第01讲 线段、射线、直线（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学衔接（北师大版2024）

第01讲 线段、射线、直线（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 直线、线段、射线的数量问题 典型例题二 直线、射线、线段的联系与区别 典型例题三 两点确定一条直线 典型例题四 线段的和与差 典型例题五 线段中点的有关计算 典型例题六 线段n等分点的有关计算 典型例题七 线段之间的数量关系 典型例题八 两点之间线段最短 典型例题九 两点间的距离 典型例题十 作线段(尺规作图) 典型例题十一 与线段有关的动点问题 知识点01 线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）由曹县站始发，终点到达济南站的某一班次列车，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——嘉祥——济宁——兖州——泰山．那么要为这一班次列车制作的单程车票为（   ） A．6种 B．15种 C．21种 D．28种 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、线段、射线等知识点，理解单程票的定义是解题的关键． 设曹县—菏泽—嘉祥—济宁—兖州—泰山—济南七站分别用A、B、C、D、E、F、G表示，数出利用上述五点为端点的线段条数即可． 【详解】解：设曹县—菏泽—嘉祥—济宁—兖州—泰山—济南七站分别用A、B、C、D、E、F、G表示， 则共有线段：、共21条， ∴要为这次列车制作的单程火车票21种． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，图中线段共有 条． 【答案】 【分析】根据线段和直线的性质，熟练掌握线段和直线的性质是解题的关键； 根据图形结合线段的性质求解即可； 【详解】本图中的线段有：，，，，，，共条线段； 故答案为： 知识点02 画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据图形观察分析得出. 【详解】、错误，图中； 、错误，图中； 、错误，图中； 、正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了尺规作图的应用，解题的关键是明确作一条线段等于已知的线段的方法. 【即时训练】 2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 【答案】10 【分析】本题是探索规律题，考查了直线、射线、线段，不在同一条直线上的五个点有三种不同的关系：①有四个点在同一条直线上；②有三个点在同一条直线上；③五个点中任意三个点都不在同一条直线上．熟练掌握分类讨论思想的运用是关键． 【详解】解：如图， ①有四个点在同一条直线上； 故最多可画5条； ②有三个点在同一条直线上； 故最多可画8条； ③五个点中任意三个点都不在同一条直线上； 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条，所以最多能得到10条直线． 故答案为10 知识点03 线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东江门·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的中点、线段的和与差，解决本题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．根据点，分别是，的中点，分别求出和的长度，然后再根据点，的位置关系求解即可． 【详解】解：当点在线段上时， 如下图所示： 点是的中点， ， 又， ， 又点是的中点， ， 又， ， 又， ； 点在线段延长线上时， 如下图所示： 同理可求出，， 又， ； 综合所述：的长度为或． 故选：D ． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点是线段的中点，点分线段的长度为．已知厘米，则的长为 厘米． 【答案】35或21 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的比和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握中点的性质和根据是线段中点和点D分线段的比例关系，分情况分类讨论． 先根据点是线段的中点以及点分线段的长度比，求出与的关系，进而求出的长度，最后根据与的关系求出答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点分线段的长度为． 如图：当时， ∴此时占的，即， ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米） 当时， 如图所示； 此时占的，即． ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米） 故答案为35或21． 【典型例题一 直线、线段、射线的数量问题】 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）一张纸上的5个点可以连成（    ）条线段 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了线段数量问题，个点连成线段的条数：（条），据此解答即可． 【详解】解：如图 （条）， 个点可以连成条线段． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，点P沿直线l从左向右移动，当点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中有线段、、、、、，共6条线段， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 【答案】 45种 90种 【分析】本题考查了线段数量的问题，掌握线段的计数方法是解题的关键．先求出线段的条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，即可求解． 【详解】解：根据题意，相当于一条直线上有10个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：(种)． 故答案为：45种； 有多少种车票是要考虑顺序的，则有(种)． 故答案为：90种． 1．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）如图，图中的线段、射线、直线的条数分别为（   ） A．5条、6条、1条 B．8条、10条、1条 C．8条、4条、1条 D．6条、2条、1条 【答案】B 【分析】本题考查的是直线、射线和线段的含义以及它们的计数方法，理解直线、射线和线段的含义是解题的关键．根据直线、射线、线段的含义：“线段有2个端点；射线有一个端点；直线无端点．”结合它们的计数方法求解，即可解题． 【详解】解：由图知，图中的线段有，，，，，，，共8条； 图中的射线有，，，，，，，，，共10条； 图中的直线有共1条； 故选：B． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·开学考试）如果平面上有个点 ，且没有个点在同一条直线上，那么经过这些点最多可以画 条直线．(用含的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，正确作图并仔细观察，得出相应的规律是解题关键．从基本图形开始画，比较每一次比上一次增加了多少条直线，探索点的个数与直线条数的规律． 【详解】解：经过个点最多可以画条直线， 经过个点（不在一条直线上），最多可以画条直线， 经过个点（其中任意个点不在一条直线上），最多可以画条直线， 经过个点（其中任意个点都不在一条直线上），那么经过这个点中的任意两点画直线， 最多可以画条直线． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点B是线段上一点，且，．点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 【答案】(1)6 (2)6 【分析】本题考查了线段定义，两点间的距离，掌握线段定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据线段定义解答即可； （2）根据已知，由，根据点O是线段的中点，即可求出的长，再根据进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：观察图形可知，线段有：，共6条． 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图： ①作直线； ②作射线交直线于点E； ③连接，交于点F； （2）图中共有______条线段； （3）若图中F是的一个三等分点，，已知线段上所有线段之和为12，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）（3） 【分析】本题考查直线、射线、线段作图，线段的数量，线段的和差，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）①根据直线概念作图即可； ②根据射线概念作图即可； ③连接，交于点F即可； （2）根据图形找出里面的线段即可，注意不要漏找，重复找； （3）根据题意得到，，结合线段上所有线段之和为12，推出，进而即可得到． 【详解】解：（1）①所作直线如图所示： ②所作射线交直线于点E如图所示： ③所作线段，交于点F如图所示： （2）由图可知线段有，，，，，，，，，，，共条， 故答案为：． （3）因为图中F是的一个三等分点，， 所以，， 因为线段上所有线段之和为12， 所以， 解得， 所以． 【典型例题二 直线、射线、线段的联系与区别】 【例1】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，下列给出的直线，射线，线段中能相交的是（   ） A．