专题训练八、专题训练九 整式中的规律探究 与线段上的点有关的计算-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

专题训练八 整式中的规律探究 (限时：30分钟) 类型1图形规律 1357911131517 19223252729313335 1.刘敏用木棒和硬币拼成如图所示的“小列车”， 323941434547495153 每个图形固定用2枚硬币，第1个图形需要4 555759616365676971 737577798183858789 根木棒，第2个图形需要7根木棒，第3个图形 需要10根木棒，….照这样的方式摆下去，第 n个图形需要的木棒根数为 0 ● 第1个 第2个 第3个 第1题图 A.4n B.4n-1 C.3n+1 D.2+3 2.某种杯子的高度是15cm,2个以及3个这 类型3数式规律 样的杯子叠放时的高度如图，则个这样的 5.已知a1=3十1，a2=32十2，a8=33+3,a4= 杯子叠放在一起高度是 3十4，…，则a。= () (用含n的式子表示). A.3"+n B.3n C.3"+3 D.3+3n 6.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算 第2题图 类型2数阵规律 知下：f0-1+子f2)-1+号f0)-1 3.如图，将从1开始的自然数按如图所示的规 +号0=1+是 律排列.已知位于第3行、第4列的数是12， 则位于第45行、第4列的数是 利用以上运算的规律，回答下列问题： (1)f(n)= (用含n的式子表 12510… 43611 示，n为正整数). 98712… (2)计算：f(1)·f(2)·f(3)· 16151413 ·f(100). 第3趋图 4.几何直观下图中的数阵由奇数排成. (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中 间的数有什么关系？ (2)移动平行四边形框，框内的九个数之和 能等于2021吗？2025呢？若能，请写出这 九个数中最小的一个；若不能，请说明理由. 100 数学七年级BS版 专题训练九 与线段上的点有关的计算 (限时：45分钟) 类型①与线段中点有关的计算 4.(2024一2025重庆合川区月考)如下图，点C 1.如图，点C在线段AB上，D是线段AB的 在线段AB上，AC=8cm,BC=6cm,M,N 中点.若AC-6cm,BC-3cm,则线段CD 分别是AC,BC的中点. 的长度是 (1)求线段MN的长. A方 (2)若C为线段AB上任意一点，满足AC+ 第1题图 BC=acm,其他条件不变，试猜想MN的长 2.已知线段AB,延长AB到点C,使BC= 度，并说明理由. 2AB,延长BA到点D,使AD=2AB,M, (3)若点C在线段AB的延长线上，且满足 AC-BC=bcm,M,N分别为AC,BC的 N分别是BC,AD的中点.若MN=18cm, 求AB的长 中点，试猜想MN的长度，并说明理由. A M C N B 3.如下图，C,D为线段AB上两点，M为线段 AC的中点，N为线段BD的中点 A M C D N B (1)若AB=14cm,CD=4cm,求AC十BD 的长及MN的长. (2)若AB=a,CD=b,直接用含a,b的式 子表示MN的长. 类型2与线段的比有关的计算 5.如图，AB=12cm,C为AB的中点，点D在 线段AC上，且ADCB=1:3,则CD的 长是 () AD七B 第5题图 A.8 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm 上册专题训川练 101 6.如下图，A,B,C,D四点在同一条直线上， ②请计算出点P出发多少秒后，与点Q的 (1)若AB=CD. 距离是20cm? ①比较线段的长短：AC BD(填 “>”“<”或“=”)； ②者BC=AC,且AC=12cm,则线段 AD的长为 cm. (2)若AB·BC:CD=3：4:5,且线段 8.如下图，直线L上有A,B两点，AB= AB的中点M和线段CD的中点N之间的 24cm,O是线段AB上的一点，OA=2OB. 距离是16cm,求线段AD的长. B一1 A B CD (1)OA= cm,OB cm. (2)若C是线段AO上一点，且满足AC= CO+CB,求CO的长. (3)若动点P,Q分别从A,B同时出发，向 右运动，点P的速度为2cm/s,点Q的速度 为1cm/s,运动时间为ts.当点P与点Q 重合时，P,Q两点停止运动 ①当t为何值时，2OP-OQ=8cm? 类型3与线段上的动点有关的计算 ②当点P经过点O时，动点M从点O出 发，以3cm/s的速度也向右运动.当点M 7.如下图，在直线上顺次取A,B,C三点，使得 追上点Q后立即返回，以同样的速度向点 AB=40cm,BC=280cm.