辽宁省普通高中学业水平合格性考试模块检测(4)-【创新教程】2026年辽宁省普通高中学业水平合格考数学考前冲刺

辽宁省普通高中学业水平合格性考试模块检测（四）》 (2)分读 (平面向量及其应用、立体几何、复数) 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100 分，考试限定用时90分钟. 第I卷（选择题共36分》 7.已知△ABC的平面直观图△A'B'C是边长为a 的等边三角形，那么△ABC的面积为() 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共 36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 尔 1 合题目要求的) 1.已知向量a=(一1,2)，b=(1,1),则3a+b= D.√6a2 8.(2025·天津卷，4)已知m,n为两条直线，a,3 A.(2,7) B.(-2,7) C.(-2,-5) D.(2,-5) 为两个平面，则下列结论中正确的是() 2.下列有关正弦定理的叙述： A.若m∥a,nCa,则m∥n ①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定 B.若m⊥a,m⊥B,则a⊥3 理不适用于直角三角形；③在某一确定的三 C.若m∥a,m⊥B,则a⊥3 角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值； D.若mCa,a⊥B,则m⊥3 ④在△ABC中，若内角A,B,C所对的边分别 9.(2024·全国甲卷，1)若之=5+i,则i(之十之)= 为a,b,c,则A:B:C=a:b:c. ( 其中正确的个数是 A.10i B.2i A.1 B.2 C.10 D.2 C.3 D.4 10.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的 3.下列说法中，正确的有 ①圆柱的侧面展开图是一个矩形；②圆锥的 两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该 侧面展开图是一个扇形：③圆台的侧面展开 球的表面积为 ( 图是一个梯形；④棱锥的侧面为三角形. A.4π B.6π A.1个 B.2个 C.8π D.10元 C.3个 D.4个 11.如图，在四边形ABCD中，AD 阳 4.设之= 2+i 1+沪+币，则8 ∥BC,AD=AB,∠BCD=45°， ∠BAD=90°，将△ABD沿BD A.1- B.1+2i 折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥 C.2-i D.2+i A一BCD,则在三棱锥A一BCD中，下列命 5.已知l,m是两条不同的直线，a为平面，mC 题正确的是 α，下列说法中正确的是 ( ) A.平面ABD⊥平面ABC A.若1与a不平行，则1与m一定是异面 B.平面ADC⊥平面BDC 直线 C.平面ABC⊥平面BDC B.若l∥a,则l与m可能垂直 C.若l∩a=A,且A任m,则1与m可能平行 D.平面ADC⊥平面ABC D.若l∩a=A,且1与a不垂直，则1与m 12.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体 定不垂直 积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等，且 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 的值是 a,b,c,且a2=b-c2+√2ac,则角B的大小是 B. 2 A.45° B.60° C.90 D.135° c 4 4-1 18.(10分)如图，在圆锥SO 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 中，AB,CD为底面圆的 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 两条直径，AB∩CD= 13.(2023·天津卷，10)已知i是虚数单位，化简 O,SO=OB=2,P为SB 士票的结果为 的中点 (1)求证：SA∥平面PCD: 14.已知1是一条直线，a,B,y是三个不同的平 (2)求圆锥SO的表面积. 面，给出下列说法： ①若a∥B,且B⊥Y,则a⊥Y; ②若a∩B=1,且1⊥Y,则a⊥Y,且B⊥Y: ③若1⊥a,a⊥B,则l∥β. 其中正确的序号有 15.在△ABC中，若A:B=1:2,且∠ACB的 平分线CD把△ABC分成面积比为5：3的 两部分，则cosA A 16.(2025·全国二卷，14)一个底面半径为4 cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚 度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则 铁球半径的最大值为 cm. 三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知之∈C且|之=1，求|2-之+1| 的最值 4-2 19.(10分)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对 20.(10分)如图，三棱柱ABC C 边分别为a,b,c,且2 asin B=√5b. A1B1C1的侧棱与底面垂直，A (1)求角A的大小； AC=9,BC=12,AB=15, (2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积. AA1=12,点D是AB的中 点. (1)求证：AC⊥B1C; (2)求证：AC1∥平面CDB1. 4-3 21.(12分)在△ABC中，设A、B、C的对边分别 (2)若b=4√2，且c=√2a,求△ABC的面积」 为a、b、c,向量m=(cosA,sinA),n=(√2- sin A,cos A),m+nl=2. (1)求角A的大小； 脚 些 4-4小当一吾-侣即=青)取最小位，最小值 20.解：(1)f(x)=2√3sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2 =2 3sin2x-(1-2sin xcos x)=3(1-cos 2x)+ sin 2x -1 sin 2x -3 cos 2.x+3 -1= 2sim(2z-晋）+5-1，由2x-号≤2x-号 2kx+受∈Z,得x≤kx+登∈Z, 所以f(x)的单调递增区间是 [x-益kx+]∈ 或(x意x+)∈z》, (2)由1)知f(x)=2sin(2a-音）+5-1，起y f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不支)，得到y=2si如()十5-1的图象 再把得到的图象向左平移于个单位， 得到y=2sinx十√5-1的图象， 即g(x)=2sinx+√5-l. 所以g()=2sin答+-1-E. 21.解：1f() ms(停看)s(后+音）)-ms吾o号-9 (2fx)=sin(+)cos(（+） 2sim(2x+号） 将y=f(x)向左平移m(m>0)个长度单位，得到y gu)=in(++2m） “y=g)的图象关于点（后，0）对称， 有im(2×音++2m）=0, 经+2m=kx,k∈乙m=合-晋k∈么， :m>0,心当k=1时，m有最小值 g)=im(2z+） :由-受十2kx≤2x+≤受+2x,k∈Z 得y=g(x)的单调递增区间为 [晋+，一意+x]小∈乙 卷答 辽宁省普通高中学业水平合格性考试模块检测（四） 1.B由向量a=(一1,2)，b=(1,1),可得3a十b=3× (-1,2)+(1,1)=(-2,7).故选B. 2.A因正弦定理适用于任意三角形，故①②不正确：在 △ABC中，由正孩定理，得入B而C=2R, b 因为三角形确定，所以其外接圆半径R为定值，故③ 正确：④显然不正确. 3.C①圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确： ②圆锥的侧面展开图是一个扇形，正确； ③圆台的侧面展开图不是一个梯形，是扇环，所以不 正确： ④棱锥的侧面为三角形，符合棱锥的定义，正确， 故选C. 4.B由题意可得：=1十平十币=一1干 2+i 2+i-i(2+i边 21-1=1-2i,则2=1+2i.故选B. -1 5.B对于选项A:若l与a不平行，则l与a的位置关 系有：相交或直线在平面内，又m二a,则l与m的位置 关系有：平行、相交或异面，故A错误；对于选项B:若 l∥a,则l与m可能垂直，平行 D 或异面，故B正确；对于选项 C:若l∩a=A,且Am,mCa, 则l与m异面，故C错误；对于 选项D:若l∩a=A,且l与a不 D 垂直，则1与m可能垂直，如 图，取a为平面ABCD,l=AD1,m=AB,且l⊥m,故 D错误. 6.A由已知得a2+c2-b2=√2ac, 所以osB=Q2+2-B-巨ac=区 2ac 2ac 2' 又0°<B<180°，所以B=45°. 7.C如图①为直观图，图②为实际图形，取B'C所在直 线为x'轴，过BC中点O'与O'x′成45°的直线为y 轴，过点A'作A'N'∥Ox',交y轴于点N',过点A'作 A'M'∥Oy',交x'轴交于点M', N Y M'B'/O'C' ① MBOC ② 则在R1△AOM中，周为OA'=写a,∠A'MO 45,所以M0r=AO=AN-,故AM-. 2a. 在平面直角坐标系中，于x轴上方y轴左侧取到距x 轴6a,距y轴号。的点A,则△ABC为所求三角形. 里然Sae=74·6m-9. 