a与b B．c与d C．b与d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线和线段，根据射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸即可判断求解，掌握直线、射线和线段的特征是解题的关键． 【详解】解：∵射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸， ∴能相交的是与， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·四川成都·期中）图中射线与表示同一条射线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了射线，根据射线的端点相同，方向相同的两条射线是同一条射线，可得答案． 【详解】解：A、方向相反，不是同一条射线，故本选项错误； B、端点相同，方向相同，是同一条射线，故本选项正确； C、方向相反，不是同一条射线，故本选项错误； D、方向不同，不是同一条射线，故本选项错误； 故选：B． 【例3】（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义进行判断． 【详解】解：直线是向两个方向无限延伸的，直线和直线是同一条直线，故正确； 线段有两个端点，不延伸，线段和线段是同一条线段，故不正确； 射线有一个端点，向一个方向无限延伸，射线和射线的端点相同，延伸的方向相同，是同一条射线，故正确； 说法正确的有个． 故答案为：． 1．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）关于线段的描述正确的有（    ）． ①线段与线段是同一条线段 ②线段有两个端点 ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线 ④画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查线段和射线的相关定义以及表示方法，根据线段的定义确定①②，根据线段的延长线确定③正确，根据线段的表示方法确定④． 【详解】解：①线段与线段是同一条线段，正确； ②线段有两个端点，正确； ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线，正确； ④画一条线段，原表述错误． 所以描述正确的有①②③，共3个． 故选：C． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）通过画图尝试，我们发现了如下的规律：若在直线上有10个不同的点，则此图中共有 条线段． 图形 直线上点的个数 共有线段条数 2 1 3 3 4 6 5 10 … … … 【答案】45 【分析】根据规律列式计算即可． 【详解】解：由图可知：2个点时：1=1， 3个点时：， 4个点时：， 5个点时：， 10个点时：线段数． 故答案为：45． 【点睛】本题考查直线、射线、线段以及图形的规律，掌握“直线上点的个数”与“共有线段的条数”的变化规律是正确解答的关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？ （2）由此你能得到什么结论？ （3）点和直线有哪些关系？ （4）怎样由一条线段得到一条射线或一条直线？ （5）直线、射线和线段之间有什么区别和联系？ 【答案】（1）无数条，一条；（2）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析 【分析】本题考查直线、射线和线段的特点，直线、射线和线段之间的区别和联系，以及直线的基本事实，解题的关键在于掌握直线、射线和线段的特点． （1）根据题意画出草图，即可回答问题； （2）根据（1）中图形给出结论即可； （3）根据题意画出草图，即可回答问题； （4）根据线段与射线，线段与直线之间联系回答，即可解题； （5）根据线段，射线，直线的特点进行回答，即可解题． 【详解】解：（1）由下图可知， 经过一个点能画无数条直线，经过两个点能画一条直线； （2）经过两点有一条直线，并且只有一条直线； （3）由下图可知， 点和直线的关系为：点在线上，点在线外； （4）把一条线段向一方延伸，或反向延伸便可得到射线， 把一条线段向两方无限延伸便可得到直线； （5）区别：直线没有端点，射线只有1个端点，线段有2个端点， 直线可以向两边无限延伸，射线可以向一边无限延伸，线段不能延伸， 直线不能度量，射线不能度量，线段能度量． 联系：射线和线段都是直线的一部分． 4．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）已知，线段AB．按要求用尺规作图，并回答问题． (1)延长线段AB到点C，使 (2)点D在线段AB上，作射线DM． (3)点N在射线DM上，作直线BN， (4)此图中线段AC上共有几条不同的线段？分别是哪几条？ 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)6条，分别是AD、BD、BC、AB、AC、CD 【分析】（1）以点B为圆心，AB为半径画弧，交AB的延长线于点C即可； （2）在线段AB上任取一点D，作射线DM即可； （3）在射线DM上任取一点N，作直线BN即可； （4）根据线段的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图，线段BC即为所求； （2）解：如图，射线DM即为所求； （3）解：直线BN即为所求； （4）解：线段AC上共有6条不同的线段，分别是AD、BD、BC、AB、AC、CD． 【点睛】此题考查了直线，射线，线段的定义，作图能力，正确理解定义是解题的关键． 【典型例题三 两点确定一条直线】 【例1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）在下列现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短、两点确定一条直线等知识点，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：木匠弹墨线 、打靶瞄准、拉绳插秧均是利用两点确定一条直线； 弯曲公路改直是利用两点之间线段最短； 故选： C． 【例2】（24-25六年级上·陕西咸阳·期末）如图，四辆车在同一车道内行驶，（   ）号车因前车遮挡，司机看不见标有“石家村”的牌子． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查观察的范围，影响观察范围的主要因素有：观察点的高低，观察点的远近，障碍物的移动． 根据题意，连接石家村牌子的最高处与各个车辆的驾驶室，因为前车遮挡，③号车的司机看不到牌子，据此解答． 【详解】解：由分析可知： 四辆车在同一车道内行驶，③号车因前车遮挡，司机看不见标有“石家村”的牌子． 故选：C ． 【例3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，妙妙将一个衣架固定在墙上，她在衣架两端各用一个钉子进行固定．妙妙的操作可用数学原理解释为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，根据公理“两点确定一条直线”来解答即可，解题的关键是正确理解两点确定一条直线． 【详解】因为“两点确定一条直线”， 所以她在衣架两端各用一个钉子进行固定， 故答案为：两点确定一条直线． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分两步走，通过充分性和必要性来具体分析． 【详解】解：分两步，充分性， 设直线经过，， 、 、 、都是整数，， 设：，， 则直线， 当，即时，为整数， 、2、3.....所以直线经过无数个点． 必要性：∵直线经过无数个整点，∴直线必经过两个整点． 故选： C． 【点睛】本题考查两点确定一条直线，掌握本题中的分情况讨论，正确写出解答过程是解题关键． 2．（24-25七年级上·广西贵港·期末）平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直线，则一共可以画出的直线条数是 ． 【答案】15条 【分析】根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他5个点画一条直线，共可以画6×5=30（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果． 【详解】解：因为每个点都可以和其他5个点画一条直线，共可以画6×5=30（条）直线，但互相之间又有重合的直线，所在实际条数为30÷2=15（条）． 故答案为：15条． 【点睛】此题考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键． 3．（23-24七年级上·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二 【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可． 【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二． 故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二． 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）画图题： (1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹． ①画射线； ②连接； ③反向延长至D，使得； ④在直线l上确定点E，使得最小； (2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理． 