+1×22+0×21+1×20 32+16+4+1=53. 2.因为91=64+16+8+2+1=1× 2+0×2+1×21+1×23+0×22+ 1×2+1×2°， 所以十进制数91转化为二进制数应 为1011011 3.(1)(331)5=3×52+3×51+1× 5°=75+15+1=91. (2)(46),=4×7+6×7=28+ 6=34. 4.839=512+320+0+7=1×83+ 5×82+0×8+7×8°=(1507)8. 5.193=162+27+4=2×92+3× 9+4×9°=(234)g. 6.(2E8)16=2×162+14×16+8× 16°=2×256+224+8=512+224+ 8=744. 第三章 代数式 3.1列代数式表示数量关系 第1课时代数式 1.C 2.D 一易错警示 用字母表示数时因书写 不规范而导致错误 (1)在含有字母的式子中，如 果出现乘号，那么通常将乘号写作 “·”或省略不写，并且将数写在字 母的前面 (2)数与数相乘时，只能用 “X”,不能省略或写成“·”」 (3)带分数与字母相乘，带分 数要写成假分数， (4)若式子中出现含字母的除 法运算，则一般写成分数的形式. (5)数字因数为“1”或“一1” 时，通常省略“1” 3.C4.D5.打八折后再让利 20元6(1)6+号&(2)(2x 》8)2+6 7.答案不唯一，如 (1)一个棱长为a米的正方体钢块的 体积是a3立方米， (2)某款钢笔每支的价格为x元，提 价10%后，这款钢笔每支的售价是 (1+10%)x元. (3)巧克力糖每千克m元，奶油糖每 千克n元，用3千克巧克力糖和2千 克奶油糖混合成5千克的什锦糖，则 这样得到的什锦糖每千克的平均价格 为2”元 8.C9.D10.C11.100y+x 12.到甲商店购买所需的费用：48× 5+13(x-5)=(175+13.x)元. 13 到乙商店购买所需的费用：(48×5十 13x)×90%=0.9(240+13x)= (216+11.7x)元. 13.C解析：窗户外围的周长=2b十 2x+b+2×2m=(m+3动+2c)cm. 故①正确.窗户的面积等于半圆面积 加上大长方形的面积，即2xa2+ 6c++b)=(号m+2x+6)m, 故②错误.根据长方形的性质，可得 b+2c=2a,故③正确.无法求得b= 3c,故④错误.综上所述，正确的结论 为①③，共2个. 14.(1)因为点A,B表示的数分别 为-2,6， 所以AB=8. (2)因为D是AB的中间点， 所以点D表示的数为2. 当-2<x<2或x=2时，CD= 2-x. 当x>2时，CD=x-2. (3)设运动的时间为t秒，则点C运 动后对应点表示的数为t,点A运动 后对应点表示的数为一2一5t,点B 运动后对应点表示的数为6十20t. 因为OB的中间点为E, 所以点E表示的数为3十10t. 因为AC的中间点为F, 所以易知点F表示的数为一1一2t. 所以AB=8+25t,OC=t,EF= 4+12t. 所以AB0C_8+251二1=2 EF 4+12t 第2课时反比例关系 1.C2.B3.反 4.(1)由题意，得xy=20,y与x成 反比例关系。 (2)由题意，得xy=1000a,y与x成 反比例关系 5.D解析：张老师每分钟步行30米， 则张老师走的路程和时间成正比例关 系，故A选项不合题意.若圆柱的高 为8，则圆柱的体积和底面积成正比