第四章 2 角-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

拔尖特训·数学（北师版）七年级上 2角 第1课时角 基础进阶 幻素能攀升 1.给出下列关于角的说法：①由两条射线组成 6.新情境·日常生活平板电脑支架方便用户在 的图形是角；②周角是一条射线，平角是一 不同位置和角度观看平板电脑，如图是支架 条直线；③在角一边的延长线上取一点D: 侧面的平画示意图，其中∠1还可以表示为 ④角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋 C 转而形成的图形.其中，正确的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，下列说法中，错误的是 ( A.射线OA的方向是正西方向 (第6题) B.射线OB的方向是东北方向 A.∠A B.∠DAC C.射线OC的方向是南偏东60° C.∠BAC D.∠ACE D.射线OD的方向是南偏西55° 7.*下列各式中，角度互化正确的是 北 A.63.5°=63501 B B.23°12'36"=23.48 西A O 35 60 东 C.1818'18"=18.33 D.22.25°=22°15 南 (第2题) (第4题) 8.若∠1=5.2°，∠2=312'，∠3=18720"，则下 3.(1)2160”= 列结论不正确的是 () (2)2.6°= A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 4.（2024·广西改编)如图，9点30分时，时钟的 C.∠1=∠3 D.三个角互不相等 时针与分针所成的角是 9.A,B,C三个城市的位置如图所示，城市A 5.如图. 在城市C的南偏西30°方向上，且∠ACB= (1)以B为顶点的角有几个？把它们表示出来 145°，则城市B在城市C的 方向上 (2)指出以射线BA为边的角， 北 (3)以D为顶点，DC为一边的锐角有几个？ B 请分别表示出来 东 (第9题) 10.(1)在一条直线上依次有A,B,C, (第5题) D四个点，则这条直线上共有多少 条线段？要解决这个问题，我们可 以这样考虑，以A为端点的线段有AB, 70 第四章基本平面图形 AC,AD,共3条，同样以B为端点，以C为 思维拓展 端点，以D为端点的线段也各有3条，这样 12.钟面上的数学 共有4×3=12（条）线段.但每条线段都被 【基础知识】 重复计算一次，所以一共有3=6（条）线 钟表上，时针每小时转动的角度 是30°. 段.若在一条直线上有5个点，则这条直线 (1)时针每分钟转动的角度是0.5°，0.5° 上一共有 条线段.若在一条直线上 有n个点，则这条直线上一共有 条 【问题初探】 线段 (2)在某一天的5点到6点之间（包括5点 (2)根据(1)中的结论，若在一个锐角 整和6点整)，假设这一时刻是5点x分. ∠AOB内部画2条射线OC,OD,则这个图 ①求时针和分针重合时x的值， 形中共有 个角；若在一个锐角 ②用含有x的代数式表示时针与分针的较 ∠AOB内部画n条射线，则这个图形中共 小的夹角. 有 个角 【类比分析】 11.新考法·操作实践题如图，在某地区的一张 (3)小明17点多钟开始做作业，他家墙上 地图上有学校、超市、公园三地，但公园的具 时钟的时针和分针的较小的夹角是90°，他 体位置看不清楚了，知道公园的位置在学校 做完作业后还是当天17点多钟，且时针和 的西南方向上，在超市的北偏东60°的方向 分针的较小的夹角还是90°，求小明做作业 上.根据上述信息，请你在图中找出公园的 用了多长时间 具体位置： 学校 个→东 超市 (第11题) 77 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 第2课时 角的比较 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，正方形网格中每个小正方形的边长都 5.如图，两个直角∠AOB,∠COD有相同的顶 为1，则∠1与∠2的大小关系为 点O,给出下列结论：①∠AOC=∠BOD; A.∠1<∠2 B.∠1=∠2 ②∠AOC+∠BOD=90°；③若OC平分 C.∠1>∠2 D.无法比较 ∠AOB,则OB平分∠COD;④∠AOD的平 分线与∠COB的平分线是同一条射线.其 中，正确的有 () A.1个B.2个C.3个D.4个 (第1题)》 (第2题) 2.