如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________； 情景二： 同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________． 【答案】(1)①见解析②见解析③见解析④见解析 (2)图见解析，两点之间线段最短；两点确定一条直线 【分析】（1）根据射线、线段、两点之间线段最短即可解决问题； （2）利用两点之间线段最短和两点确定一条直线即可解决问题． 【详解】（1）解：①射线，如图所示； ②线段，如图所示； ③线段如图所示； ④点E即为所求； （2）解：情景一：两点之间线段最短； 如图：线段即为所求； 情景二：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查线段、射线的含义，以及两点之间线段最短和两点确定一条直线，解题的关键是掌握其定义与性质． 【典型例题四 线段的和与差】 【例1】（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，在直线上有，，，四个点，其中，分别是线段和的中点．若，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段中点的相关计算，线段的和差计算，根据线段中点的定义得到，，，然后求解即可． 【详解】∵，点C是的中点 ∴， ∴ ∵点B是的中点 ∴ ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·山西朔州·期末）如图，用圆规比较线段的长短，圆规的两个支腿的夹角不变，其中下列线段比长的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较线段的长短，直接根据图形比较长短即可． 【详解】解：A、线段比短，不符合题意； B、线段与一样长，不符合题意； C、线段比长，符合题意； D、线段比短，不符合题意； 故选C． 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如图，有公共端点B的两条线段组成一条折线，若该折线上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”．已知点Q是折线的“折中点”，且点Q在上，点K为线段的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了两点间的距离，解题关键是理解新定义的含义，正确识别图形，理解线段与线段之间的数量关系． 先根据，点K为线段的中点，求出，从而求出，再根据点Q是折线的“折中点”求出，最后根据求出答案即可． 【详解】解：如图所示： ∵，点K为线段的中点， ∴， ∴， ∵点Q是折线的“折中点”， ∴， ∴， 故答案为：12． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如图，线段，点为线段上一点，，点分别为和的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，由线段的和差可得，由线段中点的定义得，，，进而根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点分别为和的中点， ∴，， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）如图，点C是线段上一点，B为的中点，且，，若点E在直线上，且，则的长为 . 【答案】6或10 【分析】本题考查线段的和差，两点间距离等知识，利用线段中点的定义求出、，进而可得，再分两种情形讨论：当E点在A点左边时；当E点在A点右边时；分别求解即可． 【详解】解：∵点B为的中点，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 分以下两种情况： 当E点在A点左边时， ∵，，， ∴， 当E点在A点右边时， ∵，，， ∴， 综上，或10． 故答案为：6或10． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，，点在线段上，，且点是的中点．    (1)求线段的长； (2)在线段上取一点，使得，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了线段的和与差、中点的定义，解决本题的关键是根据中点的定义和线段的长度之比求出线段的长度． 根据，求出线段的长度，根据中点的定义可知； 根据点是的中点，求出的长度，根据求出的长度，根据可求结果． 【详解】（1）解：，， ， 点是的中点， ； （2）解：是的中点， ， 点在线段上，， ， 又， 可设，， ， 解得：， ， ． 4．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，已知线段是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)如图1，若，分别是，的中点，求的长度； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，线段的和与差： （1）根据中点平分线段以及线段之间的和差关系，求出，即可； （2）根据线段之间的数量关系与和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【典型例题五 线段中点的有关计算】 【例1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）如果点B在线段上，那么下列关系式中：①，②，③，④．能表示B是的中点的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点，根据线段中点的定义，得到，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：，，都能表示B是的中点，不能表示出B是的中点； 故选C． 【例2】（24-25七年级下·北京顺义·期中）如图，线段上有C、D两点，且，C是的中点，若，则线段的长为（   ） A．15 B．10 C．5 D．2.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段之间的关系得到，再由线段中点的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵C是的中点， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，，是的中点，，则线段 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段中点的计算，线段的数量关系．解题的关键在于找出线段的数量关系．由题意知，，，根据求的值，根据求的值，对计算求解即可． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴，， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）点在线段上，，，、分别为线段、的中点，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义可得的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解；∵，，、分别为线段、的中点， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·广西河池·期末）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)求的长（用含a的式子来表示）； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，熟练运用相关的性质认真计算是解题的关键． （1）根据线段中点的意义得到，，再由线段和差得到，即，即可求解； （2）由（1）可知，而，则，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点 ∴， ∵点E是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 由（1）可知， 而， ∴， ∴． 3．（23-24七年级上·广西河池·期末）如图，点B是线段上一点，且． (1)图中共有 条线段； (2)试求出线段的长； (3)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【答案】(1)6 (2)26 (3)7 【分析】本题考查了线段的识别与计算，解题关键是准确识图，明确线段之间的和差关系，正确进行计算； （1）数出所有线段即可； （2）根据求解即可， （3）先求出，再根据线段和差求解即可． 【详解】（1）解：图中共有六条线段， 故答案为：6． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵点O是的中点， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图，已知线段a和线段b，两点A、B． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：作射线，在射线上作线段，，使（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，取的中点D，的中点F，且．求线段的长． 补全下列解题过程． 解：∵， ∴设． ∴ ． ∵F是的中点， ∴ ． ∵D是的中点， ∴ ． ∴ ，则． ∴． 则线段的长为． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，线段的和差计算，直线，射线，线段等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）设,则．根据线段中点的定义得出，，然后根据，解方程即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： 则； （2）解：∵， ∴设． ∴． ∵F是的中点， ∴． ∵D是的中点， ∴． ∴， 则． ∴． 