第二章 3 有理数的乘除运算-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

拔尖特训·数学（北师版）七年级上 3有理数的乘除运算 第1课时有理数的乘法 自基础进阶 淘素能攀升 1.(2024·吉林)若（一3）×□的运算结果为正 5.(2024·包头)若m,n互为倒数，且满足m十 数，则口内的数可以为 mn=3,则n的值为 A.2 B.1 C.0 D.-1 A C.2 D.4 2若x的相反数等于2，y的倒数等于一则 6.如果abcd<0,且a+b=0,cd>0,那么这四 xy的值是 个数中，负数至少有 () 3.如果a,b互为倒数，那么一4ab+1的值是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.计算： )(-5)×(): 7.下列计算13×(-133)的方法正确的是 A13×13-3》 B.13×(-13+3》 (2(-)×8×(-: C.-13×(13+3)D.13x13+3 8.在-5,1，一3,5，一2中任取三个数相乘，积 最大是 ,积最小是 ()××1.5x(1 9.按如图所示的程序计算，如果输入的数是 一3，那么输出的数是 否 绝对值 ((-3》×(-0.12)×(-2》×333 /输入→×(-3) 大于100 是出/ (第9题) 10.新考法·过程性学习利用运算律有时能进行 (6)是号君》×96 简便计算，给出例题如下： 例1：98×12=(100-2)×12=1200-24= 1176. 例2：-16×233+17×233=(-16+17)× (6(-26+6×(-6 233=233. 请你参考上面的例题，用运算律进行简便 计算： (1)999×(-15). 34 第二章有理数及其运算 (2)99X18+99×(-》-99×18 思维拓展 13.观察下列式子： +》×-》-多×号-1： (1+2)×(1+)×(1-3)×(1-) 多××号×-侵×)×停×)=1 11.现有7个数：-1，-2，-2，-4，-4，-8， 根据以上式子的规律，求下列式子的值： 一8，将它们填入图①(3个圆两两相交分成 7个部分)中，使得每个圆内部的4个数之 a)(1+号)×(1+)×1+6)×1-3)× 积相等.设这个积为，如图②给出了一种 1-×1-: 填法，此时m=64.在所有的填法中，求m 的最大值. 2)(+2)×(1+4)×(+)×…× (1+2028×(1-》×(1-)×(1- 24 -2 》×…x-2d2） ① (第11题) 12.新考法·新定义若定义一种新的运算“”， 规定a￥b=4ab,如2￥3=4×2×3= 24.求： (1)3￥(-4)的值： (2)(一2)￥(6￥3)的值 35 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 第2课时 有理数的除法 自基础进阶 素能攀升 1.把一÷(-1)转化为乘法是 5计算-13÷(1-40)×(-3 )的结果是( A-×(》 &等×{-) A-1B1 C. 27 n-号×() 6. 数形结合思想在数轴上，表示有理数a,b的 点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是 2.有下列各式：①(-24)÷（一8)=一3； () ②(+32)÷(-8)=-4：®(-)÷ 01a (第6题) (-)=1:④(-3)÷(-1.25)=-3.其 A.b(1-a)>0 B.a(b-1)>0 中，正确的有 ( C.ab D o A.1个B.2个 C.3个D.4个 7.在如图所示的运算程序中，若输入的x为9， 3.某同学在计算（一16）÷a时，误将“÷”看成 则输出的y为 了“+”，算出的结果是一12，则计算（一16）÷ 输入x 偶数是除以-2 输出y a的正确结果是 4.计算： 加1 (第7题) 1)(（-8）÷(-1.75). 8.在6，一5，一4,3四个数中任取两个数相乘， 把所得的积记为A,任取两个数相除，把所得 的商记为B,则A一B的最大值为 2-3号÷(-70÷(-14. 9规定※6=÷(》如：2*8=号 (-》=-3,则[2※(-5)]※4= 10.计算： 3)(-2》÷(-1.2)×(-1】 1(-20)÷(导×) (0(-0.40×()÷(-3)÷ 36 第二章有理数及其运算 (2)(-81)÷2号×号×(-16. 思维拓展 12.新考法·新定义我们知道，每个自 然数都有因数，将这个自然数的所 有正奇数因数之和减去所有正偶 数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫 3)8(-38)÷员×(-1 作这个自然数的“完美指标”.例如：10的正 因数有1,2,5,10，它的正奇数因数是1,5， 它的正偶数因数是2,10.所以10的“完美指 标”是[1+5)-(2+10)]÷10=-号我们 规定：若一个自然数的“完美指标”的绝对值 越小，这个数就越“完美”.例如，因为6的 “完美指标”是[(1十3)一(2十6)]÷6= 一号，7的完美指标兑1十7)÷7-；H 11.