(2024·宝鸡期末改编)一副三角尺按如图 所示的方式摆放，那么最大的钝角的度数是 (第5题) (第6题) 3.(2024·南京)如图，点A,O,B在同一条直6.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC 线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC 的平分线，且∠COD=25°，则∠AOB的度 的平分线.若∠AOE=162°，求∠BOD的 数为 () 度数 A.100°B.50° C.75°D.25 7.易错题(2023·武汉新洲期末)已知 ∠AOB=100°，过点O作射线OC,使 ∠AOC=20°，OM是∠BOC的平分线，则 (第3题) ∠BOM的度数为 8.新情境·日常生活如图，货轮O在航行过程 中，发现灯塔A在它的南偏西50°的方向上， 若客轮B所处的位置与货轮O的连线OB 4.如图，已知∠1，∠2，求作∠AOB,使∠AOB 恰好平分∠AOM,则客轮B相对货轮O的 2∠1-∠2. 方位是 北 M (第4题) B 西 一东 0 4 N 南 (第8题) (第9题) 9.如图，将一副三角尺ABO,CDO的直角顶点 O固定在一起.如果∠AOC=38°15'，那么 ∠BOD= 72 第四章基本平面图形 10.如图，∠AOB=130°，∠AOD=50°，OC平思维拓展 分∠AOD. 12.新考法·探究题☐如图，OM是∠AOC (1)求∠BOC的度数. 的平分线，ON是∠BOC的平 (2)若∠DOE=27.5°，试判断OE是否平 分线： 分∠BOC,并说明理由. (1)如图①，当∠AOB=90°，∠BOC=60° 时，∠MON的度数是多少？ (2)如图②，当∠AOB=a,∠BOC=60°时， 0 猜想∠MON与α之间的数量关系，并说明 (第10题) 理由. (3)如图③，当∠AOB=a,∠BOC=B时， ∠MON与a,3之间分别有数量关系吗？ 请写出结论，并说明理由， 11.新考法·探究题如图，将三角尺 COD的直角顶点O放置在直线 AB上. (1)若按照图①的方式摆放，且∠AOC 52°，射线OE平分∠BOC,则∠DOE的度 ② (第12题) 数为 (2)若按照图②的方式摆放，射线OE平 分∠BOC. ①若∠BOE=25°，求∠AOC和∠DOE的 度数 ②设∠BOE=a,请判断∠AOC与∠DOE 之间的数量关系，并说明理由， (2 (第11题) 73②1i,解析：因为5C=子AC,且 AC=12em,所以BC=子×12= 9(cm).所以AB=CD=AC-BC= 12-9=3(cm).所以AD=AC+ CD=12+3=15(cm). (2)根据题意，设AB=3.xcm,则 BC=4x cm,CD =5x cm,AD= 12x cm. 因为M是线段AB的中，点，N是线段 CD的中点， 所以AM=BM= 3 cm,CN DN=多：cm 又因为MN=16cm, 所以号x十红+号=16，解得 x=2. 所以AD=12X2=24(cm). 所以线段AD的长为24cm 13.(1)因为AC=9cm,M是线段 AC的中点， 所以CM=之AC=4.5em 同理，得CN=2C=3cm 所以MN=CM+CN=7.5cm. 所以线段MN的长为7.5cm. (2)因为M,N分别是线段AC,BC 的中点， 所以MC=2AC= 1 2a cm,CN= BC-b cm. 1 所以MN=CM+CN=2a+2b= b(cm). 所以线段WN的长为宁cm (3)当点C在线段AB的延长线上， 且AB>BC时，画出图形如图所示. 因为M,N分别是线段AC,BC的 中点， 所以MC=号AC=acm,CN= BC-b cm. 所以MN=CM-CN=a-26 &2m. 所以线段MN的长为 2 cm. A M B N C (第13题) 2角 第1课时角 1.A解析：角由两条具有公共端，点 的射线组成，故①②错误.角的边是射 线，不存在延长线，故③错误.角可以 看成是由一条射线绕着它的端点旋转 而形成的图形，故④正确.综上所述， 正确的个数是1. 2.C3.(1)360.6(2)156 9360 4.105°解析：由钟面上一大格是 30°，时针每分钟转0.5°，得9点30分 钟面角的度数为30°×3+30×0.5° 90°+15°=105° 5.