1 -5 8.C本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与 平面的位置关系.A中，m∥a,nCa,m与n可能平行 或异面，故A错误；B中，m⊥a,m⊥B,则a∥B,故B错 误；D:mCa,a⊥3，则m不一定垂直于B,故D错误. 9.A因为之=5十i,所以之=5-i,故i(2十之)=10i. 10.CR=√/12+12=√2，S=4πR2=8π. 11.D如图，在平面图形中CD⊥BD,折 起后仍然满足CD⊥BD,由于平面 ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面B ABD,CD⊥AB.又AB⊥AD,故AB⊥ 平面ADC,又ABC平面ABC,所以平 面ADC⊥平面ABC. 12.B设两个圆柱的底面半径和高分别为r12和 岭-号-子 r22 由圆柱的侧面积相等，得2r1h1=2πr2h2: 常=的款升子 解析：由题意可得)十41=5十14D2 (2+3i)(2-3i) 52+13i=4+i. 13 答案：4十i 14.解析：①正确，通过画图易发现：②正确，如果一个平 面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂 直：③错误，还可能1CR. 答案：①② 15.解析：A:B=1:2,即B=2A,∴.B>A, ..AC>>BC. :∠ACB的平分线CD把三角形ABC的面积分成 5:3的两部分，.由角平分线定理得BC:AC= BD:AD=3:5,∴.在△ABC中，由正弦定理得 C=中出含=音叁理释曲会 BC AC sin 2A 2md万号则cA=号 答案：哥 16.解析：设铁球半径为r,根据题意， 有4r2=(9-2r)2+(8-2r)2, 即4r2-68r2+145=0, 即(2r-29)(2r-5)=0, 郎得=号或9（含. 5 答案：2 卷答 17.解：因为z=1,所以之·之=1， 所以之2一之十1=之2-之十之之=之（之十之一1）， 所以之2-之+1=|x(之十-1)川=|x|·之十之-1川 =|x+x-11. 设之=x+yi(x,y∈R),那么|之+之-1=|2x-1|, 又因为之=1，所以x2+y2=1. 所以-1≤x≤1，所以-3≤2.x-1≤1， 则0≤|2x-1≤3. 所以之2一之十1的最小值为0，最大值为3. 18.解：(1)连接PO, .P,O分别为SB,AB的中点，∴.PO∥SA. 又POC平面PCD,SA￠平面PCD, SA∥平面PCD. (2)设母线长为1，底面圆的半径为r, 则r=2,1=SB=2√2， .S底=元r2=4π，S倒=rl=4V2π， .S表=S底+S侧=4(W2+1)元. 19.解：(1)由2 asin B=√3b及正弦定理a b sin A sin B' 得mA-县因为A是能角，所以A=子 (2)因为a=6,c0sA=7, 所以由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A, 得b2+c2-bc=36. 又因为十c=8,所以bc=28 3 由三角形面积公式S= 2bcsin A, 得△ABC的而积为分×号×9-7 20.证明：(1)，CC⊥平面ABC,∴.C1C⊥AC. .AC=9,BC=12,AB=15, ..AC2+BC2=AB2,.'.ACLBC. 又BC∩CC=C,AC⊥平面BCCB1, 而B1CC平面BCC1B1.ACLB1C. (2)连接BC交B1C于O点，连接OD. 如图，O,D分别为BC1,AB的中点，.OD∥AC· 又ODC平面CDB1,AC1过平面CDB1, ∴.AC1∥平面CDB1, 21.解：(1)m2=1,n2=(2-sinA)2+cos2A= 3-√2sinA m·n=cosA(W2-sinA)+sin Acos A=√2cosA .m+nl2=|m2+2m·n+n2=4+2√2cosA 22sin A=4+2 2(cos A-sin A). .m+n=2,∴.4+2√2(cosA-sinA)=4, tanA=1.0<A<元，A=年. -6 (2)由余弦定理， a2=+e-20sA,又由6=4E,c=aA=子， 得a2=32+22-2x42xaa,吗， 即a2-8√2a+32=0,解得a=4√2，∴.c=8, ∴S△A=7 esinA=合×4EX8Xm至-16， 辽宁省普通高中学业水平合格性考试模块检测（五） 1.C由现实情况可知，三年级、六年级、九年级的学生 的视力存在明显差异，故分层随机抽样法最合理. 2.A事件N包含两种结果：向上的面都是正面或向上 的面是一正一反，则当事件M发生时，事件N一定发 生.则有M二N. 3.C“出现的点数为奇数”与“出现的点数为5”两事件 可能同时发生，不是互斥事件，故选C. 4.D因为8×70%=5.6，故第70%百分位数是第六项数 据23. 5.AA,B是互斥事件. .P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5. P(A)=0.2,P(B)=0.5-0.2=0.3.故选A 6.C所求众数的估计值为40十60=50（分钟）. 