易错题阅读材料： 引< ,所以6比7更“完美” 计第：()（号-+）. 求出18,19,20,21这四个自然数中最“完 美”的数 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数， 再得原式的值 解（得+）÷（动）=（号-十 3）×(-20)=-16+18-21=-19. 所以原式=过 根据材料提供的方法，尝试进行计算： -0(←}+0 37小惠所抽卡片上的数的计算结果为 -(-3)+(-2)-5+() 6 因为-7<-6品 所以本次游戏的获胜者是小惠. 10.(1)该病人的体温最低是39.7一 1.5+1+0.2-1.2-0.5-0.5 0.2=37(℃). (2)如图所示 (3)因为体温逐渐稳定在正常体温 附近， 所以该病人的病情在好转。 体温/℃ 40 39 37 081114172023次次次时间/时 日日日 258 (第10题) 专题特训三有理数加减 混合运算的技巧 1.(1)原式=名+（号）+ (+)+()=合号+告 1=11_2+4=2 2=2-2-3+5=15 (2)原式=(5.6+4.4)+(-0.9 8.1-0.1)=10-9.1=0.9. (3)原式=(3.76-4.76)+(-39十 68)+(-53-2+1)=-1+ 29-6=22. (4)原式=-4-2是 12号+=（-4）+ (-2+)-12号=-4-2 12号=-18号 (5)原式=(0.75+3.25)+(0.125 0.125)=4+0=4. 2 ②合+日引+号 +片=1-合+合 +-片+-5=1 a)3-+3-引+4 3+…+2026202 11 =1 +合-+- 12025 202520262026 3.)-1子+(-23)+7号 (-42)=(1-)+(-2 3)+(+8)+(（4) (-1-2+7-4)+(-3 8-)=0-4=-4 2)(-3品)+(-12)+2吾 (-22)=(-3-)+(-1 2)+(2+)+(2+2)=(-3 1+2+2)+(是2+号+2）= 0+品 4.令S=2+4+6+8+…+2026①， 同时S=2026+2024+2022+…+ 2②. ①+②，得2S=(2+2026)×1013, 解得S= (2+2026)×1013 2 1027182. 所以2+4+6+8+…+2026= 1027182 5.1-2-3-4-5-.-2025=2 10 1-2-3-4-5-…-2025=2- (1+2+3+4+5+…+2025)=2- (1+2025)×2025=2-2051325= 2 -2051323. 6.因为题图①有1个三角形，记作 a1=1:题图②有5个三角形，记作 a2=5=1+4=1+4×1;题图③有 9个三角形，记作a3=9=1十4十4= 1+4×2, 所以题图⑦中三角形的个数为an= 1+4(n-1)=4n-3. 所以a1十a2十a3+…+am=1+ 5+9+…+(400-3)=1+397× 2 100=19900. 3有理数的乘除运算 第1课时有理数的乘法 1.D2.43.-3 41)原式=()×(-品) ×号-1 (②原式-号×8x号器 35 5、 (4)原式=- 0 ×12x号× 9- ()原式=子×96-子×96-日× 96=24-32-12=-20. (6)原式=(-)×(-36)十 ()×(-36)+日×(-36)=3+ 1-6=-2. 5.B解析：因为m,n互为倒数， m十m=3,所以m=2所以1=2 6.A解析：因为abcd<0,且a十b= 0,cd>0,所以a与b一正一负，c与d 同号.所以这四个数中，负数至少有 1个. 7.C 8.75一30解析：积最大是-5× (-3)×5=75,积最小是(-5)× (-3)×(-2)=一30. 9.-243解析：一3×(-3)=9,9× (-3)=-27,-27×(-3)=81,81× (-3)=-243.因为9，-27,81的绝 对值均小于100，一243|=243> 100,所以输出的数是一243. 10.(1)原式=(1000-1)× (-15)=1000×(-15)+15= -15000+15=-14985. 2)原式=99×(18告-号 18号)=99X100=9900 11.观察题图②，可得这7个数分别 被乘了1次，2次，3次。 要使得每个圆内部的4个数之积相等 且最大，一8，一8必须放在被乘2次 的位置. 与-8，一8同圆的只能为一1，一4， 其中一4放在中心位置（如图）， 所以m的最大值为(-8)×（一8）× (-1)×(-4)=256. -2 -8 -1 -2 (第11题)》 12.(1)3￥(-4)=4×3×(-4)= -48. (2)(-2)￥(6￥3)=(-2)￥(4× 6×3)=(-2)*72=4X(-2)× 72=-576. 13.(1)(1+2)×(1+4)× 1+6)×(1-3)×(1-)× =(侵×号)×（停×）× (6×9)=1X1X1=1. (2)(1+)×(1+4)×(1+ 日)×…×(1+228)×(1-3)× (1-3)×(1-2)×…×(1 X…×2029 2028 ×…×2029 6 ,2028 (× 号)×(×告)×( 9)）x…×(02×20》 =1×1× \20282029 1X…×1=1. 