精品解析：湖南省张家界市慈利县2020-2021学年八年级下学期期末考试数学试题

二○二一春季期末教学质量检测 八年级 数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分100分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，共8道小题，合计24分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是( ) A. B.   C. D. 2. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为( ) A. 4 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 四个角都相等的四边形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 菱形的对角线平分每组对角 5. 已知点在第二象限，到 轴的距离是，到轴的距离是，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）． A. 甲车的平均速度为 B. 乙车的平均速度为 C. 乙车比甲车先到城 D. 乙车比甲车先出发 7. 如图，一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ） A. （2021，0） B. （2020，1） C. （2021，1） D. （2021，2） 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 边形比n边形内角和增加的度数为__________． 10. 已知轴，点的坐标为并且，则点的坐标为_________________． 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是___________. 12. 将直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，那么k的值是_____． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A=32°，则∠BCD=______°． 14. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论： ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是 其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）． 三、解答题（本大题共9小题，共58分） 15. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC： （2）已知AC=18，BE=4，求AB的长． 16. 如图，已知点、、． （1）将绕点逆时针旋转得△，画出△，并写出点的对应点的坐标为　 　； （2）画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的对称点的坐标为　 　． 17. 某校为庆祝建党100周年， 举行“青春心向党，奋进新征程”为主题答题比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 30 m 60 n 20 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中m和n所表示的数分别为：________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？ 18. 小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． （1）求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式； （2）当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？ 19. 已知一次函数． （1）当m为何值时，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上？ （2）若函数图象经过第一、第三、第四象限，求m的取值范围 （3）若函数图象与直线平行，求m的值． 20. 如图，在四边形中，，，，为的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若平分，，求的长. 21. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象写出不等式的解集为______． 22. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 23. 如图，已知平面直角坐标系中三点坐标 ． （1）求直线的解析式 （2）点C是第一象限内的点，若四点能构成平行四边形，求点C坐标，并画出图形．平行四边形是否是菱形，若是，说明理由． （3）求的度数 （4）若F是线段上一点（不含端点），连接，一动点M从A点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二一春季期末教学质量检测 八年级 数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分100分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，共8道小题，合计24分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是( ) A. B.   C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一进行分析判断即可. 【详解】A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键. 2. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为( ) A. 4 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在Rt△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题． 【详解】解：在Rt△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3， ∴AB＝2DF＝6， ∵AD＝DB，AE＝EC， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABF＝30°， ∴AF＝AB＝3， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 四个角都相等的四边形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 菱形的对角线平分每组对角 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定可知道A错误，根据正方形的判定可知道B错误，根据平行四边形的判定可知道C错误，根据菱形的性质可知道D正确． 【详解】解：对角线平分且相等的四边形是矩形，A错误． 四个角和四条边都相等的四边形是正方形，B错误． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，C错误． 菱形的对角线平分每组对角，D正确． 故选D 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5. 已知点在第二象限，到 轴的距离是，到轴的距离是，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到轴的距离是，到轴的距离是，可得出点的纵坐标为±5，横坐标为±6，又因为点在第二象限，即可确定点A的坐标． 【详解】∵点到轴的距离是，到轴的距离是 ∴点的纵坐标为±5，横坐标为±6 ∵点在第二象限 ∴点A的横坐标小于0，纵坐标大于0 ∴A点坐标为(-6,5) 故选：B 【点睛】本题考查了直角坐标系中象限及点的坐标有关性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6. 甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）． A. 甲车的平均速度为 B. 乙车的平均速度为 C. 乙车比甲车先到城 D. 乙车比甲车先出发 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象逐项分析判断即可． 【详解】由图象知： A．甲车的平均速度为=，故此选项正确； B．乙车的平均速度为，故此选项正确； C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确； D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键． 7. 如图，一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设定一个为一次函数y1＝ax+b的图象，再考虑另一条的a，b的值，看看是否矛盾即可． 【详解】解：A、如果过第一二四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＜0，b＞0，两结论不矛盾，故正确； B、如果过第一二四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＞0，两结论相矛盾，故错误； C、如果过第一二四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＜0，b＜0，两结论相矛盾，故错误； D、如果过第二三四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，a＞0，b＞0，两结论相矛盾，故错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质．要掌握它的性质才能灵活解题，一次函数的图象有四种情况：①当k>0，b>0时，函数经过一、二、三象限；②当k>0，b<0时，函数经过一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数经过一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数经过二、三、四象限． 8. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ） A. （2021，0） B. （2020，1） C. （2021，1） D. （2021，2） 【答案】C 【解析】 【分析】分析点P的运动规律找到循环规律即可． 【详解】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位， 因为2021＝505×4＋1 所以，前505次循环运动点P共向右运动505×4＝2020个单位，剩余一次运动向右走1个单位，且纵坐标为1． 故点P坐标为（2021，1） 故选：C． 【点睛】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 边形比n边形内角和增加的度数为__________． 【答案】360° 【解析】 【分析】根据多边形内角和的公式可以求出边形和n边形的内角和，做差即可． 【详解】解：边形比n边形内角和增加的度数为， 故答案为：360°． 【点睛】此题考查了多边形内角和的公式，熟记多边形内角和公式是解决本题的关键． 10. 已知轴，点的坐标为并且，则点的坐标为_________________． 【答案】（5，-1）或（-1.-1） 【解析】 【分析】根据平行和A点的坐标，可求得B点坐标，可能在A左边和右边，所以有两个结果. 【详解】∵轴，点的坐标为 ∴点B的纵坐标为-1 ∵ ∴点B的横坐标为-1或5 ∴点B的坐标为（5，-1）或（-1，-1） 故答案为：（5，-1）或（-1.-1） 【点睛】本题考查了平行的性质，解题的关键在于根据平行线之间的距离处处相等和AB=3求出B点的坐标. 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是___________. 【答案】x≥－2且x≠3 【解析】 【详解】分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数≥0，分母≠0，可以求出x的范围． 解答：解：根据题意得：x+2≥0且x-3≠0， 解得：x≥-2且x≠3． 12. 将直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，那么k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，可得，即可得k的值． 【详解】解：∵将直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合， ∴直线y＝（k+1）x﹣2和直线y＝﹣3x平行， ∴k+1＝﹣3， 解得k＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点睛】本题主要考查一次函数图像与几何变换，熟练掌握两直线平行问题，两直线平行，k值相等是关键． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A=32°，则∠BCD=______°． 【答案】32 【解析】 【分析】根据∠C=90°，由三角形内角和定理得到∠A+∠B=90°，CD⊥AB，垂足为D，得到∠BCD+∠B=90°，用等量替换得到∠A=∠BCD，即可得到答案； 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=180°-90°=90°（三角形内角和定理）， 又∵CD⊥AB，垂足为D， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD+∠B=180°-90°=90°（三角形内角和定理）， ∴∠A=∠BCD（等量替换）， ∴∠BCD=∠A=32°， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及等量替换原则，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键． 14. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论： ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是 其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值便可． 【详解】如图1， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形，故②正确； 若，则 ，这个不一定成立， 故①错误； 点与点重合时，如图2， 设则 在 即 解得 , , ， , 故③正确； 当过点时，如图3， 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ， 故④错误． 故答案为②③． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共58分） 15. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC： （2）已知AC=18，BE=4，求AB的长． 【答案】 （1）证明：，， ， 在和中， ， ∴， ， ，， 平分； （2）． 【解析】 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 16. 如图，已知点、、． （1）将绕点逆时针旋转得△，画出△，并写出点的对应点的坐标为　 　； （2）画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的对称点的坐标为　 　． 【答案】（1）如图，△即为所求， （2）△即为所求， 【解析】 【分析】（1）分别作出，的对应点，，即可． （2）分别作出，，的对应点，，即可． 【小问1详解】 解：点的坐标为． 【小问2详解】 解：点的对称点的坐标为． 【点睛】本题考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17. 某校为庆祝建党100周年， 举行“青春心向党，奋进新征程”为主题答题比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 30 m 60 n 20 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中m和n所表示的数分别为：________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？ 【答案】（1）90， （2） 补全频数分布直方图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）先根据分数段求出本次参赛同学的总人数，再利用分数段的频率乘以本次参赛同学的总人数即可得的值；利用分数段的频数除以本次参赛同学的总人数即可得的值； （2）根据的值补全频数分布直方图即可得； （3）利用比赛成绩80分以上（含80分）的同学人数除以本次参赛同学的总人数即可得． 【小问1详解】 解：本次参赛同学的总人数为（人）， 则， ， 故答案为：90，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 答：获奖率是． 18. 小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． （1）求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式； （2）当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？ 【答案】（1） （2）千克 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式； （2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元． 【小问1详解】 解：设降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设当销售量为a千克时，小李销售此种水果的利润为150元，根据题意得： ， 解得：， 答：当销售量为180千克时，小李销售此种水果的利润为150元． 19. 已知一次函数． （1）当m为何值时，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上？ （2）若函数图象经过第一、第三、第四象限，求m的取值范围 （3）若函数图象与直线平行，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了主要一次函数定义，图象与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先根据一次函数的定义得到，再求出与y轴的交点为，根据交点在y轴的正半轴上，得到，解不等式组即可； （2）根据函数图象经过第一、第三、第四象限，得到不等式组，再解不等式组即可； （3）由一次函数图象平行相同，不同，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵当， ∴函数图象与y轴的交点为， 又∵是一次函数，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵函数图象经过第一、第三、第四象限， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵一次函数的函数图象与直线平行， ∴， 解得：． 20. 如图，在四边形中，，，，为的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若平分，，求的长. 【答案】（1） 证明：∵为中点，即； ∵， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵，为的中点， ∴. ∴平行四边形是菱形 . （2）2 【解析】 【分析】（1）由，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）可证，由勾股定理可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，∴； ∵，∴， ∴，∴； 在中，，，． 21. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象写出不等式的解集为______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 22. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）当∠BAC=90°时，理由如下： ∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查矩形和正方形的判定，等腰三角形“三线合一”的性质．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 23. 如图，已知平面直角坐标系中三点坐标 ． （1）求直线的解析式 （2）点C是第一象限内的点，若四点能构成平行四边形，求点C坐标，并画出图形．平行四边形是否是菱形，若是，说明理由． （3）求的度数 （4）若F是线段上一点（不含端点），连接，一动点M从A点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 【答案】（1） （2），是，理由见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、菱形的判定、两点间距离公式、一次函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）根据平面直角坐标系内点的特征以及平行四边形的性质可知点D向右6个单位得到点C，据此即可求得点C的坐标；如图：过作轴，则，易得，即可证得四边形为菱形； （3）由两点间距离公式可得，根据菱形的性质可得，易证为等边三角形，即，再根据三线合一的性质即可解答； （4）如图：过点F向作于E点，再求得， 易得；由题意可得整个过程所需时间，即当A、F、E三点共线，即轴时，最小，所用时间最少；最后将将代入直线解析式求得点F的纵坐标即可解答． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点C是第一象限内的点，四边形为平行四边形， ∴， ∴点D向右6个单位得到点，即； 四边形为菱形，理由如下： 如图：过作轴于点N，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【小问3详解】 解：如图：连接， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴． 【小问4详解】 解：如图：过点F向作于E点， ∵， ∴， ∴，即， 整个过程所需时间， ∴当A、F、E三点共线，即轴时，最小，所用时间最少， 将代入直线解析式 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $