第三章 3 探索与表达规律-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

3探索与 自基础进阶 1.如图，观察下面的图形和算式：1=1=1,1十 3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7= 16=4,1+3+5+7+9=25=52.用上面得 到的规律计算1+3+5+7+…+103的结 果是 A.2704 9####* 7米#米#* B.2604 5###** 3辛※*** C.2601 1※**** (第1题) D.2519 2.有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组 合而成的，如图所示为一组稠环芳香烃的结 构简式，其中图①是由3个苯环组成的， 图②是由6个苯环组成的…依此规律， 图⑦中苯环的个数为 ccc8 ①② ③ (第2题) A.34 B.35 C.36 D.37 3.(2024·宁夏)观察下列等式，第1个：1×2 2=2×0;第2个：4×3一3=3×1；第3个： 9×4-4=4×2;第4个：16×5-5=52× 3…按照以上规律，第n个等式为 4.小明胸有成竹地对小亮说：“只要你将心中所 想的数加上2，乘10，再减去19，最后告诉我 结果，我就能知道你所想的数是多少.”小亮 不相信，就与小明试了几次，结果发现小明说 的数都是对的.你知道这是为什么吗？ 第三章整式及其加减 表达规律 ●“答案与解析”见P21 《司素能攀升 5.如图，填在各个格子中的三个数之间均具有 相同的规律，根据此规律，n的值是( ) 1 3 5 m 23 15 635 8n (第5题) A.48 B.56 C.63 D.74 6.如图，将图①中的正方形剪开得到图②，图 ②中共有4个正方形；将图②中的一个正方 形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将 图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共 有10个正方形…如此下去，第@个图中 共有25个正方形，则n的值为 ① ② ③ ④ (第6题) A.8 B.9 C.10 D.11 7.如图，小雅在数学活动课上用长方形设计了 一组有规律的图形，已知图①中有8个白色 长方形，图②中有12个白色长方形，图③中 有16个白色长方形…按照这一规律，第⑦ 个图中有 个白色长方形（用含n的 代数式表示). ① ② ③ (第7题) 8.观察等式：2+2=23一2,2+2+23=24一2， 2十2+23+24=2一2，….按此规律，2+ 22+23+…+2”= (用含n的 代数式表示).请根据以上规律计算：2十 2101+2102+…+219= 63 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 9.*如图所示的各图形是由大小相同的三角形 摆放而成的，第1个图形中有1个三角形，第 2个图形中有5个三角形，第3个图形中有 11个三角形，第4个图形中有19个三角 形…按此规律，第n个图形中三角形的个 数是 △△△ △△ △△△△ △△△△△△△ △△△△ △ △△△△△△△△△ 第1个第2个第3个 第4个 (第9题) 10.如图，小明在他家的时钟上安装了 一个电脑软件，设定当钟声在n时 响起后，下次则在(2m一1)h后响 起，例如钟声第1次在3时响起，那么第 2次在2X3一1=5(h)后，即8时响起；第 3次在2×8一1=15(h)后，即23时响起，以 此类推.现在第1次钟声响起为1时，那么 第3次响起为几时，第2025次响起为几时？ (第10题) 11.学习“整式及其加减”后，在一次数学活动 中，丽丽对悠悠说：“你在心里想好一个两位 数，将个位上的数字乘5，然后减3得到一个 新数，再将所得新数乘2，最后将得到的数 加十位上的数字，把你的结果告诉我，我就 知道你心里想的两位数.” (1)如果悠悠的计算结果是21，那么丽丽的 答案是 64 (2)通过两人的对话，你能说明其中的原理 吗？请你用多项式的相关知识说明， 节思维拓展 2.如图，观察下列由连续的正整数组 成的宝塔形等式， (1)第6层等号右侧的第一个数是 ,第n层等号右侧的第一个数是 (用含n的代数式表示，n是正 整数). (2)数2023排在第几层？ (3)求第99层等号右侧最后三个数的和. 