第四章 专题特训八 与线段、角有关的计算-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

拔尖特训·数学（北师版）七年级上 专题特训八与线段 类型一与线段有关的计算 (一)无中点的计算 3. 1.如图，AB=m(m为常数)，C为直线AB上 一点（不与点A,B重合），点P,Q分别在线 段BC,AC上，且满足CQ=2AQ,CP 2BP. (1)如图①，若点C在线段AB上，求PQ的 长（用含m的代数式表示）. (2)如图②，若点C在点A的左侧，同时点P 在线段AB上（不与端点重合），试判断(1)中 的结论是否成立，并说明理由 Q P A B ① P C A ② (第1题) (二)单中点的计算 2.(2024·菏泽成武期中)按下列要求画图，并 解答问题：画线段AB=1厘米，延长线段 AB到点C,使BC=1.5厘米，再反向延长线 段AB到点D,使AD=2厘米，O是线段BD 的中点，求线段OC的长. 74 角有关的计算 三)双中点的计算 如图，C,D是线段AB上两点，已知AC: CD:DB=1:2:3,M,N分别为AC,DB 的中点，且AB=24cm,求线段MN的长. A衣 D N B (第3题) 如图，C为线段AB上一点，AC=15cm, CB=AC,D,E分别为线段ACAB的中 点，求线段DE的长， A D E C B (第4题) 类型二与角有关的计算 (一)无角平分线的计算 5.已知射线OC在∠AOB的内部. (1)如图①，若∠AOB=120° ∠AOC=2∠BOC,求∠BOC的 度数. (2)如图②，若射线OD在∠AOC的内部， ∠AOC+∠BOD=150°，∠AOD+∠BOC= 110°，求∠AOB的度数 Q ② (第5题) (二)单角平分线的计算 6.如图，O为直线AB上一点，∠BOC=80°， OE平分∠BOC且∠AOF:∠COF=3:2. (1)求∠AOF的度数： (2)试说明：OC平分∠EOF. (第6题) 第四章基本平面图形 (三)双角平分线的计算 7.如图①，线段MN=24cm,线段AB 在线段MN上运动（点A不与点M 重合，点B不与点N重合)，C和D 分别是AM,BN的中点. (1)若AM=8cm,AB=2cm,求CD的长. (2)若AB=2acm,当线段AB运动时，线段 CD的长是否发生变化？如果不变，请求出 CD的长；如果变化，请说明理由. (3)知识迁移：我们发现角的很多规律和线 段一样，如图②，∠AOB在∠MOV内部绕 点O转动(OA不与OM重合，OB不与ON 重合)，射线OC和射线OD分别平分∠AOM 和∠BON.当∠AOB转动时，∠AOB, ∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关 系？请说明理由. M C AB D N 0 ① (第7题) 75B相对货轮O的方位是北偏西65° 9.14145解析：因为∠AOB= ∠COD=90°，所以∠AOB十 ∠AOD+∠AOC=180°，即∠BOD+ ∠AOC=180°.所以∠BOD=180° ∠A0℃=180°-3815′=14145′ 10.(1)因为∠AOB=130°， ∠AOD=50, 所以∠BOD=80°. 因为OC平分∠AOD, 所以∠COD= 2 ∠AOD=25° 所以∠BOC=∠BOD+∠COD= 80°+25°=105° (2)OE平分∠BOC. 理由：因为∠DOE=27.5°， 所以∠COE=∠COD+∠DOE= 25°+27.5°=52.5. 所以∠COE-号∠B0C. 所以OE平分∠BOC. 11.(1)26°.解析：因为∠AOB= 180°，∠AO℃=52°，所以∠BOC= ∠AOB-∠AOC=128°.因为射线 OE平分∠BOC,所以∠COE= 2∠B0C=6所以∠DOE ∠COD-∠C0E=90°-64°=26°. (2)①因为射线OE平分∠BOC, 所以∠COE=∠BOE=25. 所以∠BOC=∠BOE+∠COE= 50°. 因为∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠AOC=130°. 因为∠COD=90°， 所以∠DOE=∠COD-∠COE= 65°. 所以∠AOC,∠DOE的度数分别为 130°，65. ②∠AOC=2∠DOE 理由：因为射线OE平分∠BOC, 所以∠BOE=∠COE=a. 所以∠BOC=∠BOE+∠COE=2a 因为∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠AOC=180°-∠BOC= 180°-2a. 又因为∠COD=90°，即∠DOE+ ∠COE=90°， 所以∠DOE=90°-∠COE=90°-a. 所以∠AOC=2(90°-a)=2∠DOE. 12.(1)因为∠AOB=90°，∠BOC= 60°， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC= 150°. 因为OM是∠AOC的平分线，ON是 ∠BOC的平分线， 1 所以∠M0C=2∠A0C=75, ∠N0C=7∠B0C=30 所以∠MON=∠MOC一∠NOC= 45 .1 (2)∠M0N=2a. 