第一章 勾股定理单元测试2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

2025-2026学年度山东省滕州市张汪中学第一学期单元试题 · 八年级数学 第一章 勾股定理 一、单选题 1．以下列各组三条线段长为边，能构成直角三角形的是（   ） A．2，2，3 B．5，12，13 C．8， 12， 16 D．7，20，25 2．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 4．如图，在等腰三角形中，，，则等腰的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 6．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 8．如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 9．如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 二、填空题 11．在一直角三角形中，已知两边的长是3、4，则第三边的长是 ． 12．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 13．如图，以的三边为直径向外作半圆，其面积分别为、、，若，，则 ． 14．凹四边形的各边长度如题图所示，已知，那么凹四边形的面积为 ．（其中，） 15．如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ． 16．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则 ． 三、解答题 17．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图中，边上找点D，使 (2)在图中，边上找点 E，使 18．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 19．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 20．如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 21．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 22．如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿运动，设运动时间为秒． (1)若点P在上，且满足，求出此时t的值； (2)若点P恰好在的平分线上，求t的值． 23．如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 （1）解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________； 【应用】 （2）如图②，在中，点为边的中点，已知，，，求的长； 【拓展】 （3）如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点N，连接．已知，，则的长为________． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B B C B A A 11．或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当3、4均为直角边时；当3为直角边，4为斜边时；利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：当3、4均为直角边时，第三边长为， 当3为直角边，4为斜边时，第三边长为， 综上所述，第三边的长是或， 故答案为：或． 12．25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 13． 【分析】本题考查圆的面积公式及勾股定理，设，根据，及勾股定理求出，从而可求． 【详解】设， 则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 14．36 【分析】本题考查的是三角形面积以及勾股定理的应用，连接，过B作于，因为，所以，由勾股定理计算，，凹四边形的面积，由此解答本题． 【详解】解：连接，过B作于， ∵，， ∴， 解得（负值舍弃）， ∵，， ∴， ∴，即， ∴凹四边形的面积为， 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是本题的关键．勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，设，则，，进而在中，，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 折叠，点落在边上的点处， ，，， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为： 16． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用可证，得到，进而可得，即得，同理可得，，据此即可求解，由全等三角形得到是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即， 同理可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题格点作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等． （1）如图中，取格点E，连接交于点D，线段即为所求．根据三边对应相等可判定，推出，进而可证； （2）如图中，利用格点构造等腰直角三角形，交于点E，点E即为所求 【详解】（1）解：如图中，线段即为所求； （2）解：如图中，构造等腰直角三角形，交于点E，点E即为所求． 18．(1)直角三角形，见解析 (2)平方米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用； （1）直角三角形中，利用勾股定理解出，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （2）由，结合三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2） （平方米）． 19．(1)风筝的高度为米 (2)他应该往回收线米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ， （米）， （米）， 他应该往回收线米． 20．(1)是直角三角形，理由见解析； (2)的长为5． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 21．(1)是从村庄C到河边的最近路，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，垂线段的性质，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，由垂线段最短，可知是从村庄C到河边的最近路； （2）利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：是从村庄C到河边的最近路，理由如下： ，，，， ， 是直角三角形，其中， ， 是从村庄C到河边的最近路 （2）解：设 ，则， 在中，， ， 解得， 即原来的路线的长为2.5千米． 22．(1) (2)或 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，继而得到，得到，求出； （2）当点在的角平分线上，作于点，证明，得到，得出，，根据勾股定理得到 ，求出 ；当点到达点时，， 即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ， ， ， ， 当时，； （2）解：当点在的角平分线上，如图，作于点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 当点到达点时，， 综上，当或时，点恰好在的角平分线上． 23．（1）（2） （3） 【分析】（1）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可． （2）延长到点G；使，连接．证明， 得到，，，根据勾股定理的逆定理，证明．根据勾股定理解答即可． （3）延长到点Q；使，连接，先证明，再证明，得到直角三角形，利用勾股定理，线段垂直平分线解答即可得证． 本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握判定，性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：延长到点E；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， ∴ 故． 故答案为：． （2）解：延长到点G；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，， ∵． ∴． ∴， 故． （3）解：延长到点Q；使，连接． ∵点D是的中点，， ∴，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 答案第6页，共12页 答案第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $