第四章 1 线段、射线、直线-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

第四章 基本平面图形 1线段、射线、直线 ☑基础进阶 4.如图，点C,D在线段AB上，AB=48mm, 1.如图，下列几何图形与相应语言描述相符 且D为线段BC的中点，CD=l8mm.求线 的是 ( 段BC和线段AD的长. CDP D D B C/ (第4题)》 CA B A CBAB大AB ① ② ③ (第1题) A.如图①，延长线段AB到点C B.如图②，点B在射线CA上 C.如图③，直线AB的延长线与直线CD的 延长线相交于点P 《幻素能攀升 D.如图④，射线CD和线段AB没有交点 5.已知线段AB=12cm,C是直线AB上一点， 2.(2024·吉林)如图，从长春站去往胜利公园， BC=4cm,M是线段AB的中点，N是线段 与其他道路相比，走人民大街路程最近，其蕴 BC的中点，则线段MN的长是 () 含的数学道理是 A.4cm B.6 cm 长春站 C.5cm或8cm D.4cm或8cm 民大街 6.已知线段AB=9,C是线段AB的中点，D是 线段AB的三等分点，则C,D两点间的距 胜利公园 离为 () (第2题) A.3 B.1.5C.1.2D.1 3.如图，在平面内有A,B,C三点 (1)画直线AB,射线AC,线段BC. 7.新考法·操作实践题如图，在操作课上，同学 们按老师的要求操作：①作射线AM;②在 (2)在线段BC上任取一点D(不与点B,C 射线AM上顺次截取AC=CD=a;③在射 重合)，连接AD,并延长AD至点E,使 线DM上截取DE=b;④在线段EA上截 DE-AD. 取EB=c,发现点B在线段CD上.由操作 (3)数一数，此时图中共有多少条线段？多 可知，线段AB的长为 () 少条射线？ B BD (第7题) A.a十b-c B.a+b+c C· (第3题) C.2a+b+c D.2a+b-c 8.新考法·新定义圆如图①，点C在线 段AB上，图中共有三条线段AB, AC和BC,若其中有一条线段的长 68 第四章基本平面图形 度是另外一条线段长度的2倍，则称C是线12.如图，A,B,C,D四点在同一条直线上. 段AB的“巧点” (1)若AB=CD (1)一条线段的中点 这条线段的 ①比较线段的长短：AC BD(填 “巧点”（填“是”或“不是”） “>”“<”或“=”)： (2)如图②，若AB=12cm,C是线段AB的 ②若5C-AC,且AC-12em,则线段 “巧点”，则AC= cm. AD的长为 cm. ① ② (2)若AB:BC:CD=3:4:5,且线段 (第8题) AB的中点M和线段CD的中点N之间的 9.*如图，3条直线两两相交最多有3个交点， 距离是16cm,求线段AD的长 4条直线两两相交最多有6个交点.按照 这样的规律，20条直线两两相交最多有 C D (第12题) 个交点 (第9题) 10.如图，A,B,C三棵树在同一条直线上，若小 明正好站在线段AC的中点Q处，BC= 思维拓展 2BQ. 13.已知M,N分别是线段AC,BC的 (1)AQ= AC,AQ- 中点 BC= (1)如图，点C在线段AB上，且 (2)若BQ=3米，求AC的长， AC=9cm,BC=6cm,求线段MN的长. (2)若C为线段AB上任意一点，且AC acm,BC=bcm,用含a,b的代数式表示线 段MN的长 (第10题) (3)若点C在线段AB的延长线上，且 AB>BC,AC=acm,BC=bcm,请画出图 形，并用含a,b的代数式表示线段MN 的长 11.如图，给出线段a,b,c.