3.3 探索与表达规律同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第三章 整式及其加减 3 探索与表达规律同步练习（含答案）初中数学北师大版七年级上册 一、单选题 1．如图，边长为的正方形，沿数轴顾时针连续滚动．起点和重合，则数轴上数2023所对应的字母是（    ）    A． B． C． D． 2．晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图比图多出2个“树枝”，图比图多出4个“树枝”，图比图多出8个“树枝”，…，照此规律，图比图多出“树枝”（   ） A．32 B．56 C．60 D．64 4．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，第2种如图②有2个碳原子6个氢原子，第3种如图③有3个碳原子8个氢原子，第n种化合物的分子结构模型中碳原子、氢原子的个数分别是（  ） A．n， B．n， C．n， D．n， 5．一根米长的绳子，第一次剪去它的三分之一，第二次再剪去剩下的三分之一，如此剪下去，第十次后剩下的绳子长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．按一定的规律排列的一列数依次为：-2，5，-10，17，-26，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n个数（n为正整数）分别是（　　） A．82， B．-82， C．82， D．-82， 7．如图，周长为个单位长度的圆上等分点为，，，，点落在数轴上的的位置，将圆在数轴上沿负半轴滚动，那么圆上落在数轴上的点是（　　） A． B． C． D． 8．我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则值是（    ） A．17 B．45 C．27 D．55 9．正整数按下图的规律排列．则第10行，第11列的数是（   ） A．109 B．110 C．111 D．112 10．一组数据，任何相邻3个数的和都相等，若第16个数是16，第20个数是20，第2016个数是2016，则第2017个数是（    ） A．20 B．16 C．2016 D．2017 二、填空题 11．密码学中的数学规律：在密码学中，未加密的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”，字母按规律加密后会得到新字母，如： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 明文A→密文D    明文→密文    明文→密文 请你先观察字母变化规律，再根据规律解密：明文→密文( )． 12．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 ★． 13．观察图形： 根据以上四个图形的变化规律，第个图形中三角形的个数为 ． 14．已知．如图，将按顺时针方向螺旋排列填写入方格纸的相应方格中．按此方式依次填写下去，则位置方格中应填入的数字为 ． 15．杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”： 则从上往下数第行，左边第二个数是 ． 三、解答题 16．观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)． 17．观察下列等式： ①； ②； ③； …… 根据以上规律，解决下列问题： （1）完成第四个等式：（______）＝（______）（______）2； （2）写出你猜想的第个等式． 18．把7位数变成7位数，已知新7位数比原7位数大，聪明的宝贝来求： (1)原7位数是几？ (2)如果把汉语拼音字母顺序编为1~26号，且以所求得原7位数的前四个数字组成的两个两位数和所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字D，E，F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词． 19．将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查旋转正方形所对应的数问题，掌握旋转正方形对应四个数规律，发现规律，用规律解决问题是关键． 【详解】旋转1次B在位置，第2次旋转点C在0位置，第3次旋转点D在1位置，第4次旋转点A在2位置，第5次旋转B在3位置， ， ， 数轴上2023所对应的点是B点． 故答案为：B． 2．C 【分析】本题考查了图形类规律探索，明确题意，从图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． 观察图形可知，第一个图案为个窗花，第二个图案为个窗花，第三个图案为个窗花，，由此可得第n个图案所贴窗花数，于是得解． 【详解】解：第一个图案为个窗花， 第二个图案为个窗花， 第三个图案为个窗花， ， 由此可得，第n个图案所贴窗花数为个， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了规律探究，认真观察，发现规律是解题关键．按照规律，依次得到图比图多出4个“树枝”，图比图多出8个“树枝”，图比图多出16个“树枝”，图比图多出32个“树枝”，然后计算即可． 【详解】解：根据题意可得， 图比图多出2个“树枝”， 图比图多出4个“树枝”， 图比图多出8个“树枝”， 图比图多出16个“树枝”， 图比图多出32个“树枝”， ∵， ∴图比图多出个“树枝”． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查图形类规律探究，找到碳原子、氢原子的个数的变化规律是解答的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中碳原子和氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中碳原子个数为：1，氢原子个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中碳原子个数为：2，氢原子个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中碳原子个数为：3，氢原子个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中碳原子个数为n个，氢原子个数为个． 故选：C． 5．C 【分析】此题是规律类探索问题，主要考查了乘方的意义．由特殊出发探索得到规律是解题的关键．表示出第一次，第二次剪去后剩下的长度，…，归纳总结得到第十次后剩下的长度即可． 【详解】解：第次剪去后剩下的绳子的长度为米， 第次剪去后剩下的绳子的长度为米； …… 依此类推第十次剪去后剩下的绳子的长度为（米）． 故选：C． 6．B 【分析】从数的变化，可以先考虑它们的绝对值的变化规律，为n2＋1，然后每隔一个数为负数，最后归纳第n个数即． 【详解】解：根据数值的变化规律可得： 第一个数：−2＝（−1）1（12＋1）． 第二个数：5＝（−1）2（22＋1）． 第三个数：−10＝（−1）3（32＋1）． ∴第9个数为：（−1）9（92＋1）＝−82 第n个数为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查根据数值的变化分析规律，关键在于通过数值的变化进行分析、归纳、总结． 