7.A由题意，P(A)=,P(B)=,P(AB)=, .P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立， 则A与B也相互独立，∴.P(AB)=P(A)P(B)= PA1-P(B)=日合X名- 8.A因为频率=组距X额事，所以成绩小于17秒的学 生人数占全班总人数的百分比x=0.02×1十0.18× 1+0.36×1+0.34×1=0.9,成绩大于或等于15秒且 小于17秒的学生人数y=50×(0.36×1+0.34×1) =35,故选A. 9.B从3,5,7,11,13这5个素数中，随机选取两个不 同的数共有C号=10钟可能，其和等于16的结果(3， 13).(612种学可能的站米，所以概率P-品-号 故选B. 10.C列出基本事件如下：（红黄、白紫），（红白，黄紫）， (红紫，黄白)，（白紫，红黄），（黄紫，红白），（黄白，红 紫)，共有6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛 的有4种，所以所求的概率为音-号，故选C 11.B这3000个数据的平均数为 78.1×800+85×1300+91.9×900=85.23.用样本 3000 平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均 数约为85.23，故选B. 卷答 0<P(A)<1, 12.D由题意可知{0<P(B)<1, (P(A)+P(B)≤1， ,0<2-a1, 即0<4a-5<1, (3a-3≤1. 1<a<2, 4 a≤3 13.解析：因为产品总数为200十400+300+100=1000， 抽取60件进行检验，所以抽样比例为000100 606 所以应从丙种型号的产品中抽取300× 品=18c件 答案：18 14.解析：从折线统计图可以很清楚的看到乙城市的气 温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基 本不大 答案：甲 15.解析：从盒中随机摸出2个小球，共有6种情况：两球 都是白球有1种情况，故两球都是白球的概率为。 答案：日 16.解析：PA)=,PB)=G PA)=PB=g 61 又A,B为相互独立事件， ∴PAB)=PA)PB)=×号=是 '.A,B中至少有一件发生的概率为 1-P(AB)=1-2=i2: 57 答案： 17.解：1)最高矩形的高是0.03，其底边中点是70叶80 2 75,则这50名学生成绩的众数估计是75分. 频率分布直方图中，从左到右前3个和前4个矩形的 面积和分别是(0.004十0.006+0.02)×10=0.3<0.5， (0.004十0.006+0.02+0.03)×10=0.6>0.5，设中位 数是m,则70<m<80,则0.3+(m-70)×0.03= 0.5,解得m≈76.7（分），即这50名学生成绩的中位 数约是76.7分. (2)每个小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标和 为0.004×10×40150+0.006×10×50160+0.02 2 2 ×10×60+70+0.03×10×70,80+0.024×10× 2 2 80+90+0.016×10×90+100=76.2, 2 2 即这50名学生的平均成绩约是76.2分 -7辽宁省普通高中学业水平合格性考试模块检测（四） (数学)答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）口 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 错误填涂 事 涂写要工整、清晰。 样 ☑×O 3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 )0 项 题卷上作答无效 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题 选择题（共12小题，每小题3分，共36分》 正确填涂 在 誓 1ABCD 4ABCD 7ABCD 10ABCD 的 2ABCD 5ABC D 8 AB C D 11ABCD 3ABCD 6ABCD 9ABCD 12ABCD 作答 非选择题（需用0.5毫米黑色签字笔书写） 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 出 13. 14. 15. 16. 的 三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 案 17.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡模块检测（四）第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(10分) --B 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 21.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡模块检测（四）第2页（共2页）