则线段的长为． 故答案为：，，，． 【典型例题六 线段n等分点的有关计算】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排（    ）场比赛． A．182 B．91 C．28 D．14 【答案】B 【分析】首先单循环制是指任何两个选手之间都要比赛一次,也就是如果有个选手,则共有场比赛，据此求解即可． 【详解】七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排场比赛； 故选B 【点睛】本题考查了求两个队伍比赛之间关系，类比线段等分求线段的数量是解题的关键． 【例2】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故选C． 【例3】（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知线段，点为线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段之间的数量关系，分靠近点和靠近点两种情况，进行求解即可． 【详解】解：∵，点为线段的三等分点， ∴或； 故答案为：或． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推． 【答案】 中点 相等 相等 【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键． 【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．     即：如图，若点P是线段AB的中点，     则或 三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推． 故答案为：中点；相等；相等． 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·西藏日喀则·期末）已知：点在同一条直线上，线段，点是线段的三等分点，求线段的长．    【答案】的长为或或或． 【分析】本题考查了线段的和差计算，三等分点的含义，数形结合、分类讨论是解题的关键．本题分四种情况讨论：如图，当在的右边，时，如图，当在的右边，时，如图，当在的左边，时，如图，当在的左边，时，再求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的三等分点， ∴或， 如图，当在的右边，时，    ∵， ∴， 如图，当在的右边，时，    ∴， 如图，当在的左边，时，    ∴， 如图，当在的左边，时，    ∴； 综上：的长为或或或． 【典型例题七 线段之间的数量关系】 【例1】（23-24七年级上·吉林松原·期末）如图，在直线上要找一点C，且使，则点C应（    ） A．在P，Q之间找 B．在点P左边找 C．在点Q右边找 D．在P，Q之间或在点Q右边找 【答案】D 【分析】本题考查了线段之间的数量关系．数形结合确定线段之间的数量关系是解题的关键． 根据题意作图，然后判断即可． 【详解】解：如图， 由图可知，当点C在点P的左边时，．不满足题意． 当点C在P，Q之间时，存在点C，满足． 当点C在点Q右边时，存在点C，满足． 综上所述，点C在P，Q之间或在点Q右边找． 故选：D． 【例2】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）已知线段，在的延长线上取一点，使，再在的延长线上取一点，使，则线段与线段的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的画图和有关计算，属于基础题型，解题的关键是根据题意画出图形，得出相关线段之间的关系． 【详解】解：依据题意画出下图：    由图可知：， ，， ， 即． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如图，点、在线段上，点是的中点，，则 ． 【答案】 【分析】由点是的中点，可得，再根据中点的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此提考查了线段的中点，熟练掌握线段中点的性质是做本题的关键． 【例4】（23-24七年级上·全国·课后作业）为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点落在线段上时， ； （2）当点与点重合时， ； （3）当点落在线段的延长线上时， ． 【答案】 > = < 【分析】（1）正确画出图形，根据图形求解即可； （2）正确画出图形，根据图形求解即可； （3）正确画出图形，根据图形求解即可． 【详解】解：（1）如图，    当点落在线段上时，； （2）如图，    当点与点重合时，； （3）如图，    当点落在线段的延长线上时，． 故答案为：，， 【点睛】本题主要考查了线段比较长短，正确理解题意并画出图形是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（　　） A．18cm B．48cm C．18cm或36cm D．18cm或48cm 【答案】C 【分析】本题考查了线段计算的应用．熟练掌握线段的和差倍分关系，是解题的关键． 设，则，分为两种情况：①当A为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当B为对折点，则剪断后，有长度为x，x，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为12列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ①当A为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； ②当B为对折点，则剪断后，有长度为x，x，， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段和差位分，比的应用，能根据题意分别表示出和及找出和之间的关系是解题的关键． 根据题意，设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为，再用和表示出和，最后根据小正方形的个数为166个找出与之间的关系即可解决问题． 【详解】解：设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为， 所以，． 因为小正方形的个数有166个， 所以，， 所以， 所以， 则． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，比较这两条线段的长短．    【答案】 【分析】此题考查了线段的大小比较，把图中的线段、线段放在一条直线上，使点A和点C重合，点B和点D重合，进而求解即可． 【详解】解：如答图，把图中的线段、线段放在一条直线上，使点A和点C重合，点B和点D重合，    所以． 【典型例题八 两点之间线段最短】 【例1】（2025·吉林长春·模拟预测）一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据两点之间，线段最短即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间，线段最短可知，剩下参叶的周长比原参叶的周长小， 故选：D． 【例2】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间，线段最短．解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 作点A关于直线的对称点，连接，，则线段的长度即为的最小值． 【详解】解：作点A关于直线的对称点， 连接， 则， ∴， 连结， 则线段的长度即为的最小值， 这样做依据的基本事实是：两点之间，线段最短． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）在实际情况中，我们都希望走的路程越短越好，如图，从地到地有三条路径，当然选择笔直的路线．若用数学知识解释，则其理由是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】此题为数学知识的应用，考查知识点是两点之间线段最短．根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接、的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短即可． 【详解】解：解：依题意， 从地到地共有三条路，选择笔直的路线，用数学知识解释为两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【例4】（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，点在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位． 请按下述要求画图并回答问题： (1)作直线，过点作交直线于点； (2)在直线上求作一点，使点到两点的距离之和最小，作图依据是 ； (3)四边形的面积是 ． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，两点之间线段最短； (3)． 【分析】（）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可，根据要求作平行线即可； （）根据题意可知，两点之间，线段最短； （）根据即可求解； 本题考查了作图，三角形的面积，两点之间线段最短，直线，射线，线段的定义等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【详解】（1）根据题意作图： ∴即为所求； （2）如图， 连接交于点，则点即为所求， 根据两点之间线段最短，可知当三点共线时，为最小值， 故答案为：两点之间线段最短； （3）如图， 由， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）如图，已知四点． （1）画直线； （2）画射线； （3）连接并延长到点，使； （4）在线段上取点，使的值最小 以上只要求作出图形，不要求写作法． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义，熟练的画图是解本题的关键； （1）过A，B画直线即可； （2）以A为端点，画过D的射线即可； （3）在线段的延长线上画即可； （4）连接交于P即可． 【详解】解：如图，即为所求： 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置． 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【答案】(1)见解析，理由为：两点之间，线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求，理由为两点之间，线段最短； （2）如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求； 理由为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【典型例题九 两点间的距离】 【例1】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）若点C是线段的中点，，点D在直线上，且，则线段的长为（   ） A．3 B．9 C．6或9 D．3或12 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义得到，分情况讨论：当点D在线段上和当点D在线段得延长线上，根据已知条件得到，的值，于是得到结论． 本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， 当点D在线段上， ∴ ∵， ∴， ∴ 当点D在线段得延长线上， ∴ ∵， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或12， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了两点之间的距离．由题意得，，求得，，，，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当，时，，， 符合题意，此时； 当，时，，， 不符合题意， 综上，k的值是12； 故答案为：12． 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； 故答案为：； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（   ） A．与线段、线段的长度都有关 B．仅与线段的长度有关 C．仅与线段的长度有关 D．与线段、线段的长度无关 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活推理．通过已知的线段比例关系，将用、、等线段表示出来，再进行化简，看其最终与哪些线段长度有关． 【详解】解： 将和用表示， 因为，且， 把代入中， 可得， 那么 ，． 将和用表示由于，且， 把代入中， 可得， 所以 ，． 计算的长度表达式根据线段关系，将 ，代入可得：， 又因为（线段由线段和线段组成）， 所以． 故选：B． 2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）有两根木条，一根木条长为，另一根木条长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成线段，抽象成两个点），将它们的一端和重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．根据题意画图形，分情况讨论即可． 【详解】解：本题有两种情形： （1）当、（或、重合，且剩余两端点在重合点同侧时， ； （2）当、（或、重合，且剩余两端点在重合点两侧时， ． 故两条线段的小圆孔之间的距离是或． 故答案为：或 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，C为线段上一点，点为的中点，且，．      (1)求的长． (2)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)4cm (2)8cm或20cm 【分析】（1）根据线段的和差倍分关系计算即可得到答案； （2）本小问要注意分类讨论，再根据线段的和差计算结果即可； 【详解】（1）解：∵ ∴   ∵点B为的中点， ∴． （2）解：由（1）可知 分一下两种情况讨论： 当点E在线段上时，， 当点E在线段的延长线上时，． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，解题的关键是正确识别图形，理解线段和线段之间的和差倍分的关系． 4．（24-25七年级上·重庆綦江·期末）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案； （2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答； （3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． （2）解：设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AM=BM 故答案为：． （3）解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM， ∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB， ∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴=1,即=． 综上所述＝或 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 【典型例题十 作线段(尺规作图)】 【例1】（24-25七年级上·重庆梁平·期末）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若D恰好为的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的相关知识，若，点D恰好为的中点，则，由此对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵，点D恰好为的中点， ∴， 故C选项错误，不符合题意， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·山西运城·期末）已知线段，以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线与点、，下列说法不正确的是（   ） A．是的中点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的画法及线段的和差，解题关键是根据画图得出相关结论，准确逐项判断即可． 【详解】解：根据画图可知，是的中点，，， 不能判断与是否相等，故D不正确， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    【答案】或 【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：如图，当点在点的左侧， ；    当点在点的右侧， ；    综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意画出图形是解题的关键． 【例4】（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【答案】①③⑤④② 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，⑤在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； ∴正确的顺序是①③⑤④② 故答案为：①③⑤④②． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查画与已知线段相等的线段，关键是根据题意得到所画线段跟已知线段的关系． 先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 【详解】解：如图：先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，先作射线，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，接着以点C为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于D．最后以D为圆心，线段a的长为半径画弧交线段于B，则线段即为所求． 【详解】解：如图所示，线段即为所求； 3．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知平面上有射线，线段和． (1)用尺规完成下列作图：延长线段到D，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中所作图形，若点E是线段的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查作一条线段等于已知线段，线段中点的计算等知识，正确作出图形是解答本题的关键． （1）以B为圆心，为半径画弧交射线于点D，则； （2）首先求出，然后由线段中点的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示 （2）∵， ∴ ∵ 点E是线段的中点 ∴ ∴． 【典型例题十一 与线段有关的动点问题】 【例1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 【例2】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个． 