7．D 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据圆的周长为，且，，，为圆的四等分点，可得数轴上负方向上从开始的整数每个数为一个循环，依次对应，，，四点，求得到的距离，然后计算即可，解题的关键是读懂题意，找出规律． 【详解】解：因为到原点的距离为个单位长度，到原点为个单位长度， 所以，， 所以数轴上表示的点与圆上点重合， 故选：． 8．C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 根据题意可得；；；；…，第n个数记为，进而可得结果． 【详解】解：根据题意可知： ； ； ； ； …， 第n个数记为， ∴， ∴． 故选：C． 9．B 【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行第一个数的规律是解题的关键． 探究规律，利用规律即可求解． 【详解】解：由第1行，第2列的数是， 由第2行，第3列的数是， 由第3行，第4列的数是， 由第4行，第5列的数是， 由第5行，第6列的数是， 根据规律：第10行第11列的数是， 故选：B． 10．B 【分析】设这组数据依次为a1，a2，a3，a4，a5，……，a2017，由题意得，a1+a2+a3= a2+a3+a4= a3+a4+a5=……= a16+a17+a18=……，所以这组数据三个一组循环出现，又2017=3×672+1，所以第2017个数与第一个数相等，据此可解. 【详解】解：设这组数据依次为a1，a2，a3，a4，a5，……，a2017，由题意得， a1+a2+a3= a2+a3+a4= a3+a4+a5=……= a16+a17+a18=……， a1= a4= a7= a10=……， a2= a5= a8= a11=……， a3= a6= a9= a12=……， 16=3×5+1，20=3×6+2，2016=3×672，2017=3×672+1， a2017=a1= a16=16，a2= a20=20，a3= a2016=2016， 故选：B. 【点睛】本题考查了整式的数字类规律问题，通过列出等式计算得出数字规律是解题关键. 11． 【分析】本题考查了规律探索． 找出规律作答即可． 【详解】解：明文A→密文D    明文→密文    明文→密文 可知明文字母变为密文后，变成原字母后的第三个字母 则明文→密文 故答案为： 12．60 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，通过归纳总结，得到其中规律是解题的关键．根据图形的特点归纳总结规律即可求解． 【详解】解：∵第一个图形有个五角星， 第二个图形有个五角星， 第三个图形有个五角星， 第四个图形有个五角星， ∴第20个图形共有个五角星， 故答案为：60． 13． 【分析】本题考查了图形类规律探索，由图得出规律即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 第（1）个图形中三角形的个数为， 第（2）个图形中三角形的个数为， 第（3）个图形中三角形的个数为， 第（4）个图形中三角形的个数为， …， 第个图形中三角形的个数为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了数字类规律探索，从题中的数字填充过程中发现并总结出一般规律是解题的关键． 除第个数字外，后面每个数字一循环，由此即可判断出位置的方格中应填入的数字． 【详解】解：由起始位置到位置的方格共有（个）， 可填入个数， 除第个数字外，后面每个数字一循环， 又， 位置的方格中应填入的数字是， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了数字类的规律题，根据题意可知第行左边第个数为，由此可得第行第个数为，据此求解即可，正确找到规律是解题的关键． 【详解】解：由第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， ∴第行左边第个：， 则第行第个数为， 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律． （1）根据提供的等式写出第5个等式即可； （2）观察前4个等式，找出规律即可得到第n个等式． 【详解】（1）解：第5个等式：． 故答案为：． （2）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 第n个等式：， 猜想第n个等式为． 17．（1）；（2） （为正整数）． 【分析】（1）由前面具体的三个等式，得出各数字的变化规律，从而可得答案； （2）先把前三个等式化为：①；②；③；观察总结规律，从而得到第个等式． 【详解】解：（1）由题意得：第四个等式：， 故答案为： （2）由①； ②； ③； 第个等式为： （为正整数）． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握由具体到一般的思想方法推到规律是解题的关键． 18．(1)262159 (2)祖辈 【分析】本题主要考查了数字问题，求出各个字母表示的数字是解题的关键． （1）因把七位数变为七位数，已知新七位数比原七位数大，所以，被减数的个位是2，减数的个位是3，可确定F是9，因F退了1，所以，E就是5，，D是2，，C是1，，B是2，因B退了1，，A是6． （2），对应字母z，，对应字母u，拼音为，D是2，对应字母是b，E就是5，对应字母是e，F是9，对应字母是i，拼音为．据此即可解答． 【详解】（1）解：∵把七位数变为七位数，已知新七位数比原七位数大3591333， ∴， ∵被减数的个位是2，减数的个位是3，可确定F是9， ∵F退了1， ∴，即；，；，；，， ∵B退了1， ∴，． ∴原七位数是262159． （2）解：∵，对应字母z， ，对应字母u， ∴拼音为， ∵D是2，对应字母是b，E就是5，对应字母是e，F是9，对应字母是i， ∴拼音为， ∴拼成的词是“祖辈”． 19．(1)75； (2)这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由见解析 (3)不能为2022，可以为2025，理由见解析 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案；用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （2）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （3）分别计算出2025和2022除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； 解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （2）解：这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由如下： 设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （3）解：不能为2022，可以为2025，理由如下： 由（2）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵， ∴十字框中五个数之和不能为2022． 学科网（北京）股份有限公司 $