用圆规和直尺画一 A CN B (第13题) 条线段，使线段的长度为a+c一2b: L (第11题) 69100)=(160x+34000)元 方案二：(100×500+160x)×80%= (128x+40000)元. (3)当x=300时， ①按方案一购买的费用：500×100+ 160×(300-100)=82000(元). ②按方案二购买的费用：(100× 500+160×300)×80%=78400(元). ③先按方案一购买100张办公桌，同 时送100把椅子，再按方案二购买 200把椅子的费用：100×500+160× 200×80%=75600(元). 因为82000>78400>75600， 所以先按方案一购买100张办公桌， 同时送100把椅子，再按方案二购买 200把椅子最省钱. 第四章基本平面图形 1线段、射线、直线 1.D2.两点之间线段最短 3.(1)如图，直线AB,射线AC,线段 BC即为所求作， (2)如图，线段AD和线段DE即为 所求作（画法不唯一）. (3)图中共有8条线段，6条射线 B D C (第3题) 4.因为D为线段BC的中点，CD 18 mm, 所以BC=2CD=2×18=36(mm) 因为AB=48mm, 所以AC=AB-BC=48-36= 12(mm), 所以AD=AC+CD=12+18= 30(mm). 所以线段BC的长为36mm,线段 AD的长为30mm. 5.D解析：因为M是AB的中点， V是BC的中点，所以MB=2AB- 合×12=6(em.NB=2x=2× 4=2(cm).①如图①，当点C在线段 AB上时，MN=MB-NB=6-2= 4(cm).②如图②，当，点C在线段AB 的延长线上时，MN=MB十NB= 6+2=8(cm).综上所述，线段MN的 长是4cm或8cm. A M C N B ① M B N C ② (第5题) 6.B解析：如图，因为C是线段AB 的中点，AB=9,所以AC=BC= AB=4.5.当D是线段AB的三等 1 分点，点D在线段BC上时，BD= 合AB=3,所以CD=45-3=1.5 当D是线段AB的三等分点，点D 在线段AC上时，AD=子AB=3,所 以CD'=4.5-3=1.5.综上所述，C, D两点间的距离为1.5. A D'CD B (第6题) 7.D解析：AB=AC+CD+DE EB=a+a+b-c=2a+b-c. 8.(1)是解析：因为点C在线段 AB上，C为线段AB的中点，所以 AB=2AC.所以C是线段AB的 “巧点”. (2)4或6或8解析：因为AB= 12cm,C是线段AB的“巧，点”，所以 若点C在中点的左边，则AC=12× 3=4(cm):若点C在中点上，则 AC=122=6(cm):若点C在中点 的右边，则AC=12×号=8(cm).综 3 上所述，AC的长为4cm或6cm或 23 8 cm. 9.190解析：由题意，可得出规律： n条直线两两相交最多有”。业个 2 交点.所以20条直线两两相交最多有 190个交点 一方法归纳 两个要素确定一个基本 图形问题的通用结论 因为两点确定一条直线，两点 确定一条线段，两条直线相交有 个交点…所以在数学本质上，它 们可以转化为一类问题，即每两个 要素确定一个基本图形（或一个组 合)的问题.解决这类问题的通用 结论：若有n个要素，则最多组成 的基本图形（或组合）的个数为 n(n-1) 2 在实际生活中，有许多问 题可转化为这种类型的问题，如每 两人握一次手的握手次数问题，每 两支球队打一场比赛的比赛场次 问题，每两个站，点间一种票价的票 价问题等」 10.1)CQ:7:BQ. (2)因为BQ=3米，BC=2BQ, 所以BC=2BQ=6米. 所以CQ=BC+BQ=6+3=9(米). 因为Q是AC的中点， 所以AQ=CQ=9米， 所以AC=AQ+CQ=9+9=18(米). 所以AC的长是18米. 11.如图，画一条射线，依次截取 AB=a,BC=c,然后在线段AC上截 取CD=2b,则线段AD=a+c一2b, 即为所求作。 A BD (第11题) 12.(1)①=. 