(1)以B为顶点的角有3个，分别 是∠ABD(或∠ABE),∠ABC, ∠DBC(或∠EBC). (2)以射线BA为边的角有2个，分 别是∠ABD(或∠ABE)和∠ABC. (3)以D为顶点，DC为一边的锐角 有1个，是∠CDE. 6.C 7.D解析：63.5=63°+(0.5× 60)′=63°30'，故选项A错误； 2312'36”=23°+(12÷60)°+(36÷ 3600)°=23.21°，故选项B错误； 1818'18"=18°+(18÷60)°+(18÷ 3600)°=18.305°，故选项C错误： 24 22.25°=22°+(0.25×60)′=22°15， 故选项D正确， 一方法归纳 角的单位的换算方法 度、分、秒是60进制，即1°= 60',1'=60”,这与时间的进制是一 样的，度、分、秒的互化完全按时间 中时、分、秒的互化方法来进行. ×6g 度、分、秒转化的方法如下：度 ÷60 X6秒.度、分、秒相互转化时，由 分÷60 度转化为分、秒时用乘法，由分、秒 转化为度时用除法.转化一般是逐 级进行，“越级”转化容易出错，而 且要熟记它们之间的换算关系， 秒、分位上每满60向上一级单位 进1. 8.D解析：∠1=5.2×60=312'= ∠2，∠3=18720”÷60=312=∠2， 所以∠1=∠2=∠3. 9.北偏东65°解析：因为城市A在 城市C的南偏西30°方向上，且 ∠ACB=145°，所以城市B在城市C 的北偏东[90°-(145°-30°-90)]= 65°方向上. 10.(1)10nn-1D 2 解析：若在一 条直线上有5个点，则这条直线上一 共有必4=10（条）线段，若在一条直 线上有n个点，则这条直线上一共有 n(n一1D条线段. 2 (2)6 (n+1)(n+2) 解析：若在一 2 个锐角∠AOB内部画2条射线OC, OD,则这个图形中共有1+2+3= 6(个)角：若在一个锐角∠AOB内部 画n条射线，则这个图形中共有1十 2+3+…+n+(n+1)= m十1D十2个角. 2 11.如图，点P即为公园的位置. 北 学校 ·东 60s 公园 超市 (第11题) 12.(1)30:1800. (2)①根据题意，得6.x-0.5.x= 5×30, 解得=27品 所以分针与时针重合时x的值为 2品 ②当分针没有超过时针时， 夹角为(0.5x+5×30-6.x)°= (150-5.5x)°： 当分针超过了时针时， 夹角为(6.x-5×30-0.5.x)°= (5.5.x-150)° 综上所述，时针与分针的较小的夹角 为(150-5.5.x)或(5.5x-150). (3)设小明开始写作业的时间是 17点a分. 根据题意，得150-5.5a=90,解得 120 111 设小明写完作业的时间是17点b分. 根据题意，得5.5b一150=90，解得 6把 增分 所以小明做作业用了曾分。 第2课时角的比较 1.A解析：如图，可得∠1在∠2的 内部，所以∠1<∠2. (第1题) 2.150 3.因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠COD=2∠AOC, 因为OE是∠BOC的平分线， 1 所以∠EOC=2∠BOC, 所以∠cOD+∠POC=?∠A0C+ 含∠BOC,即∠DOE=3∠A0B 90° 因为∠AOE=162°， 所以∠AOD=∠AOE-∠DOE= 72. 所以∠BOD=180°-∠AOD=108°. 4.如图，∠AOB即为所求作 (第4题) 5.C解析：①因为∠AOB= ∠COD=90°，所以∠AC0C=90° ∠BOC,∠BOD=90°-∠BOC.所以 ∠AOC=∠BOD.故①正确.②只有 当OC,OB分别为∠AOB和∠COD 的平分线时，∠AOC+∠BOD=90°， 故②错误.③因为∠AOB ∠COD=90°，OC平分∠AOB,所以 ∠AOC=∠COB=45°，则∠BOD= 90°-45°=45°.所以OB平分∠COD. 故③正确.④因为∠AOB ∠COD=90°，∠AOC=∠BOD,所以 ∠AOD的平分线与∠COB的平分线 是同一条射线.故④正确.综上所述， 正确的有3个 6.A解析：因为OD是∠AOC的平 25 分线，∠COD=25°，所以∠AOC= 2∠COD=50°.因为OC是∠AOB的 平分线，所以∠AOB=2∠AOC= 100. 7.40°或60°解析：如图①，当射线 OC在∠AOB的内部时，因为∠AOB= 100°，∠AOC=20°，所以∠BOC= ∠AOB-∠AOC=80°.因为OM是 ∠BOC的平分线，所以∠BOM= 2∠B0C=40.如图②，当射线0C 1 在∠AOB的外部时，因为∠AOB= 100°，∠AOC=20°，所以∠BOC= ∠AOB+∠ACC=120°.