点P,Q分别从 P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的 点A,B同时出发向点C运动，运动时间为t 速度向点Q运动，如此往返，直到点P,Q (单位：s),点P的速度为3cm/s,点Q的速 度为1cm/s. 停止运动，点M也停止运动.在此过程中， ABD无 点M运动的总路程为 cm. (1)线段AC的长为 cm. (2)若D是线段AC的中点，请求出线段 BD的长 (3)①请求出点P出发多少秒后追上点Q? 102 数学七年级BS版(2)4A-B=4(-y°+ay-1)-(2y2+3ay+2y-3) =-4y2+4ay-4-2y2-3ay-2y+3 =-6y2+4y-2y-1 =-6y2+(a-2)y-1. 因为多项式4A一B中不含y项， 所以4-2=0， 解得a=2. 专题训练七整式化简 求值中的整体思想 1.A2.A3.B4.8-15.-156.-33 7.解：(1)原式=(6xy十7y)+(8z-5xy十y-6z)=6xy+7y +8x-5xy十y-6x=xy+8y十2x=xy十2(x+4y). 因为x十4y=-1,xy=5, 所以原式=5十2×（一1）=5-2=3. (2)原式=3x2-6xy-x2十6xy-4y=2x2-4y. 因为x2-2y-5=0, 所以x2-2y=5, 所以原式=2(z一2y)=2×5=10. 8.解：2A-3B=2(3x2-x+2y-4xy)-3(2x2-3x-y+xy) =6x2-2x十4y-8xy-6x2+9x十3y-3xy =7x十7y-11xy. 当x+y号y=1时，原式-7红+》-1y 3 =7×7-11×1 =3-11 9.2(x-y)-3(x-y)210.176 1.解：原式-名(g十+2十)-奇+ ++号c+ 1 =2(x十y)2-(x十y). 因为x十y=3,所以原式=2×3一32=一9. 12.解：(1)5(a-b)2 (2)3x2-6y-5=3(x2-2y)-5. 把x2-2y=1代人，得原式=3×1一5=一2. (3)(a-c)+(2b-d)-(2h-c)=a-c+2b-d-2b+c= (a-2b)+(c-d)+(2b-c). 把a-2b=2,2b-c=-5,c一d=9代人，得原式=2+9-5 =6. 13.A14.B15.B 16.解：由题意，得(54十1)十(8一3b)=0, 即5a-3b=-9, 2(a-b-1)-4(b-2a+3)=2a-2b-2-4b+8a-12= 10a-6b-14=2(5a-3b)-14. 将54一36=一9整体代人，得原式=2×（一9）一14=一32. 17.解：(1)2017 (2)因为4十b=5, 所以愿式=2(4+6)-4(4十6)+21=-2(a+b)十21 -10+21=11. (3)因为a2十2ab=20,b十2ab=8, 所以2a+4ab=40,36°+6ab=24, 所以2a3-3b2-2ab=2a2+4ab-3b2-6ab=(2a3+4ab) -(36°十6ab)=40-24=16, 专题训练八整式中的规律探究 1.C2.(3m+12)cm3.2022 4.解：1)设框中间的数为n,这九个数按从小到大的烦序依次 为n一18，对一16，n一14，n一2，，n十2：n十14，n十16，n +18. 显然，其和为9，故平行四边形框内的九个数之和是中间的 数的9倍. (2)不能等于2021，能等于2025. 因为2021不能被9整除， 所以这九个数之和不能等于2021. 若和等于2025，则中间的数为225，最小的数为225一18 =207. 5.A 8解：02+号 (2)f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100) =(1+)×(+2)×1+)×(1+)×…×(1+ _101×102-5151. 1×2 专题训练九与线段上的点 有关的计算 1.1,5cm 1 2解：设AB=xcm:则BC=2AB=2cm,AD=2AB= 2x em. 因为M,N分别是BC,AD的中点，所以BM=子BC 子cm,AN-2AD-xem 由MN=18em,得BM+AB十AN=产+x十x=18,每得 x=8,故AB=8cm. 3.解：1)因为AB=14cm,CD=4cm, 所以AC十BD=AB-CD=10cn. 因为M为线段AC的中点，N为线段BD的中点， 所以AMC+DN=AC+BD)=5em, 所以MN=MC+CD+DN=9cm. (2)MN-a+b). 4.解：(1)因为M,N分别是AC,BC的中点，AC=8cm,BC= 6 cm. 所以AMC=2AC=4cn,CN=2BC=3m 所以MN=MC十CN=Tcm. (2)猪想：MN的长度为2acm. 理由：由(1)可得MN=MC+CN=2(AC+BC)= 2 a cm. O清想：MN=em 奉由：知图，MN=MC-CN=AC-号BC=(AC 1 BC)-2b cm. M B N G 5.D 6.