解析：因为AB= CD,所以AB+BC=CD+BC,即 AC=BD. ②1i,解析：因为5C=子AC,且 AC=12em,所以BC=子×12= 9(cm).所以AB=CD=AC-BC= 12-9=3(cm).所以AD=AC+ CD=12+3=15(cm). (2)根据题意，设AB=3.xcm,则 BC=4x cm,CD =5x cm,AD= 12x cm. 因为M是线段AB的中，点，N是线段 CD的中点， 所以AM=BM= 3 cm,CN DN=多：cm 又因为MN=16cm, 所以号x十红+号=16，解得 x=2. 所以AD=12X2=24(cm). 所以线段AD的长为24cm 13.(1)因为AC=9cm,M是线段 AC的中点， 所以CM=之AC=4.5em 同理，得CN=2C=3cm 所以MN=CM+CN=7.5cm. 所以线段MN的长为7.5cm. (2)因为M,N分别是线段AC,BC 的中点， 所以MC=2AC= 1 2a cm,CN= BC-b cm. 1 所以MN=CM+CN=2a+2b= b(cm). 所以线段WN的长为宁cm (3)当点C在线段AB的延长线上， 且AB>BC时，画出图形如图所示. 因为M,N分别是线段AC,BC的 中点， 所以MC=号AC=acm,CN= BC-b cm. 所以MN=CM-CN=a-26 &2m. 所以线段MN的长为 2 cm. A M B N C (第13题) 2角 第1课时角 1.A解析：角由两条具有公共端，点 的射线组成，故①②错误.角的边是射 线，不存在延长线，故③错误.角可以 看成是由一条射线绕着它的端点旋转 而形成的图形，故④正确.综上所述， 正确的个数是1. 2.C3.(1)360.6(2)156 9360 4.105°解析：由钟面上一大格是 30°，时针每分钟转0.5°，得9点30分 钟面角的度数为30°×3+30×0.5° 90°+15°=105° 5.(1)以B为顶点的角有3个，分别 是∠ABD(或∠ABE),∠ABC, ∠DBC(或∠EBC). (2)以射线BA为边的角有2个，分 别是∠ABD(或∠ABE)和∠ABC. (3)以D为顶点，DC为一边的锐角 有1个，是∠CDE. 6.C 7.D解析：63.5=63°+(0.5× 60)′=63°30'，故选项A错误； 2312'36”=23°+(12÷60)°+(36÷ 3600)°=23.21°，故选项B错误； 1818'18"=18°+(18÷60)°+(18÷ 3600)°=18.305°，故选项C错误： 24 22.25°=22°+(0.25×60)′=22°15， 故选项D正确， 一方法归纳 角的单位的换算方法 度、分、秒是60进制，即1°= 60',1'=60”,这与时间的进制是一 样的，度、分、秒的互化完全按时间 中时、分、秒的互化方法来进行. ×6g 度、分、秒转化的方法如下：度 ÷60 X6秒.度、分、秒相互转化时，由 分÷60 度转化为分、秒时用乘法，由分、秒 转化为度时用除法.转化一般是逐 级进行，“越级”转化容易出错，而 且要熟记它们之间的换算关系， 秒、分位上每满60向上一级单位 进1. 8.D解析：∠1=5.2×60=312'= ∠2，∠3=18720”÷60=312=∠2， 所以∠1=∠2=∠3. 9.北偏东65°解析：因为城市A在 城市C的南偏西30°方向上，且 ∠ACB=145°，所以城市B在城市C 的北偏东[90°-(145°-30°-90)]= 65°方向上. 10.(1)10nn-1D 2 解析：若在一 条直线上有5个点，则这条直线上一 共有必4=10（条）线段，若在一条直 线上有n个点，则这条直线上一共有 n(n一1D条线段. 2 (2)6 (n+1)(n+2) 解析：若在一 2 个锐角∠AOB内部画2条射线OC, OD,则这个图形中共有1+2+3= 6(个)角：若在一个锐角∠AOB内部 画n条射线，则这个图形中共有1十 2+3+…+n+(n+1)= m十1D十2个角. 2