【答案】5 【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出报警， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA， ∵BC和AD中点是同一个， ∴发出警报的点P最多有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是______； （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别表示出AP，CQ，故可求解； （2）根据中点的性质表示出MN，再根据线段的关系得到，故可得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动， 设运动时间为t ∴CP=t，BQ=2t ∴ ∵ ∴设BC=2a，AC=a ∴AP=AC-CP=a-t，CQ=BC-BQ=2a-2t=2（a-t） ∴AP=CQ ∴= 故答案为：； （2）如图，∵M是PQ中点，N是CQ的中点 ∴MQ=，NQ= ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查线段的和差问题，解题的关键是根据中点的性质表示出线段的长． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟 【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟． ∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动， ∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 1．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段的表示，直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线；线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段（或线段）．据此判断即可． 【详解】解：有关线段或者直线的表示方法，正确的是： 故选：C． 2．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．过两点有且只有一条线段 B．两点之间，线段最短 C．连接两点的线段叫做两点的距离 D．，则点是线段的中点 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，两点间距离的概念，线段中点的概念，熟记这些知识是解决此题的关键． 根据线段的性质、两点间距离的概念、线段中点的概念进行判断即可． 【详解】A、过两点有无数条线段，故此选项错误； B、两点之间，线段最短，故此选项正确； C、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故此选项错误； D、当点不在线段上时，点不是线段的中点，故此选项错误； 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】B 【分析】本题考查线段的性质：两点之间，线段最短，由线段的性质即可得到答案． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 4．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． 5．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图2给出的信息进行计算即可． 【详解】解： 由题意可知，折叠凳的内层长为，即， 又∵， ∴， ∴外框宽为， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段和与差的应用，弄清图中线段之间的关系是解题的关键． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出“距离”的定义： ． 【答案】两点之间线段的长度叫作两点之间的距离 【分析】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义．结合所学的数学知识，写出“距离”概念即可． 【详解】解：两点之间线段的长度叫作两点之间的距离， 故答案为：两点之间线段的长度叫作两点之间的距离． 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段，在直线上截取，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分点C在点A左侧和点C在点A右侧两种情况，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当点C在点A左侧时，则， 当点C在点A右侧时，则； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，且，那么线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据中点平分线段，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 9．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点A右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1） ； （2）连续这样操作4次，则 ． 【答案】 32 4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）∵的中点是，的中点是， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：32； （2）同理可得，，． 故答案为：4． 11．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，平面内有，，，四点，利用直尺，按照下面的要求完成作图． (1)连接； (2)作直线； (3)作射线； (4)作出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查的知识点是作图，直线、射线、线段的定义、两点之间线段最短，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据线段的定义画出图形； （2）根据直线的定义画出图形； （3）根据射线的定义画出图形； （4）连接、交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：射线即为所求： （4）解：如图，点即为所求： 12．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，已知线段a、b． (1)用尺规作一条线段，使它等于（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的所做图中，若C是的中点，E是的中点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】1）根据尺规的基本作图，画图即可． （2）根据线段的中点，线段的和差倍分解答即可． 本题考查了线段的基本作图，线段的中点计算，熟练掌握中点，基本作图是解题的关键． 【详解】（1）解：以A为端点画射线，在射线上依次截取a，b，b，最后截得端点为B， 则即为所求． （2）解：如图， ∵C是的中点 ，， ∴ ∵E是的中点， ∴． 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称最短路线问题，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．分别做出点关于的对称点，根据两点之间线段最短画图即可． 【详解】解：分别做出点关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点即为所求点． 14．（24-25六年级下·山东烟台·期中）观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有______条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 【答案】（1）10；（2）；（3）①共握了1275次手；②共送了2550张． 【分析】本题考查了线段数量问题及其应用，有条理思考问题是解题的关键． （1）根据线段的定义求解即可； （2）画图根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （3）①根据上面总结的规律求解即可； ②根据上面总结的规律求解即可． 【详解】解：（1）以A为端点的线段有四条； 以B为端点的且与前面不重复的线段有三条； 以C为端点的且与前面不重复的线段有两条； 以D为端点的且与前面不重复的线段有一条． 图中共有（条）线段． 故答案为：10． （2）如图， 线段上有3个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有4个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有5个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线上有6个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有7个点（包括A，B两点）则线段数为：； …… 线段上有n个点（包括A，B两点）则线段数为： ， 故答案为：； （3）①类比数线段的方法可知：（次） 答：共握了1275次手； ②∵送名片是相互的，类比数线段的方法可知：（张）． 