因为OM是 ∠BOC的平分线，所以∠BOM= 号∠0C=60,踪上所述，∠OM 的度数为40或60°， A ① 0 B ② (第7题) 易错警示 位置不确定时，注意分类讨论 我们在解决与线段、角有关的 问题时，若题目设没有给出确定的图 形，点或线段相对于其他的点或线 段的位置不确定，则要依题意画出 所有可能出现的图形，进行分类讨 论，以避免解答不全， 8.北偏西65°解析：因为∠AON= 50°，所以∠AOM=180°-∠AON= 130°.因为OB平分∠AOM,所以 ∠BOM= 号∠A0M=-6际，所以客轮 B相对货轮O的方位是北偏西65° 9.14145解析：因为∠AOB= ∠COD=90°，所以∠AOB十 ∠AOD+∠AOC=180°，即∠BOD+ ∠AOC=180°.所以∠BOD=180° ∠A0℃=180°-3815′=14145′ 10.(1)因为∠AOB=130°， ∠AOD=50, 所以∠BOD=80°. 因为OC平分∠AOD, 所以∠COD= 2 ∠AOD=25° 所以∠BOC=∠BOD+∠COD= 80°+25°=105° (2)OE平分∠BOC. 理由：因为∠DOE=27.5°， 所以∠COE=∠COD+∠DOE= 25°+27.5°=52.5. 所以∠COE-号∠B0C. 所以OE平分∠BOC. 11.(1)26°.解析：因为∠AOB= 180°，∠AO℃=52°，所以∠BOC= ∠AOB-∠AOC=128°.因为射线 OE平分∠BOC,所以∠COE= 2∠B0C=6所以∠DOE ∠COD-∠C0E=90°-64°=26°. (2)①因为射线OE平分∠BOC, 所以∠COE=∠BOE=25. 所以∠BOC=∠BOE+∠COE= 50°. 因为∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠AOC=130°. 因为∠COD=90°， 所以∠DOE=∠COD-∠COE= 65°. 所以∠AOC,∠DOE的度数分别为 130°，65. ②∠AOC=2∠DOE 理由：因为射线OE平分∠BOC, 所以∠BOE=∠COE=a. 所以∠BOC=∠BOE+∠COE=2a 因为∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠AOC=180°-∠BOC= 180°-2a. 又因为∠COD=90°，即∠DOE+ ∠COE=90°， 所以∠DOE=90°-∠COE=90°-a. 所以∠AOC=2(90°-a)=2∠DOE. 12.(1)因为∠AOB=90°，∠BOC= 60°， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC= 150°. 因为OM是∠AOC的平分线，ON是 ∠BOC的平分线， 1 所以∠M0C=2∠A0C=75, ∠N0C=7∠B0C=30 所以∠MON=∠MOC一∠NOC= 45 .1 (2)∠M0N=2a. 理由：因为∠AOB=a,∠BOC=60°， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=a+ 60° 因为OM是∠AOC的平分线，ON是 ∠BOC的平分线， 1 所以∠MOC=2∠AOC= 2a+ 30°，∠N0C=2∠B0C=30°： 所以∠MON=∠MOC-∠NOC= +80-30=7a. 1 (3)∠MON与α之间有数量关系， ∠MON=2a,∠MON与B之间没 有数量关系. 理由：因为∠AOB=a,∠BOC=B, 所以∠AOC=a十B. 因为OM是∠AOC的平分线，ON是 ∠BOC的平分线， 所以∠MOC= 2∠A0c=(a+ 26 B,∠0C=2∠B0C=7A 所以∠MON=∠MOC-∠NOC= 1 2a+9)-78=2a. 1 1 所以∠MON=2a,∠MON与B之 间没有数量关系。 专题特训八与线段、角 有关的计算 1.(1)因为CQ=2AQ,CP=2BP, 所以cQ=号AC.CP-号C 所以PQ=CQ+CP=号AC+ 3 号=号(AC+BC)=号AB= 3m. (2)成立 理由：因为CQ=2AQ,CP=2BP, 所以c0-号AC,CP=号C 所以PQ=CP-CQ=号BC 号AC=号(BC-AC)= AB 3n. 2.如图所示. 因为AB=1厘米，AD=2厘米， 所以BD=AD十AB=3厘米. 因为O是线段BD的中点， 所以0B=号BD=1.5厘米 所以OC=OB+BC=1.5+1.5= 3(厘米). 所以线段OC的长为3厘米. D OAB (第2题) 3.因为AC:CD:DB=1:2:3, AB=24 cm, 所以AC=4cm,CD=8cm,DB= 12cm. 因为M,N分别为AC,DB的中点，