解：1)①= 2015 上册参考答案 183 (2)因为AB￥BCCD=3￥4￥5， 所以AB-AD,BC-AD,CD-AD, 因为M,N分别是AB和CD的中点， 所以BM=AB-AD.cN=cD-7AD, 所以MN=专AD+号AD+2AD=16, 所以子AD=16,所以AD=24cm 故线段AD的长为24cm 7.解：(1)320 (2)因为D是线段AC的中点，由(1)知，AC=320Cm 1 所以AD=2AC=160cm 所以BD=AD一AB=120cm. (3)①当点P追上点Q时，依题意，得3t=t十40， 解得t=20, 故点P出发20s后追上点Q ②由题意，可分以下两种情况讨论： a.当点P在点Q的左侧时，3十20=40十t, 解得t=10: b.当点P在点Q的右侧时，3x=40十t十20， 解得t=30. 故点P出发10s或30s后，与点Q的距离是20cm 8.解：(1)168 (2)C0= 8 3 cm. 16 (3)0当t的值为5或16时，20P-0Q-8cm @48 专题训练十角的计算 1.解：(1)63 (2)因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC, 所以∠BOC=2∠COD,∠AOC=2∠COE 所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=2∠C0D+2∠COE= 2∠D0E=136 2.解：(1)因为，∠AOE■45°， 所以∠B0E=180°-∠A0E=135 因为∠EOF为直角，所以∠EOF=90°， 所以∠BOF-∠BOE-∠EOF-45, 因为OC平分∠BOE, 所W∠B0C=专∠BOE=67. 所以∠COF=∠BOC-∠BOF=22.5 (2)因为OD平分∠AOC,且∠AOD=75, 所以∠AO℃=2∠AOD=150, 所以∠BOC=180°-∠AOC=30 因为OC平分∠BOE, 所以∠EOC=∠BOC■30°， 因为，∠EOF为直角， 所以∠COF=90°-∠EOC=60 3.解：(1)120 (2)120°10 (3)设小明从离开家到回到家用了xmin, 因为上午8：00，时针与分针所成的较小角的度数是120°，到 家时，时针与分针重合，所以分针比时针多转了360一120 =40,图为分针每分钟将过 1 =6,时针每分钟转过 184 数学七年级BS版 05,所以车-0.57=240，解得x-智，围小明以 360 12 480 离开家到回到家用了置nin 4.解：(1)110 (2)130 (3)180 理由如下： 因为∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD十∠BOC=90°， 所以∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+ ∠B0C=90°+90°=180'， 即∠BOC和，∠AOD度数的和始终为180“ 5.解：(1)因为∠AOB=90°，∠A0C=35, 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-35”=55" 因为∠COD=90°，所以∠BOD=∠COD十∠BOC=90°+十 55=145. (2)∠AOD与∠BOC相等.理由如下： 周为∠AOD+∠AOC=∠BOC+∠AOC=90°， 所以∠AOD=∠BOC (3)由(2)，得∠AOD=∠BOC.因为OE是OB的反向延长 线，所以∠BOC+∠COE=180°，所以∠AOD+∠COE =180 6.解(1)因为OC是∠AOB的平分线，∠AOB=100°， 所以∠COB=∠A0B=50 因为∠BOD=35° 所以∠COD=,∠COB-,∠BOD=15 (2)因为.∠BOC=∠AOD=3∠COD, 所以，∠BOD=∠AOC=2∠COD, 所以∠C0D=100×2+2+1=20 7,解：∠AOQ的度数为40或20° 专题训练十一线段与角的计算 中的思想方法 1.D2.12或83.40或80或120 4,解：分以下两种情况讨论： ①如图①，当OD在∠AOB外部时，因为OE平分∠AOB, ∠AOE=30°，所以，∠BOE=∠AOE=30° 因为∠BOD=2O°，所以∠AOD=∠AOE+∠BOE+ ∠B0D=30°+30°+20°=80. 因为OD平分∠AOC,所以∠COD=∠AOD=80°，所以 ∠BOC=∠COD+∠BOD=100°. 因为OF平分∠BOC,所以∠COF= 2∠B0C=50: 图① 图② ②如图②，当OD在∠AOB内部时，因为OE平分∠AOB, ∠AOE=30°，所以∠BOE=∠AOE=30 因为∠BOD=20',所以∠AOD=∠AOE十∠BOE ∠B0D=30'+30°-20°=40 因为OD平分∠AOC,所以∠COD=∠AOD=40°，所以 ∠BOC=∠COD-∠BOD=20 因为OF平分∠BOC,所以∠COF=2∠B0C=10 综上所述，∠COF的度数为50或10