第2课时有理数的除法 1.B2.B3.-4 ②原式=名×宁×品 )原式=马×号×- 4)原式=（-)×()× ()×号=8 5.C解析：-1了÷(1-4)× ()=-专×(3)× (=嘉 6.A解析：由题图，可知b<0<1< a,所以1-a<0,b-1<0,ab<0, 号<0.所以b1-a)>0,a(6 1)<0. 7.-5 8.21号 解析：A的最大值为 11 (-5)×(-4)=20,B的最小值为 (-5)÷3= 号，所以A-B的最大 值为20-（号）=20+号=21号 解析：由题意，得[2※ (-5】※4=[合÷(】※4 (分×号)※4=吉※4=5 (专)=5÷(-2)=-2 32__10 27 3 (2)原式=(-81)×÷×× 4 (-16)=81X9×9 ×16=256. (8原式-音×÷(×号) 品×()=e (4)原式=子×()×号× 4 2 5 25 1因为(}号+品-) (动)-（总+品）× (-20)=5+8-18+30=25, 所以()(-子-台+品 )云 易错警示 忽略运算律的应用条件， 乱套运算律 合理使用运算律可简化运算， 但一定要注意其应用条件，因为没 有除法运算律，所以不能在含有除 法的运算中错用乘法运算律，应先 根据有理数的除法法则将除法运 算转化为乘法运算，再运用乘法运 算律进行计算. 12.因为18的正因数有1,2,3,6， 9,18, 所以正奇数因数有1,3,9，正偶数因 数有2,6,18. 所以18的“完美指标”是[(1+3+ 9)-(2+6+18)]÷18=-18 3 因为19的正因数有1,19， 所以正奇数因数有1,19，无正偶数 因数. 所以19的“完美指标”是(1+19)÷ 19 因为20的正因数有1,2,4,5,10,20， 所以正奇数因数有1,5，正偶数因数 有2,4,10,20. 所以20的“完美指标”是「(1+5) 2+4+10+20]÷20=-三 因为21的正因数有1,3,7,21， 所以正奇数因数有1,3,7,21，无正偶 数因数. 所以21的“完美指标”是(1十3+7+ 2w÷21-=器 因为<器<引<器。 所以18是18,19,20,21这四个自然 数中最“完美”的数. 4有理数的乘方 第1课时有理数的乘方 1.C2.A3.4 4.土8解析：根据题意，得a2=4,所 以a=±2.所以a3=(土2)3=士8. 5.(1)(-4)4=(-4)×(-4)× (-4)×(-4)=256. (2)-44=-(4×4×4×4)=-256. 3)(-)'=(-号)×(-子)× (号)=-（导×号×号）-品 3 3 6)-(层)=云 0()=8 6.D解析：因为-2的底数是2，所 以选项A错误.因为2°表示5个2相 乘，所以选项B错误.因为（一3）3表 示3个（一3）相乘，一3表示3个3相 乘的相反数，所以它们表示的意义不 同.所以选项C错误.因为一2的底 数是2，所以选项D正确. 7.C解析：一32=一9，（一3）2=9， 故选现A不相等号-受（停》广 27,故选项B不相等：(-3)= 一27，-33=一27，故选项C相等； -一3=-3，-(-3)=3，故选项D 不相等 8.C解析：根据题意，得x十2十 (y-3)2=0,所以|x+2|=0,(y 3)2=0.所以x+2=0,y-3=0,即 x=一2，y=3.所以x'=（一2)3 -8. 9.B解析：第一次截去它的3，所以 下号m,第二次截去利下的宁，所 以利下（号）》 m…如此截下去，在 第5次后，剩下的小木棒的长度是 (号)广m 10.C解析：因为2=2,22=4,2= 8,2=16,2°=32，…，所以2的乘方 的个位上的数字每4个为一组循环. 因为2026÷4=506（组）…2（个）， 所以22的个位上的数字与22的个 位上的数字相同，是4. 11.64解析：由题意，得2#（一2@ 3)=2#(-2)3=2#(一8)= (-8)2=64. 12.2-2 。解析：设S=1+2十 12 1 s= 1 +2+2+2 十…十 2十2高@.①-@，得2s=1 2脑，所以S=2一2应 13.26解析：由110=1×22+1× 2+0,可得11010=1×24+1×23+ 0×22+1×21+0=16+8+0+2+ 0=26. 14.根据题意，得2=64,28=256. 所以这样捏合到第6次后可拉出 64根面条，捏合到第8次后可拉出 256根面条. 10分9 ②()：(2) 3(） 4012÷(3)°×(-2)9=12÷ (-3)×(-2)广=-2 第2课时科学记数法 1.B2.B3.9.6×104.850 5.600×2×10×12=144000= 1.44×10(千克) 所以这个小区一年中所产生的太阳能 能量相当于1.44×10千克煤燃烧所 产生的能量， 6.C 7.5.12×10解析：(10×1024× 1024×90%-512×1024×16 10.24×50×1024)÷10.24=5.12× 10(篇).所以最多还可以存5.12× 10篇文章. 8.(1)160万=1600000， 1600000×56÷1000≈9.0×10（升）. (2)1600000×56÷500=1.792× 10(瓶).