第1层 1+2=3 第2层 4+5+6=7+8 第3层 9+10+11+12=13+14+15 第4层16+17+18+19+20=21+22+23+24 (第12题)专题特训七与整式化简 相关的说理问题 1.因为原式=号2-32-3wy十 + 2 32+3y+y2=y, 所以结果与x的取值无关 所以虽然小明在抄题时，把“x= 一子“结抄成“x子，但他计算的结 果依然是正确的. 2.小明的说法正确， 原式=3a2b-2ab2+3a-4a2b+ 6a+2ab2+a2b-1=9a-1. 因为9a一1与b的取值无关 所以这道题不给b的值，照样可以求 出结果。 当a=一2时，原式=一18一1=一19. 3.由题意，得二号m2+3m-5 (-4m2+3m-6)= 2m2+3m 3 5 5+4m2-3m+6=2m2+1. 因为号m2+1>0. 所以对任意有理数m,一 3 2m2+ 3m-5>-4m2+3m-6. 4.(1)因为长方形的长为(6a一2b+ 24)米，宽为(b-3a+3)米， 所以(6a-2b+24)-(b一3a+3)= 6a-2b+24-b+3a-3=(9a-3b+ 21)米. 所以这个苗圃的长比宽多(9a一3b十 21)米 (2)该苗圃的建造总价不随a,b的取 值而变化 因为竹篱笆的总长为(6a一2b+ 24)+2(b-3a+3)=6a-2b+24+ 2b-6a+6=30(米)， 所以竹篱笆的总长与a,b的取值 无关 所以建造总价与a,b的取值无关， 因为竹篱笆的价格为每米8元， 所以该苗圃的建造总价为30×8 240(元) 3探索与表达规律 1.A解析：由图形和算式规律，得 103+1=52,所以1+3十5+7+…+ 2 103=522=2704. 2.C 3.n2×(n+1)一(n+1)=(n+1)2× (n-1) 4.设小亮所想的数为x,则10(x+ 2)-19=10x+20-19=10x+1. 所以小明只要将小亮告诉他的最后结 果先减去1，然后除以10，所得的数就 是小亮所想的数. 5.C解析：从格于上面的数1,3,5， 可以推出m=7.第一个格子中：3= 1×2+1:第二个格子中：15=3×4+ 3:第三个格子中：35=5×6+5.所以 第四个格子中：n=7×8+7=63, 6.B 7.(4n十4)解析：因为题图①中有 4×(1+2)-4=8(个)白色长方形，题 图②中有4×(2+2)一4=12（个）白 色长方形，题图③中有4×(3+2) 4=16(个)白色长方形，…，所以第⑦ 个图中有4×(n+2)-4=(4n+4)个 白色长方形 8.2+1一220-20解析：由题 意，得2+22+23+…+2”=2+1-2. 所以2100+210+2102+…+219明= (2+22+…+219)一(2十22十…十 299)=(220-2)-(210-2)= 2200-2100」 9.n2十n一1解析：观察题图中三角 形的个数与图形的序号之间的关系， 有如下规律：第1个图形中三角形的 个数是1+0：第2个图形中三角形 的个数是22+1：第3个图形中三角 21 形的个数是32+2：第4个图形中三 角形的个数是42十3…所以第n个 图形中三角形的个数是n2十1一1. 一方法归纳 规律探索题的类型及解题方法 规律探索题通常分为两类：一 是数式规律探索题，二是图形规律 探索题.解题的关键是从特殊到一 般，得到一般规律，并能用含有序 号的算式表示出来，进而解决问 题.注意有时得到的变化规律不一 定正确，需要进行验证」 10.第1次钟声响起为1时， 那么第2次在2×1一1=1(h)后，即 2时响起： 第3次在2×2-1=3(h)后，即5时 响起； 第4次在2×5一1=9(h)后，即14时 响起； 第5次在2×14一1=27(h)后，即 17时响起； 第6次在2×17-1=33(h)后，即 2时响起… 从第2次开始，4次为一个循环 因为(2025-1)÷4=506， 所以第2025次响起为17时. 所以第3次响起为5时，第2025次响 起为17时. 11.(1)72.解析：设悠悠想的两位 数的十位上的数字为m,个位上的数 字为n.依题意，得2(5n一3)十m= 21,即10m6+m=21,所以10m+ m=27.因为1≤m≤9,0≤n≤9且 m,n为整数，所以m=7,n=2.所以 丽丽的答案为72. (2)能. 设十位上的数字为a,个位上的数字 为b,则心里想的数为10a+b: 依题意，得计算的结果为(5b一3)× 2+a=10b-6+a=10b+a-6. 所以计算的结果加6，并且交换十位 上的数字与个位上的数宇即可得到心 里想的数， 12.(1)43;n2+n十1.