答：共送了2550张． 15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 线段、射线、直线（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 直线、线段、射线的数量问题 典型例题二 直线、射线、线段的联系与区别 典型例题三 两点确定一条直线 典型例题四 线段的和与差 典型例题五 线段中点的有关计算 典型例题六 线段n等分点的有关计算 典型例题七 线段之间的数量关系 典型例题八 两点之间线段最短 典型例题九 两点间的距离 典型例题十 作线段(尺规作图) 典型例题十一 与线段有关的动点问题 知识点01 线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）由曹县站始发，终点到达济南站的某一班次列车，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——嘉祥——济宁——兖州——泰山．那么要为这一班次列车制作的单程车票为（   ） A．6种 B．15种 C．21种 D．28种 【即时训练】 2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，图中线段共有 条． 知识点02 画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【即时训练】 2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 知识点03 线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东江门·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（　　） A． B． C．或 D．或 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点是线段的中点，点分线段的长度为．已知厘米，则的长为 厘米． 【典型例题一 直线、线段、射线的数量问题】 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）一张纸上的5个点可以连成（    ）条线段 A．8 B．9 C．10 D．11 【例2】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，点P沿直线l从左向右移动，当点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例3】（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 1．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）如图，图中的线段、射线、直线的条数分别为（   ） A．5条、6条、1条 B．8条、10条、1条 C．8条、4条、1条 D．6条、2条、1条 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·开学考试）如果平面上有个点 ，且没有个点在同一条直线上，那么经过这些点最多可以画 条直线．(用含的代数式表示) 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点B是线段上一点，且，．点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图： ①作直线； ②作射线交直线于点E； ③连接，交于点F； （2）图中共有______条线段； （3）若图中F是的一个三等分点，，已知线段上所有线段之和为12，求的长． 【典型例题二 直线、射线、线段的联系与区别】 【例1】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，下列给出的直线，射线，线段中能相交的是（   ） A．a与b B．c与d C．b与d D．a与c 【例2】（24-25七年级上·四川成都·期中）图中射线与表示同一条射线的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 1．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）关于线段的描述正确的有（    ）． ①线段与线段是同一条线段 ②线段有两个端点 ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线 ④画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025七年级上·全国·专题练习）通过画图尝试，我们发现了如下的规律：若在直线上有10个不同的点，则此图中共有 条线段． 图形 直线上点的个数 共有线段条数 2 1 3 3 4 6 5 10 … … … 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？ （2）由此你能得到什么结论？ （3）点和直线有哪些关系？ （4）怎样由一条线段得到一条射线或一条直线？ （5）直线、射线和线段之间有什么区别和联系？ 4．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）已知，线段AB．按要求用尺规作图，并回答问题． (1)延长线段AB到点C，使 (2)点D在线段AB上，作射线DM． (3)点N在射线DM上，作直线BN， (4)此图中线段AC上共有几条不同的线段？分别是哪几条？ 【典型例题三 两点确定一条直线】 【例1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）在下列现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25六年级上·陕西咸阳·期末）如图，四辆车在同一车道内行驶，（   ）号车因前车遮挡，司机看不见标有“石家村”的牌子． A．① B．② C．③ D．④ 【例3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，妙妙将一个衣架固定在墙上，她在衣架两端各用一个钉子进行固定．妙妙的操作可用数学原理解释为 ． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25七年级上·广西贵港·期末）平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直线，则一共可以画出的直线条数是 ． 3．（23-24七年级上·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）画图题： (1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹． ①画射线； ②连接； ③反向延长至D，使得； ④在直线l上确定点E，使得最小； (2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理． 如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________； 情景二： 同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________． 【典型例题四 线段的和与差】 【例1】（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，在直线上有，，，四个点，其中，分别是线段和的中点．若，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山西朔州·期末）如图，用圆规比较线段的长短，圆规的两个支腿的夹角不变，其中下列线段比长的是（   ） A．B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如图，有公共端点B的两条线段组成一条折线，若该折线上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”．已知点Q是折线的“折中点”，且点Q在上，点K为线段的中点，若，则线段的长为 ． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如图，线段，点为线段上一点，，点分别为和的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）如图，点C是线段上一点，B为的中点，且，，若点E在直线上，且，则的长为 . 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，，点在线段上，，且点是的中点．    (1)求线段的长； (2)在线段上取一点，使得，求线段的长． 4．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，已知线段是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)如图1，若，分别是，的中点，求的长度； (2)如图2，若，，求的长． 【典型例题五 线段中点的有关计算】 【例1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）如果点B在线段上，那么下列关系式中：①，②，③，④．能表示B是的中点的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级下·北京顺义·期中）如图，线段上有C、D两点，且，C是的中点，若，则线段的长为（   ） A．15 B．10 C．5 D．2.5 【例3】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，，是的中点，，则线段 ． 1． （24-25六年级上·上海·阶段练习）点在线段上，，，、分别为线段、的中点，求的长． 2．