理由：因为∠AOB=a,∠BOC=60°， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=a+ 60° 因为OM是∠AOC的平分线，ON是 ∠BOC的平分线， 1 所以∠MOC=2∠AOC= 2a+ 30°，∠N0C=2∠B0C=30°： 所以∠MON=∠MOC-∠NOC= +80-30=7a. 1 (3)∠MON与α之间有数量关系， ∠MON=2a,∠MON与B之间没 有数量关系. 理由：因为∠AOB=a,∠BOC=B, 所以∠AOC=a十B. 因为OM是∠AOC的平分线，ON是 ∠BOC的平分线， 所以∠MOC= 2∠A0c=(a+ 26 B,∠0C=2∠B0C=7A 所以∠MON=∠MOC-∠NOC= 1 2a+9)-78=2a. 1 1 所以∠MON=2a,∠MON与B之 间没有数量关系。 专题特训八与线段、角 有关的计算 1.(1)因为CQ=2AQ,CP=2BP, 所以cQ=号AC.CP-号C 所以PQ=CQ+CP=号AC+ 3 号=号(AC+BC)=号AB= 3m. (2)成立 理由：因为CQ=2AQ,CP=2BP, 所以c0-号AC,CP=号C 所以PQ=CP-CQ=号BC 号AC=号(BC-AC)= AB 3n. 2.如图所示. 因为AB=1厘米，AD=2厘米， 所以BD=AD十AB=3厘米. 因为O是线段BD的中点， 所以0B=号BD=1.5厘米 所以OC=OB+BC=1.5+1.5= 3(厘米). 所以线段OC的长为3厘米. D OAB (第2题) 3.因为AC:CD:DB=1:2:3, AB=24 cm, 所以AC=4cm,CD=8cm,DB= 12cm. 因为M,N分别为AC,DB的中点， 所以C=专AC=2em,DN= D8-6cm. 所以MN=MC+CD+DN=16cm. 3 4.因为AC=15cm,CB=亏AC, 所以CB=号×15=9(am 所以AB=AC+CB=15+9= 24(cm). 因为D,E分别为线段AC,AB的 中点， 所以AD=名AC=号 ×15= 1 7.5(cm),AE=AB=2 ×24= 12(cm). 所以DE=AE-AD=12-7.5= 4.5(cm). 所以线段DE的长为4.5cm. 5.(1)因为∠AOB=120°= ∠AOC+∠BOC,∠AOC=2∠BOC, 所以2∠BOC+∠BOC=120, 即3∠B0C=120° 所以∠BOC=40°. (2)因为∠AOC+∠BOD=150°， 所以∠AOD+∠COD+∠COD+ ∠BOC=150° 因为∠AOD+∠BOC=110°， 所以2∠C0D+110°=150. 所以2∠COD=40°. 所以∠COD=20°. 所以∠AOB=∠COD+∠AOD+ ∠B0C=20°+110°=130°. 6.(1)因为∠BOC=80°， 所以∠AOC=180°-∠BOC=100°. 因为∠AOF:∠COF=3:2,而 ∠AOF+∠COF=∠AOC, 所以∠A0F=号∠A0C=号× 5 100°=60°」 (2)因为∠AOC=100°，∠AOF= 60°， 所以∠COF=100°-60°=40° 因为OE平分∠BOC, =1×80= 所以∠COE=2∠B0C= 40 所以∠COF=∠COE. 所以OC平分∠EOF. 7.(1)因为MN=24cm,AB=2cm AM=8 cm; 所以BN=MN-AB-AM=14cm. 因为C和D分别是AM,BN的中点， 所以AC=号AM=4m,BD 含BN=7m 所以CD=AC+AB+BD=4+2+ 7=13(cm). 所以CD的长为13cm. (2)不变 因为C和D分别是AM,BN的中点， 所以AC=3AM,BD=BN. 所以AC+BD=号AM+2BN (AM+BN). 又因为MN=24cm,AB=2acm, 所以AM+BN=MN-AB=(24- 2a)cm. 1 所以AC+BD=2(AM+BN)= (12-a)cm. 所以CD=AC+AB+BD=12-a+ 2a=(12+a)cm (3)∠COD= 2 ·(∠MON+ ∠AOB). 理由：因为OC和OD分别平分 ∠AOM和∠BON, 所以∠AOC=2 ∠AOM,∠BOD= 合∠B0N. 27 所以∠AOC+∠BOD=2∠AOM+ 3∠BON=2(∠AOM+∠BON. 所以∠COD=∠AOC+∠BOD+ ∠A0B=2(∠AOM+∠BON)+ ∠AOB三2（∠MON=∠AOB)+ ∠AOB= (∠MON+∠AOB), 3多边形和圆的初步认识 1.A 2.C解析：从六边形的一个顶点出 发，可以画3条对角线，它们将六边形 分成4个三角形，所以m十n=7. 3.正三角形、正方形、正六边形 梯形、五边形、长方形、平行四边形 4.(1)因为一个周角为360°， 所以∠AOB=360°×15%=54°， ∠BOC=360°X25%=90°，∠COD= 360°×30%=108. 所以∠AOD=360°-∠AOB一 ∠BOC-∠COD=360°-54°-90° 108°=108°. 又因为∠DOE:∠AOE=1:2, 所以∠D0E=108×1+2=36, 2 ∠A0E=108×1千2-72. (2)因为扇形所在圆的半径为2， 所以S扇形x=元×2X25%=π， S8m=xX2X30%=号元 5.D解析：如图，存在三种情况，剩 余图形中的角有3个或4个或5个. (第5题) 6.20解析：因为从1边形的一个顶 点出发可引出(n一3)条对角线，可将 n边形分成(n一2)个三角形，所以 n-2=6,解得n=8.所以多边形对角