解析：由题 图，知第6层等号左侧的第一个数是 62=36.所以第6层等号右侧的第一 个数是36+6十1=43.因为第n层等 号左侧的第一个数是n2,所以第n层 等号右侧的第一个数是n十1+1. (2)由题意，知第n层等号左侧的第 一个数是n2. 因为442=1936,452=2025， 所以442<2023<452. 所以数2023排在第44层 (3)由题意，知第99层等号右侧最后 三个数是1002-1,1002-2,1002一3. 所以(1002一1)+(1002一2)+ (1002-3)=3×10000-6=29994. 所以第99层等号右侧最后三个数的 和为29994. 第三章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1因为多项式一子y十 xy-3y2+8是八次四项式， 1 所以2+m+1=8. 所以m=5. 又因为5.x”ym的次数与该多项式 的次数相同， 所以n+6-m=8,即n=7. [变式]D解析：多项式3x,义的 一次项是号，故A情误：多项式 2x2+xy+3是二次三项式，故B错 误：单项式a的次数是1，系数为1，故 C错误：单项式-xyz2的系数为-1， 次数是4，故D正确。 典例2(1)(4x2+a.x3y+b) (2bx2-4x+3y-1)=4x2+a.x 3y+b-2bx2+4x-3y+1=(4 2b)x2+(a+4)x-6y+b+1. 因为化简结果中没有x, 棋子颗数是3×(1+2+…+6)=3× 所以4-2b=0,a+4=0. 21=63. 所以a=一4，b=2. 3.答案不唯一，如a3十ab十3 (2)3(a2b-ab2)-2(a2b+1)+ 4.3解析：因为a,b互为相反数，所 3ab2-2=3a2b-3ab2-2a2b-2+ 以a+b=0.所以6(a2一2a) 3ab2-2=a2b-4. 3(2a2+4b-1)=6a2-12a-6a2 将a=一4，b=2代人，得原式= 12b+3=-12(a+b)+3=一12× (-4)2×2-4=28. 0+3=3. (3)由题意，得a+3=0,b一1=0，解 5.一26解析：把x=2代人程序中， 得a=-3,b=1. 得10-22=10-4=6>0.把x=6代 代人(2)中化简后的a2b一4中，得原 入程序中，得10一62=10一36= 式=(-3)2×1-4=5. 一26<0.所以最后输出的结果 [变式](1)-1；2；-3：-0.5. 是-26. (2)5ab-[2a2b-3(2abc-a2b)+ 6.一2a+3b+4c解析：根据题意， Aabc=5ab-(2ab-6abc+3ab+ 得a<b<0<c,且a>|c>|b,所 4abc)=5a2b-2a26+6abc-3a2b- 以a十b<0,c-a>0,b+c>0.所以 Aabc=2abc. 原式=-a+2a+2b+3c-3a+b+ 当a=-1,b=2,c=-3时，2abc= c=-2a+3b+4c. 2×(-1)×2×(-3)=12. 2 7.原式=x-2x+3) 典例3(4+5n)解析：由题意，知 3x十 第1个图形中小正方形的个数是9= 3y2-2z+2-2-(-4号)z+ 4+5×1,第2个图形中小正方形的个 3y2-2. 数是14=4十5×2，第3个图形中小 正方形的个数是19=4+5×3，…，故 由题意，知k一4号-=0，解得及=4号 第”个图形中小正方形的个数是4十 2 8. (-15a+3ab)+ (2ab- 5 5×n=4+5. [变式]一8解析：根据题图，不难 10a)-4(ab+3b)=-10a+2ab+ 得出运算的结果为第一行的数与第二 5ab-2a-4ab-12b=-12a 行左边的数的积再与第二行右边的数 的差，所以一3×5一（一7）=一8. 、8b12b=12(a十b)二56、 [综合素能提升] 当a+b=9,ab=20时， 1.B 解析：因为2x"+y3与 原式=-12x9-号×20=-10， 3xy是同类项，所以n十1=4，所 9.(1)当x=100时， 以n=3. 方案一：100×500=50000（元）. 2.A解析：因为第①个图形的棋子 方案二：100×80%×(500+160)= 颗数是3=3×1，第②个图形的棋子 52800(元). 颗数是9=3×(1十2)，第③个图形的 因为50000<52800， 棋子颗数是18=3×(1+2十3)… 所以方案一划算 所以第@个图形的棋子颗数是3× (2)当x>100时 (1+2+…+n).所以第⑥个图形的 方案一：100×500+160×(x- 22