（24-25七年级上·广西河池·期末）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)求的长（用含a的式子来表示）； (2)若，求的长． 3．（23-24七年级上·广西河池·期末）如图，点B是线段上一点，且． (1)图中共有 条线段； (2)试求出线段的长； (3)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 4．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图，已知线段a和线段b，两点A、B． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：作射线，在射线上作线段，，使（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，取的中点D，的中点F，且．求线段的长． 补全下列解题过程． 解：∵， ∴设． ∴ ． ∵F是的中点， ∴ ． ∵D是的中点， ∴ ． ∴ ，则． ∴． 则线段的长为． 【典型例题六 线段n等分点的有关计算】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排（    ）场比赛． A．182 B．91 C．28 D．14 【例2】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【例3】（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）已知线段，点为线段的三等分点，则 ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推． 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 3．（23-24七年级上·西藏日喀则·期末）已知：点在同一条直线上，线段，点是线段的三等分点，求线段的长．    【典型例题七 线段之间的数量关系】 【例1】（23-24七年级上·吉林松原·期末）如图，在直线上要找一点C，且使，则点C应（    ） A．在P，Q之间找 B．在点P左边找 C．在点Q右边找 D．在P，Q之间或在点Q右边找 【例2】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）已知线段，在的延长线上取一点，使，再在的延长线上取一点，使，则线段与线段的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如图，点、在线段上，点是的中点，，则 ． 【例4】（23-24七年级上·全国·课后作业）为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点落在线段上时， ； （2）当点与点重合时， ； （3）当点落在线段的延长线上时， ． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（　　） A．18cm B．48cm C．18cm或36cm D．18cm或48cm 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，比较这两条线段的长短．    【典型例题八 两点之间线段最短】 【例1】（2025·吉林长春·模拟预测）一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【例2】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）在实际情况中，我们都希望走的路程越短越好，如图，从地到地有三条路径，当然选择笔直的路线．若用数学知识解释，则其理由是 ． 【例4】（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，点在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位． 请按下述要求画图并回答问题： (1)作直线，过点作交直线于点； (2)在直线上求作一点，使点到两点的距离之和最小，作图依据是 ； (3)四边形的面积是 ． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）如图，已知四点． （1）画直线； （2）画射线； （3）连接并延长到点，使； （4）在线段上取点，使的值最小 以上只要求作出图形，不要求写作法． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【典型例题九 两点间的距离】 【例1】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）若点C是线段的中点，，点D在直线上，且，则线段的长为（   ） A．3 B．9 C．6或9 D．3或12 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 【例3】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（   ） A．与线段、线段的长度都有关 B．仅与线段的长度有关 C．仅与线段的长度有关 D．与线段、线段的长度无关 2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）有两根木条，一根木条长为，另一根木条长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成线段，抽象成两个点），将它们的一端和重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，C为线段上一点，点为的中点，且，．      (1)求的长． (2)若点在直线上，且，求的长． 4．（24-25七年级上·重庆綦江·期末）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【典型例题十 作线段(尺规作图)】 【例1】（24-25七年级上·重庆梁平·期末）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若D恰好为的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山西运城·期末）已知线段，以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线与点、，下列说法不正确的是（   ） A．是的中点 B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    【例4】（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 1． （24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知平面上有射线，线段和． (1)用尺规完成下列作图：延长线段到D，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中所作图形，若点E是线段的中点，，，求线段的长度． 【典型例题十一 与线段有关的动点问题】 【例1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个． 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是______； （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    1．（24-25六年级下·山东济宁·阶段练习）下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．过两点有且只有一条线段 B．两点之间，线段最短 C．连接两点的线段叫做两点的距离 D．，则点是线段的中点 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 4．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 5．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出“距离”的定义： ． 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知线段，在直线上截取，则 ． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，且，那么线段的长为 ． 9．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 10．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1） ； （2）连续这样操作4次，则 ． 11．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，平面内有，，，四点，利用直尺，按照下面的要求完成作图． (1)连接； (2)作直线； (3)作射线； (4)作出点，使的值最小． 12．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，已知线段a、b． (1)用尺规作一条线段，使它等于（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的所做图中，若C是的中点，E是的中点，若，求的值． 13．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 14．（24-25六年级下·山东烟台·期中）观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有______条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$